Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 133

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

d x t ^ ^ ^ d t j .

 

 

 

(28)

Исключение t{, ... ,

tm

из

уравнений

(27)

приведет

к

систе­

ме

уравнений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fa(xlt

...

,

хп)

=

0;

а ~

1, . . .,

/г—от,

 

(29)

равносильной

системе

(27)

в

указанной

окрестности.

Имея

в виду указанные ограничения, можно говорить о

 

локаль­

ной

аналитической

т-поверхности.

 

При т = п — 1

гово­

рят

об аналитической

 

 

 

гиперповерхности.

 

 

 

В дальнейшем, мы, как правило, будем опускать термин

„локальный",

подразумевая,

что

все

рассмотрения

ведутся

в указанных окрестностях, где сохраняются ранги соответст­ вующих матриц и аналитичность рассматриваемых функций.

 

Определение,

 

 

 

т-мерная

поверхность

(27)

назы­

вается

интегральной

 

поверхностью

 

внешней

 

дифференци­

альной

системы

 

(S),

если

при

подстановке

 

вместо

xt

в коэффициенты

 

уравнений

и в коэффициенты

форм

шп ш

 

выражений

(27),

а

вместо

дифференциалов

dxt

выраже­

ний

(28)

получаются

 

тождества

во

внешней

 

алгебре

дифференциалов

 

dtj

 

над

модулем

аналитических

 

функ­

ций

от

tx,...,

tm.

этом

определении

предполагается

лишь

 

Как

и

всюду,

в

локальное

рассмотрение,

т. е. тождества

должны

выполнять­

ся лишь в некоторой окрестности данной точки или данной

совокупности tu..,

t т . Однако эту

окрестность

мы

не сводим

к точке: если тождества

имеют

место

(т. е.

коэффициенты

при

независимых

поливекторах

обращаются

в

нуль) лишь

для

одной фиксированной

точки

(/",...,

tm),

то

мы еще не

можем говорить об интегральной поверхности, ибо тождества

будут иметь место лишь в числовом поле, а не, в модуле

ана­

литических функций.

С семейством

m-мерных

интегральных

поверхностей всегда

связано m-мерное распределение

(см.

§ 2), т. е. закон, выделяющий подпространство

Т т в

каса­

тельном векторном пространстве Тп.

Чтобы получить

его в

виде (9), достаточно продифференцировать уравнение семей­ ства Р о = const:

dFa = 0, а = 1, ... , n—m.

Эти же соотношения получатся, если в коэффициентах со­

отношений

(28)

исключить tk

посредством

(27),

а затем

исключить

и

dt k

. Распределение, определяемое

семейством

поверхностей,

называется

интегральным

или

интегрируемым.

Очевидно, что одномерные

распределения всегда

являются

интегральными,

^-мерное

распределение,

которое

не

являет­

ся интегральным, называется

неинтегральным.

 

 

 

56

/

Все дальнейшее в этой главе посвящается решению воп­ роса о существовании интегральных поверхностей того или иного измерения для данной внешней дифференциальной системы. Задача, очевидно, разделяется на две части: 1) най­ ти решение системы (S) как внешне алгебраической, т. е. найти распределения соответствующей размерности, 2) найти среди этих распределений интегральные.

Если все переменные х t в системе (S) равноправны (в этом случае алгебраическая задача соответствует той, которая ре­

шалась

в § 6, гл.

1), то можно ставить вопрос о существовании

интегрального

распределения

максимальной

размерности.

В частности, если для системы

т уравнений Пфаффа

суще­

ствует

(п—т)-мерное

интегральное

распределение, и

следо­

вательно, интегральная

поверхность

п—т

измерений, то

система

(5) называется

вполне

интегрируемой.

 

Если же среди переменных х,- часть объявлена незави­ симыми, а остальные — их функциями, то речь может идти лишь о интегральных поверхностях размерности, равной чи­ слу независимых переменных. В этом случае алгебраическая задача соответствует задаче § 7, гл. 1, причем дифференциалы независимых переменных являются выделенными перемен­ ными.

§ 5. Вполне интегрируемое уравнение Пфаффа.

Теорема Фробениуса

Мы начинаем решение поставленной задачи с простейшего частного случая не столько из-за его логической необходи­

мости, сколько из-за того, что в нем

ясно проглядывает

идея

общего

рассмотрения.

 

 

для Х П :

 

 

 

 

Пусть

дано одно

уравнение

Пфаффа

 

 

 

 

 

 

 

w~Bal(x)dXi

=

0.

 

 

 

 

(30)

Здесь и далее в тех случаях, когда

это

не

вызывает

недора­

зумений,

 

мы

для краткости буквой

без

индекса

(например,

х)

будем

обозначать

совокупность

определенного

числа

ар­

гументов

(здесь — п аргументов Xi,...,

хп ) .

 

 

 

 

Для частных производных по xt

будем

употреблять

сим­

вол

д1,

а для производных по tk

— символ V * .

семейства

Для уравнения (30) вопрос о существовании

интегральных

гиперповерхностей решается

следующим

об­

разом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

1 (Фробениуса). Уравнение Пфаффа

является

вполне интегрируемым тогда и только тогда, когда

 

 

 

 

 

 

 

 

[Do),o)]=0 .

 

 

 

 

 

(31)

57

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если уравнение (30) вполне интег­ рируемо, то существует семейство интегральных гиперповерх­ ностей

F (х) = const, которое определяет распределение

п

dF =2 d ' F d x i = °>

совпадающее с (30). Следовательно, dF - ш = 0, кф 0.

Дифференцируя это тождество внешним образом, мы снова получим, как уже указывалось в §3 , тождество

 

D{dF)

- \d\,

ш] — XDu) = 0.

Так

как D (dF) = 0, то отсюда следует

 

Dm — — [ЙЛПА, со],

 

[ О ш ,

ш] = —

[ t / In w, ш] = 0,

т . е .

условие (31) выполнено.

Пусть теперь имеет место (31). Докажем существование семейства интегральных гиперповерхностей. Прежде всего, очевидно, что всегда существует семейство одномерных ин­

тегральных поверхностей уравнения

(30) — интегральные

кривые:

 

 

 

 

х1

==• х(

(t) + сь

Ci = const.

 

 

dx-

 

 

В самом деле, внесем

dxt—

—l-dt

в

(30). Получится одно

 

 

dt

 

 

обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

 

 

"

dx

 

 

 

 

 

2 V ( * ( ' ) ) ^ = 0

 

(32)

на

n неизвестных функций. Задав п — 1 из них произвольно,

мы

найдем

(с произволом

в одну

постоянную)

последнюю,

интегрируя

(32). Дальше

можно

рассуждать

по индукции:

достаточно

из предположения существования

семейства т-

мерных интегральных поверхностей Ж т вывести

существова­

ние

семейства (т + 1)-мерных 9J?m+i • Пусть семейство УЯт име­

ет

уравнения

 

 

 

 

 

 

x, = f,(tl,---,tm)

+ cl.

 

(33)

Рассмотрим

одну из них (для определенности ту, для которой

(с; = 0). Тогда

 

 

 

 

58

2 « ' ( * ( / ( ' ) ) ) v y ( r f ' . = o,

a=l

откуда

 

Л а ^ а < ( * ( / ( О ) ) У а / < = 0, a = 1 , . . . , т.

(34)

Так как интегральные кривые определяются с произволом п величин си то через каждую точку в Хп всегда можно провести интегральную кривую. Проведем такие кривые через каждую точку (if, ..., tm) поверхности Пусть они имеют урав­ нения

%i= т1/

>

• • • > С tm+\),

(35)

причем параметр tmJr\

выберем так, что

 

 

а,

о) =f(n,...,t°m).

(36)

Все вместе они (в некоторой окрестности, конечно) определят {т + 1)-мерную поверхность 9 Л т ц :

x i =

<?« (*i. • • • - ^ .

*m + i ) ,

(37)

где

 

 

 

? , ( * ? , . . . , * £ ,

^ + 1 ) = ФД/?,

**-и).

(38)

Покажем, что поверхность 3Jcm+ i (а следовательно, и все по­ верхности семейства, получаемые аналогично из семейства (33)) — интегральная, т . е . что,

т +1

V a i ( ? ( ^ ) ) v p ?/^P - 0,

8=1

что означает

 

 

Яр = а ' ( ? ( 0 ) ? ? ? / = 0 ,

т = 1, от+ 1.

(39)

Прежде всего заметим, что при fi = /га + 1 (39) уже выпол­ няется в силу того, что

V« i<P _ ^ _

r + Г/ =— ,

а все кривые (35) — интегральные.

Итак,

B « + i = 0 .

(40)

Теперь воспользуемся условием (31). Его можно на основа­ нии леммы IV, §5 , гл.1 представить в виде

£><в =

[вш],

(41)

где

 

 

 

в

=

U (х) dxj.

(42)

Внося (30) и (42) в (41), получаем

 

\daldx^

= Val [dxjdxt]

(43)

или

 

 

 

(Va1 -

Val) \dXjdxt] = 0.

(44)

59

Подставив в это тождество xt и dxt из (37), получим

Заметив,

{д'а1 — Val)

(v??/VT(F/ — VT?A?C?/) = °-

( 4 5 )

что

 

 

 

 

 

 

 

VTBp = d/a'-vT ?rV3 ?i +

a'v3 (v1 ?,-),

(46)

 

 

VP V4?/) = V V ( ? / ) ,

 

(47)

приведем

(45) к

виду

 

 

 

 

где

V p f i T

-

— В ^ з +

B9Lf =

0,

(48)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ =

^ V ' f v

 

 

(49)

Положив

в (48)

-( =

т +

1 и учтя

(40),

получим

 

 

 

.?E!!-=BaLm+l.

 

 

(50)

Рассматривая это тождество при фиксированном а как обык­ новенное дифференциальное однородное уравнение относи­ тельно Ва и имея в виду, что в силу (36) и (34) имеет место начальное условие

В At = о = А а = 0,

1 т +1

на основании известной теоремы теории обыкновенных диф­

ференциальных

уравнений

заключаем

 

 

 

 

 

Вл~0,

 

 

что вместе с (40)

и дает (39). Теорема

доказана.

Доказанная

теорема

легко

может

быть распространена

и на случай системы уравнений

Пфаффа.

Т е о р е м а

2.

(Обобщенная

теорема Фробениуса). Для

того, чтобы система q независимых уравнений Пфаффа

 

 

со* =

0,

х =

1, . . . , q

 

относительно п переменных была вполне интегрируемой (т . е . имела интегральную поверхность п — q измерений), необхо димо и достаточно выполнение q тождеств:

Du>x

= [ е > . . ] ,

•/ =

1 , . . .

 

(51)

Этот результат

непосредственно

следует из

второй

те­

оремы Картана, которую мы докажем в §9 . Теорема 2

до­

пускает следующую эквивалентную

формулировку.

 

Т е о р е м а 3.

Необходимым

и

достаточным

условием

того, чтобы (я — <7)-мерное

распределение (1 < q < п — 1)

 

ч>х =

0,

х =

1,

. . . ,

q

 

 

в пространстве Хп

было

интегральным, являются

соотноше­

ния (51).

 

 

 

 

 

 

 

 

60

Смотрите также файлы