Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

ляемый на луче совпадением касательных плоскостей двух сопряженных регулюсов, проходящих через луч, является инволюцией. В самом деле, если точки

M = r+ te:i и М* = г \-te-i соответствуют в таком поляритете, то векторы

должны быть параллельны, т. е. должно быть

Это соотношение должно оставаться неизменным при замене t^~*t, «>•<-—ш, если поляритет является инволюцией. Но это воз­

двух сопряженных регулюсов. В терминах канонического

репера величины /; и г; должны удовлетворять соотноше­ ниям вида (41'). Следовательно,

и только при условии (169) мы имеем

Q = - 1.

Следовательно, сопряженность двух регулюсов комплекса, проходящих через данный луч, характеризуется гармониче­ ской сопряженностью их точек прикосновения.

204

Совокупность регулюеов комплекса, сопряженных с неко­ торым фиксированным регулюсом, образует неголономную конгруэнцию, так как поляра точки относительно кривой вто­ рого порядка на нашей диаграмме есть прямая линия. Урав­ нение этой неголономной конгруэнции мы получим если в (158), (159) или (160) будет считать заданным отношение форм

Эту неголономную конгруэнцию мы будем называть со­ пряженной с регулюсом (165). Например, «координатные» регулюсы (в каноническом репере) (81) и координатные неголономные конгруэнции (82), (83), (84) образуют такие сопряженные пары. Каждому торсу сопряжена содержащая его параболическая конгруэнция (на диаграмме ей соответ­ ствует касательная к кривой (78) в точке, соответствующей торсу). Все торсы суть самосопряженные регулюсы.

Неголономной конгруэнции (124), к которой мы относим полуканонический репер, в силу (159) будет сопряжен регу­ люс

а ее торсам (125) сопряжены неголономные конгруэнции, имеющие в терминах полуканонического репера уравнения

С2 + ъ) °>1 - Ъ «4 - Сз о»!} К - Ц ) = 0 (167)

Соотношение сопряженности регулюса и неголономной конгруэнции можно характеризовать и еще одним важным свойством: точки прикосновения регулюса совпадают с фоку­ сами сопряженной с ним неголономной конгруэнции.

В самом деле, найдем точки соприкосновения регулюса (166). Для них должно быть (см. § 3)

с

кривизна комплекса т)2 отлична от нуля, мы получаем совпа­ дение точек прикосновения с фокусами (126).

Заметим, что эта характеристика сопряженности носит проективно-инвариантный характер. Ее можно сформулиро­ вать и так: фокусы неголономной непараболической конгру­ энции образуют гармоническую четверку с точками прикос­ новения любого принадлежащего ей регулюса.

*) В п р е д п о л о ж е н и и С2 =£ 0, т. е. н е г о л о н о м н а я к о н г р у э н ц и я п р е д п о л а ­ г а е т с я н е п а р а б о л и ч е с к о й .

Кроме формы Oi = (о1со2з — си^со'з, мы имеем еще одну от­ носительно инвариантную квадратичную форму Ф 2 — левую часть уравнения (72), определяющего асимптотические регу­ люсы (см. § 4). На диаграмме Циндлера этим регулюсам так­ же будет соответствовать кривая второго порядка, а потому имеет смысл рассматривать сопряженность регулюсов и отно­ сительно этой квадратичной формы.

Будем называть эту сопряженность вторичной (Н. И. Кованцов [11] назвал ее просто сопряженностью, что в нашем изложении неудобно). Для выяснения ее геометрического значения проведем несложное построение в каноническом репере. На луче регулюса (18) возьмем точку

М = г 4- tes.

Рассмотрим линию, которая в этой точке перпендикулярна лучу. Уравнение последней имеет ЕИД (dM, е3) — 0 или

Плоскость, соответствующая М в нормальной корреляции (22), огибает вдоль нашего регулюса торс, образующая / ко­ торого (соответствующая рассматриваемому лучу) имеет на­ правление

т. е. для которых образующая / перпендикулярна лучу, на­ зываются точками симметрии. Для их определения, разверты­ вая (170), получаем уравнение

Вычислим сложное отношение определяемых этим уравне

Сравнивая (172) с (72), получаем, что вторичная сопря­ женность двух регулюсов комплекса характеризуется гармо­

со1 : со'з : ю2з, мы получим уравнение неголономной конгруэн­ ции, вторично сопряженной с этим регулюсом.

§ 10. Главные неголономные конгруэнции и главные

регулюсы. Главные линейные комплексы

Наличие сопряженности относительно двух квадратичных форм естественно вызывает вопрос о двояко-сопряженных подмногообразиях.

Очевидно, что для каждого регулюса, принадлежащего комплексу и проходящего через данный луч, можно найти единственную точку на диаграмме Циндлера, которой будут соответствовать регулюсы, двояко-сопряженные данному: де­ ло сводится к определению точки пересечения двух прямых — поляр данной точки относительно двух кривых второго поряд­ ка, соответствующих квадратичным формам Ф] и Фг.

Гораздо интереснее задача об отыскании троек точек, со­ ответствующих попарно двояко-сопряженным регулюсам. Ал­ гебраически эта задача эквивалентна задаче об отыскании главных направлений поверхности второго порядка (эти нап­ равления, как известно, можно определить как одновременно сопряженные и ортогональные, а условия ортогональности и сопряженности получаются приравниванием нулю двух били­ нейных форм). Поэтому естественно, что регулюсы, входящие в тройку попарно двояко-сопряженных, назвали главными регулюсами. Неголономная конгруэнция, состоящая из регулю­ сов, сопряженных главному регулюсу, называется главной не­ голономной конгруэнцией комплекса.

Геометрически главные регулюсы характеризуются преж­

Мы. должны найти по крайней мере три точки, удовлетво­ ряющие системе: .

207

Для существования нетривиальных решений этой системы необходимо и достаточно, чтобы

Соприкасающийся линейный комплекс главного регулюса называется главным линейным комплексом. Для нахождения последнего надо в уравнение (71), которое запишется те­ перь в виде

Поэтому, если мы хотим сразу найти главные линейные комплексы, надо лишь записать характеристическое уравне­ ние в виде

д л е р а , к о т о р ы м с о о т в е т с т в у ю т т р о й к и г л а в н ы х р е г у л ю с о в .

208