Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

смысле иногда

Хп

называют аналитическим пространством.

Совокупность

F

всех аналитических

вещественнозначных

где dxt означают независимые

приращения переменных xt

или, что то же, дифференциалы

функций /=х,-. Совокупность

ренциал

функции / =

0, который

тоже обозначают

нулем:

Рассмотрим соовокупность всех линейных дифференциаль­

ных форм, т. е. выражений

вида

п

где gj — произвольные

функции

из

F.

Эти

выражения

на­

зываются формами

Пфаффа.

Они

будут

играть

роль

век­

торов во всем дальнейшем, тогда

как

функциям ff_F до­

станется

роль

скаляров.

Дифференциалы

df принадлежат

совокупности

форм

Пфаффа.

Если

сложение

и

умножение

на

функции

для

форм—

Пфаффа

определить

обычным

образом,

т. е.

положить

где

Ш =

(В* +

Ш2 ,

gj

=

g) +

g)

,

п

ш''

=

2igjdxj,

(i

=

1,

2),

то получается структура «-мерного

унитарного

модуля

над

кольцом

функций из

F.

В каждой

точке

М это кольцо

превращается в

поле, а

унитарный

модуль — в векторное

пространство

дифферен­

циалов. Это

векторное

пространство будем

называть

каса-

тельным

векторным

пространством

Тп

пространства Хп

в точке

М. Дифференциалы

d x u . . . ,

dxn

являются

одним

из базисов

этого

векторного

пространства.

Поэтому

можно

назвать

Тп

векторным

пространством

дифференциалов,

хотя,

конечно, не любая форма ш является дифференциа­

лом

какой-либо

функции.

ным в е к т о р н ы м

п р о с т р а н с т в о м о б ы ч н о

н а з ы в а ю т в е к т о р н о е

п р о с т р а н с т в о ,

с о п р я ж е н н о е к

в в е д е н н о м у

н а м и Т, т. е. с о в о к у п н о с т ь

всех л и н е й н ы х

о т о б ­

р а ж е н и й п р о с т р а н с т в а

Т в

м н о ж е с т в о

д е й с т в и т е л ь н ы х чисел

(см., н а п р и ­

мер, [25] , 1, гл. I l l , §

I V ) . О д н а к о

н а м у д о б н е е п р и м е н я т ь э т о т

т е р м и н

д л я

^ п р о с т р а н с т в а д и ф ф е р

е н ц и а л о в » .

Д л я

а н а л и т и ч е с к и х

п р о с т р а н с т в об а

эти

а с с о ц и и р о в а т ь с ними к а к и е - л и б о

г е о м е т р и ч е с к и е к о н с т р у к ц и и .

Построенная

на Т„, как в § 5, гл. 1, внешняя алгебра назы­

вается внешней

алгеброй

дифференциалов,

а соответствую­

щие внешние формы — внешними дифференциальными

фор­

мами.

п

2 =

2

a'l"'p\dxll...dxtB\

Р

н...

ip=\

2

= 2

b^-lp\dxh...dXi\,

Р

h<h<...<ip

Так как

Xi = x / ( y l t

. . . ,

уп).

(3)

d X i =

2

аУр

то

dXll

дх1р

\dxh...dxip\=

V

КУЛ • • • ^ У л , ]

j . - j „

1^УУ: ^УУр

V

det

-\[dyh...dylp\

Л<Л< —

<JP

k

=

1,... , p ;

I

=

1,...,

Л

В

частности,

при p = n имеем

[dx1...

сОс„] =

det

дх.

[dyi...

dyn],

dyj

что

в точности

совпадает

с

законом преобразования

крат­

ного

интеграла

при

замене

переменных.

Поэтому кратные

интегралы

иногда

пишут

не

в

виде

J . . . J " Adx^...

dx„,

а

в

виде

J . .

. |

A [dx^ ...

dxn\.

Q ==

V

a - h [со,-,. .. со/

] = О,

(4)

1Х<^< ...<<„

где ш1, о)2,...,

«/' — неизвестные

формы Пфаффа,

а коэф­

фициенты являются

функциями

от Xi.

Решение такого урав­

")/ = bJt *j; i = 1, ... , n; j = 1, . . .,

q,

p^q<n,

(5)

4. З а к а з 6667.

49