Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

где у >- /.' и

2

'

. . .

i

s, k =

1, 2,

s Ф i.

Следовательно, z\

и z\

могут быть включены

в

базис

только

при

условии

det||ai

=£0,

/Фк,

т. е., подробнее, при

i

Отсюда

видно,

что

при А \ — Л | =

1 — А \ А \ = 0

искомая

замена

базиса

невозможна.

1

i

,

Обобщая

эти рассуждения,

мы приходим к

следующим

определению

и

теореме.

О п р е д е л е н и е

1. Стандартной

системой

с двумя вы­

q=\,2;

/7 = 1,2,3; у = 1, 2,

V

(27)

вестных

векторов

г,, г2 ,

гл, а остальные

выражаются

че­

рез них линейно:

( ? )„

(7)

3

(?) '

(р)

zi

= w.

= у

АР.

zi-,

* = 1 , 2 ;

(28)

Здесь и далее

индексы

-fp, Т?> Тр> Т<? и

т - п - означают

номера

уравнений

и пробегают

значения

чр, ^р — 1, 2,

хр ,

7? , 7? =

1,2, ... xq.

Очевидно, что

*, +

+ 2т3

= г.

(29)

<1)

о),

(п

[тъхг}

+ [гьх2}

= aTl [ * , * , ] ,

(2).

(2)

(2)

[zbxx]

+ [wbx2]

= a-, [ххх2],

(2'7)

разных

уравнений. Например,

векторы

(2)

(3)

различны:

г\

и z\

первый

входит

во

второе

уравнение

второй

строки,

вто­

рой — во

второе

уравнение

третьей

строки.

Т е о р е м а

1.

Стандартная

система

(27) — в

инволюции,

если существуют

такие

элементы поля й

ф{

и

<Ъ\,

для

ко­

торых

выполняется

неравенство

detifpI'||=H=0,

(30)

где

(<?У

(?)•/

т '

,

,

t,q,s

=

\,2;

(31)

а

Зд —известный

символ

Кронеккера. Ее

характеры

в

этом

случае

равны

s,

=

t , + х

2 + х з

( т . е . числу всех уравнений

системы),

s3 =

х3

(т. е. числу

уравнений с двумя

базисными

( 3 , »

векторами

z y .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Произведем

замену

базиса

det 1 ^||=^0 ;

?,/

=

!, 2.

(32)

Система

(27)

примет

вид

Ь

л

q

\

=

fx

/12

]

,

\г

x

а, [л:1

*

( 3 3 )

где

(34)

В

частности,

при

р — i = 1, 2;

<7 =

1 имеем

(7)

№ T ' ( « v

( о / С ) /

л»)

(3)

.

<• = К; г < ; + р 7 ; ч + й АЪ° z

i t

Ф i>

( 3 5 )

а

при

/7 = 3

*У.= # 4

(36)

странства

Е, а остальные,

т. е.

(О

являются

их линейны-

z2.

z

'«

ми комбинациями (или нулями).

Доказательство завершается построением решения сис­

темы (33)

по методу

Кэлера.

На

первом

этапе

ищется

од­

номерное

решение

(3р _ v « Г Г ( * ' _ х п

/

/ -

1 9

2 7 з — Л 7 з Л Ь

Z T

( —

f^ii

Х\,

I , J — 1 , Z ,

в котором коэффициенты Ц], Ц1

остаются

произвольными.

Координаты же Х7!

векторов

( , ) 2

,21

*

Z-i. =

Л-,. ^Ci

являются

линейными

комбинациями

коэффициентов Щ,

l]]

На втором этапе

ищем

решение

2 7 з —

Чз XJ> 2 7 г

4i XJ-

> 1 2 _ \ 2

1

'"ll

— \

-

а 7,->

которые,

очевидно,

удовлетворяют критерию Кэлера. Пер­

вый характер равен числу этих уравнений: s,

— t 3

+

^2 +

^ I -

Тогда второй в силу (29) равен s2

=

г

— s,

=

т3 .

Теорема

доказана.

Известны

два

довольно

сильных

результата

и для слу­

чая

п

переменных.

Стандартной

системой

первого

О п р е д е л е н и е

2.

рода

с выделенными

переменными

xt

называется

систе­

ма,

состоящая

из внешних

квадратичных

уравнений

вида

7

7

которые

можно

разбить

на

п

подсистем

(S,),

(S2),

•••

(Sn)

следующим

образом:

1)

в каждом уравнении

каждой

под­

системы

(Sk)

будет

иметься

k

векторов

z',

которые

{все

вместе, т. е. взятые

из

всех

уравнений

и

всех

подсистем)

вместе

с векторами

хи

х„

образуют

базис

простран­

ства

ЕПЛТ,

2)

каждый

из остальных

векторов

является

линейной

комбинацией

базисных

векторов,

входящих

в

то