Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл (8,60Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 138

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

эти соотношения содержат только xt, то есть независимые переменные, то никакого особого решения мы не получим. Если же получатся непротиворечивые уравнения, содержащие Zj, то эти уравнения надо присоединить к системе (S), и если новая система (S') окажется в инволюции, то мы можем утверждать существование особого решения системы (S) с со ответствующим произволом (для системы (S') это решение, разумеется, является регулярным).

§10. Продолжение внешней дифференциальной системы. Теорема Картана о продолжении

Впредыдущем параграфе решен вопрос о существовании регулярных и особых решений для внешних дифференциаль ных систем, для которых соответствующие внешние алгебра ические системы являются (в некоторой области пространства Xп+г ) системами в инволюции.

Теперь мы должны выяснить, могут ли иметь решения те внешние дифференциальные системы, которым соответст вуют внешние алгебраические системы, не являющиеся сис темами в инволюции, т. е. не имеющие регулярной цепи решений. Мы имеем в виду здесь и ниже только системы с выделенными переменными. Их решениями могут служить распределения вида (97), причем эта система Пфаффа будет


определять n-мерную		интегральную	поверхность	только в
том случае, если она	(система) вполне		интегрируема.
В дальнейшем мы для краткости будем говорить о внеш
ней дифференциальной		системе, что она — в инволюции (или
не в инволюции),	подразумевая, что		в некоторой	области

изменения переменных соответствующая внешняя алгебра ическая система — в инволюции (или не в инволюции).

Внеся в систему (S) вместо dzj выражения (97), мы по лучим некоторые совокупности конечных соотношений, по лучающихся приравниванием нулю коэффициентов при неза

висимых поливекторах	[dx(l,	dxt	\;
F* (*„ zj,		vj) =	0.	(103)
Если эти соотношения дают (непосредственно				или в
качестве следствий)	нетождественные связи на xt			или

противоречивые соотношения, то это значит, что наша ис

ходная	система	(5) не	имеет решений, т. е. является			проти
воречивой.
Если же таких соотношений не возникает, то, дифферен
цируя	(103), мы	получим		уравнения	Пфаффа вида
	Q, = <zi dxt		+	% dzj + T 6	dvy = 0 ,	(104)

которые вместе с (97) образуют новую систему уравнений

Пфаффа, причем система	(S)	будет	ее следствием,		т. е. лю
бое решение системы (97) и		(104)	является	решением сис
темы (S). Система (97),	(104) является, в			общем	случае,
незамкнутой, и для отыскания ее решений мы					должны
присоединить к ней квадратичные уравнения
[dydxt]	= 0 ,	DQx	= 0.		(105)

Мы получаем новую внешнюю дифференциальную сис тему (97), (104), (105) с выделенными переменными х, и неизвестными функциями г-р ч). Обычно часть функций (не известных) можно легко исключить при помощи соотноше ний (103), (104).

Мы приходим к выводу, что исследование любой внеш ней дифференциальной системы не в инволюции всегда может быть сведено к исследованию квадратичной (т. е. содержа щей внешние уравнения степени не выше второй) внешней дифференциальной системы.

Описанный переход от внешней дифференциальной сис

темы (S)	с выделенными	переменными x-t			к квадратичной
системе (97), (104), (105) называется продолжением						системы
(S).
Такое	продолжение может		быть, конечно,		осуществлено и
в произвольном базисе, т.		е.	исходя	из соотношении			(98)
вместо (97). При этом однако должны быть					найдены		выра
жения внешних дифференциалов Du>h DQt					через	внешние
произведения при помощи соотношений				(94) — (98).

Если новая квадратичная система окажется в инволюции, то исследование системы (5) заканчивается: решения новой системы позволяют найти решения исходной системы с пара метрическим произволом интегрированием вполне интегриру емой системы (97).

Если же новая система — не в инволюции, то приходится делать новое продолжение. Этот процесс не может продол жаться бесконечно, как показывает следующая

Т е о р е м а К а р т а н а о п р о д о л ж е н и и . Всякая замк нутая внешняя дифференциальная система (S) с выделен ными переменными Или противоречива или после конечного числа продолжений сводится к системе в инволюции (может быть — вполне интегрируемой).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть исходная система (S) непро

тиворечива и не в инволюции. В результате				первого продол
жения мы получим систему уравнений			Пфаффа:
dzj-vl/dxi	= 0, t =	l —	> n >	/ 1 0 б )
	/ =	1,	г,

причем в силу конечных соотношений вида (103) все zp vj могут быть выражены через некоторое число новых неиз

вестных функций

zjl (у, =

г,)

и независимых

перемен

ных

Х{.

V/ — Vj(Xl,

Хп,

2 , ,

Z r

J ,

(107)

2; -

Zy ( J C L

J C „ ,

z,,

zr ,).

Дифференцируя

(107),

получаем

rfvj =

dxh

рУ1

dzJlt

л,

y, =

r,.

(108)

Замыкание

системы

(106) с учетом

(108) дает

p f

[dzj,

dXi]

+ vj'' [dx,,

dx,]

(109)

К этой системе относительно zy, и сводится

результат

продолжения

исходной

системы,

так

как

все

остальные

уравнения

сводятся

конечным

уравнениям

для

нахожде

ния

, Zy.

Система

(108) всегда

вполне

интегрируема

в силу

того,

что D(df) = 0 (см. § 3).

Вследствие непротиворечивости исходной системы сис

тема

(109) также

должна иметь

решения

вида

dzjl

— <sjldxi = 0.

(ПО)

Поэтому в касательном векторном пространстве Тп+Г,

можно

ввести новый

базис:

dxh Q j ^ d z ^ - ^ d x , ,

(111)

относительно

которого

уравнения (109) примут вид

Положив

ХУ'

[%i dxi]

— 0.

(112)

О . — „Л

(113)

и сделав произвольную замену базиса [dxi]

rfxi

a S / „

det||a-4|^0,

(114)

мы приведем

(1!2) к

виду

где

[о«с„(] =

о,

(115)

Q } =

4<o/-

= ^

( П 6 )

V-'/'-bis'/'-

( И 7 )

В системе (115) формы 2} не образуют

базиса

подпро

странства

ТГ1 — Т„+Г,\ТП,

но содержат

его, т. е. число ли

нейно независимых форм

Q) равно г,.

Система (115)

состоит

из г

уравнений

(строк),

каждое

из которых содержит слева п квадратичных

слагаемых, т. е.

принимает

вид

таблицы

с г строками

и п

столбцами. Ко

нечно, некоторые 2} могут быть равны

нулю.

Приведение

квадратичной

системы

к виду (115) значи

тельно

облегчает

применение

критерия

Кэлера,

который

в этом случае является необходимым и достаточным

ус

ловием

инволютивности,

так как базис ш; , введенный

по

формулам

(114),

является

произвольным

(см. § 7,

гл. 1).

На

первом шаге мы должны искать

решение в виде

2} = х" ш , ,

ы2

• • • = ш" = 0

(118)

или, имея

в виду

(116),

виде

• 1

» я = 0 ,

(119)

/.,-. to,

так как, зная Хд, мы найдем и

х}< =

# 7 } , .

(120)

Коэффициенты

Кэлера

Хд — произвольны,

так как

мы те

перь имеем только квадратичные уравнения

(109) или рав

носильную

им систему (115).

На втором шаге мы ищем коэффициенты

Ху = у-'/'Х^, под

ставляя

выражения

2J- =

X j 1

ш 1 -|- X}2 ш 2

(121)

в (115) и

считая Хуи а следовательно,

и X}1

заданными. По

лучаем

\ ) 2

— \?=0

(122)

или

У У ^ ^ Ч .

(123)

Ранг s, матрицы

I р-У'|| есть

первый характер системы

(115).

В силу (116)

2} = ^ 2 Л .

(124)

Поэтому среди 2} имеется как раз s, линейно независимых векторов подпространства 7%,. Произведем перенумерацию уравнений (115) так, чтобы независимыми были первые векторов Q).

Смотрите также файлы

Авдеев, Н. Я. Аналитико-статистические исследования кинетики некоторых физико-химических процессов учеб. пособие.pdf

Автомобиль ГАЗ-69. Технология текущего ремонта.pdf

Альбедо нейтронов..pdf

Аммер, С. А. Нитевидные кристаллы (получение, механизмы и кинетика роста) учеб. пособие.pdf

Ахмедов, Р. Б. Газ в народном хозяйстве Узбекистана.pdf

Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно