Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

внешнего

дифференцирования

в

силу

теоремы

Пуанкаре

(см. § 3)

всегда приведет к тождеству. Поэтому

имеет смысл

ввести

следующее

Внешняя

дифференциальная

система

О п р е д е л е н и е .

(S'),

полученная

посредством

внешнего

дифференцирования

уравнений

внешней

дифференциальной

системы

(S),

вместе

с этой исходной

системой

образует

новую

внешнюю

дифферен­

циальную

систему (5*),

называемую

замыканием

исходной

системы

(S). Сам процесс

построения

системы

(S*)

также на­

зывается

замыканием.

Если

замыкание

внешней

дифференци­

альной

системы. (S)

не дает новых уравнений,

то она

называ­

ется

замкнутой.

Естественно

предположить,

что

совокупность

решений

системы

(S) и ее замыкания совпадают. Однако

это предпо­

ложение

нельзя считать очевидным, так как перестановоч­

ность операции подстановки выражений (27) и (28)

в урав­

нения системы

(5) и операции замыкания не устанавливалась.

Указанную перестановочность можно доказать следую­

щим образом. Рассмотрим

форму

(52)

и ее внешний

дифференциал

0 = D0 = д'а''---'Р

[dxi

dxix

- •

(53)

Запишем

(27) и (28) в

виде

и

x l

~

fi

(^1> • • • > tm)

(54)

m

d * ,

=

2 difrdt,

= dU

(55)

У=1

Подстановка

(54) н (55) в (52) дает

в

(f(t))

= a!'-iP(f(t))

[dflt,..

.,

dflp\

(56)

(мы

пользуемся

сокращенными

обозначениями,

введенными

в начале §5) .

Продифференцировав

(56) внешним

образом, использо­

вав

при этом правила (20), <21), (22) и формулу

(22'), получим

D {в (f(t))}

= д^-'р

{f(t))[df,

dfix,.

. ., dfip\.

(57)

Подставив

(54) и (55) в (53), найдем

9 / ( 0 )

= &а''-'р(/(*))

[dfh

dft

,dfip).

(58)

Формы [dfi, dftt, ... , dfi]

в (57) и (58) равны

в силу

пере­

становочности

обычного

дифференцирования

и

подстанов­

ки

(54). Поэтому

D {9 (/(*))} -

в (/(О),

(59)

что

мы и хотели

доказать.

Т е о р е м а

о з а м ы к а н и и .

Интегральная

поверхность

системы (S)

является интегральной и для ее замыкания.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Достаточно рассмотреть одно урав­

нение:

9 = Ф-1Р

[ d x , v • -dxTP\=Q.

(60)

Если поверхность (54) является

для него интегральной, то

б(/(*)) = о.

Но

тогда в силу (59)

e(f(t))

=

D{e(f(t))}^0,

т. е. поверхность (54) является интегральной и для

замыкания

в = D 6 = 0

уравнения (60). Теорема доказана.

Имея в виду

теорему

о

замыкании,

будем

всюду

далее

Г,

I

.

\

-7- V,

(61 )

D{xu

. . .

, Хп)

xt-x»

v

. . . , * „ )

=

0

(62)

в

некоторой

точке

М 0 ( * ? . ...,

хпп)

пространства

Х„, то в не­

которой

окрестности

этой

точки для всякой

аналитической

функции

Ф(х 1 ,

х п ) , также

обращающейся

в нуль в М0 :

Ф(х<\

. . . , * „ ) =

0,

(63)

можно дать

представление

Ф

=

v

Achi,

(64)

где

Ai — аналитические

в той

же

окрестности

функции от

переменных

xlt

...,

хп.

— Ковалевской).

Система

г

диффе­

Т е о р е м а

2

(Коши

ренциальных

уравнений

в частных

производных

вида

~-

=

^s (xi'

• • • ' хю

zu

• • • v zn

Т - 1 1

• • • > j r ^ V

(^5)

оХу

\

ох2

'

/ = 1, . . . , г; i = 1, . . . , п,

где

Fj — аналитические

функции

всех

аргументов

(т. е. от

х

, Zj и всех частных производных, кроме тгх, что стоят слева)

в

окрестности

„точки"

Х, = Х?, Zj = Z% &zj

= p<tj,

(66)

имеет единственное

аналитическое

решение

г1 = Ф]{х1

хп),

(67)

удовлетворяющее

условиям

Фу

(х°,,

х>,

. . . , х„)

= <pj(x2%хп),

(68)

где

<?j — аналитические

функции,

а также условиям (66).

§ 8.

Основная теорема Картана

Здесь мы сформулируем и докажем

основной

результат,

на

основе

которого

решается

вопрос о совместности

внешней

§4) имеет

интегральную поверхность 2RV (ч < п), для которой

точка М0(х\,

. . . , хп) является

неособой. Пусть 9Jcv принадле­

жит поверхности 9ЯЯ -Р (р >-1),

для которой точка М0 также

пределение Pv+i, которое 1) принадлежит

(см. § 2)

распре­

делению Pn-f,

соответствующему

поверхности S0?n-P, 2) со­

держит распределение / \ , соответствующее

поверхности

и 3) удовлетворяет

системе

(S) в точке

М0,

то существует

(в окрестности точки М0) единственная

принадлежащая 9ЛЛ _Р

и содержащая

2RV

интегральная

поверхность

2R„+i

системы

(5), которой

соответствует

распределение А,+ь

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Проделав

необходимую

замену

переменных,

можно

добиться

того,

чтобы

поверхностиЗВ„_Р

и SERv задавались

уравнениями:

9ЛЛ - Р :

хп

= 0, /г =

п — р +

1, .. . , п,

(69)

*v+l = О,

Xv + 2 = / v + 2 ( ^ i , • • • , * v ) ,

an.

• •

1

•

(70)

ЛГг е _р — /п—Р

( Х | ,

. . . , J f v ; ,

Jf* =

о.

Поверхность

2Rv+i

в силу

условий

теоремы

следует

искать

в виде

v+2

4

+ 1) ,

9»v+i:

Хп—р

— с р я _ р (АС],

. .

. ,

X,,

Xv

+

i),

(П)

•«А

=

0

при условии

C5v+ 2

(Xi, . . . , *v , 0) =

/ v + 2 (.ТЬ

• • • ,

*v),

(72)

9n-p

(-fii • • • , •fv, 0) = fn—f

(Xi,

. . . ,

x,).

Соответствующие

распределения

имеют вид

P „ _ P :

dxh

=

0,

(73)

'rfXy + l

= 0,

^

=

2

d a f g d x « >

ё = v + 2, . . . , п — р,

(74)

dx„ = 0,

s

v+1

S = v

+ 2, . . . , я — р,

^*v+i:

d x

= 2 &ЬаХк*

(75)

x=i

dxf t

= 0,