Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если векторы аи

а2,

ар

линейно

зависимы,

то существуют

такие скаляры

X1, X2,

\р~1, что

ар

=

Х'а, + Ш 2 -\

И Х^-1

а р _ ь

Тогда по правилам внешнего умножения

получаем

[a,<V • -ар.хар\

=

X1 [ я ^ -

••ар^ах

\ -\

\-

-\-\p~1

\ахаг

• -dp-xcip-i] =

0.

Следовательно, условие (8) необходимо.

а^фва.,

Пусть

теперь

(8)

имеет

место. Положим

где

i— 1, 2 ... />, а,- =

1, 2, ... п.

Тогда

|а,а, - • -ар]

=

h'"'^- •

<?«,«,•••<«

=

0,

а, < а2

< • • • < а р ,

М М

'1

равны нулю, т. е. векторы аи

а,, ... ар

— линейно зависимы.

Достаточность

признака (8)

доказана.

Л е м м а II .

Если для р

линейно

независимых векто­

ров xq

пространства

Е(п^р)

и

для р

r-векторов

aq

имеет

место

соотношение

п

г

то

существуют

такие

(г — 1)-векторы

Ьт (не

все

равные

нулю),

что

г-У

2

\Ь<,иХахя\=0

(10,)

и, <?=1 г — 1

*) Операция ,альтернирование" означает следующее: S'0"1-• -£рр^

есть

сумма всех

выражений

б^3. —. £р/> по

всем

возможным

различным

пе­

рестановкам

индексов

oj, а2 ,

ар,

причем

те

слагаемые,

в

которых

af,

а ^

,

a

t

представляют

собой

нечетные перестановки

индексов

1,

2, ... р,

берутся

со

знаком

минус. Поэтому

выражение

£ [

"

' е с

т ь

не

что

иное,

как

определитель

р-го

порядка.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Дополнив

векторы

х 9

векторами

(s = / > - f - 1 ,

/г)

до

базиса пространства

Е,

разложим

aq

по

этому

базису:

п

г

ад

=

$

\ЬЧиХ»\+

|

\bqsxs\

(11)

(см. (6)

и

(7))

и

внесем

разложение

в (9).

Получим

и, <7 =

1 г—1

<?=1

+ 1

Эти два

слагаемых

линейно

независимы,

так

как

второе

ни

в

одном

члене

не

содержит

более

одного

множителя из

xq

,

£

[ 2

\bqsxs],

xq}=0,

<7=1

s = p +

l r ~ \

заметим,

что

все p

слагаемых

тоже

линейно

независимы,

так как первые сомножители не

содержат

xq

ф 0.

Поэтому

второе

слагаемое в

(11)

равно

нулю,

а

следовательно, по­

лучается (102 ).

Л е м м а 111 (Картана).

Если для векторов xq,

yq

(q~l,...,p)

пространства

Е(п^р)

имеем

п

S [ * * y , ]

= .o,

q=l

и векторы xq

— линейно

независимы,

то

векторы

уд

разла­

гаются по векторам xq

с симметричной

матрицей

коэффи­

циентов:

У<г = °<!*«>

и =

р,

и

q

°q —

Ou.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

в

лемме

II

г =

1.

Тогда

bqa

=

o"q

суть

скаляры,

(102)

дает

разложение yq

по

бази-

г—1

xq,

aaq

= а"и.

су

а

(10,) — соотношение

Л е м м а

IV. Если

х]

=

0,

Ф О,

[а,

х

то

г

я

=

[а,

* ] .

Действительно,

пусть

в

лемме

I I

р=1.

Тогда

( I O 2 )

дает

наш

результат. Соотношение

(10i)

в

этом

случае

обращает­

ся в тождество.

Нетрудно видеть, что для всех трех лемм имеют место и

обратные предложения,

так

как

из

(1 Oi)

и (Юг)

сразу

сле­

дует

(9).

Лемму

I I иногда

называют обобщенной леммой

нятий

контравариантных и ковариантных

тензоров,

то

они

возникают на базе введения понятия сопряженного

(к

дан­

ному)

векторного пространства. Мы сможем

в пределах

на­

структуры

мы будем

рассматривать (т. е. исследовать и даже

решать) уравнения и системы уравнений.

Пусть,

мы имеем внешнюю алгебру, построенную

на

n-мерном

векторном

пространстве

Е над полем Q. Всякое

ли-

п

алгебры

нейное соотношение между векторами

ае +

¥ и, + Т Л Л К

Щ\

+ • • • = 0

(12)

дится к системе уравнений, каждое

из которых

содержит

лишь векторы одной и той же внешней степени

исходного

векторного пространства

Е , т. е. к

системе вида

п

a'' U{ = О,

ъ

* ' Л

К и,,] - 0,

'

(S)

ь

а ' [ « , , « ! , . • . « , ]

= 0 ,

г де

р < п — 1,

ij = 1, 2,

я,

/у < i„

если у < /, а

7, —номера уравнений.

внешней

Такую систему уравнений мы будем называть

алгебраической

системой

или, короче,

системой

(S).

Решением

системы

(S)

называется

совокупность выра­

жений:

«; = Рг^,

г =

1,2,

a =

l,2,

...,q^n,

(13)

rang||fr/|

=

?

п

q

л

П р и м е ч а н и е . Что касается векторов uh то они

в си­

л у (13) тоже принадлежат 9. Можно считать, что они

пред-

ч

ali-tp{uil---ulp\

- О ,

если р> q.

Поэтому естественно начать

поиски решений системы (5)

с „одномерных" решений, т. е.

с решений вида