Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Скачать файл (8,60Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 119

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

остальные W равны нулю, а значения а1'1 даны в (80). Поэ тому характеристическое уравнение принимает вид

		1 ,	Ч + > • .			= 0.		(184)

	Ч + * ^ i ^ ' — % Ч 1 ^ — 4 s
Подставляя корни		этого	уравнения		в	(68), мы и получаем
главные линейные		комплексы.
Главные регулюсы имеют чисто проективное характеристи
ческое	свойство: только		на них	обе	линии		прикосновения
являются асимптотическими. В самом деле,							для того,	чтобы
линия,	описываемая точкой М=			r-\~ te3		на	регулюсе	(165),
была	асимптотической, должно			быть
		(dM,	dnt) = 0.				(185)

Если же эта линия - линия прикосновения, то nt\t\2ex + te2. Тогда условие(185) принимает вид (мы работаем в терминах канонического репера)

(Ы\ + со») (dt[, -Ы\)	+ {Ъ*з	+ t*l)		+ dt) -
- (u3 + dt)	(rjocol +	tml)	= 0

или

(ij2a>J + t(ol) (ij2u>» - to3) + (Ы1 + со1) (drt, - Ы\) = 0. (186)

Если учесть, что для линий прикосновения в силу (4Г)

TJ, (Ы\ + со1) = t{vu\t +

то для совпадения (186)с уравнением линий прикосновения достаточно потребовать совпадения уравнения

7 j 2 (7J2 C02 — CD3 ) -f-1 (Ы\ — drj2) = 0

с уравнением (4Г) . Это дает

со\| _	— От;,	т)2со2 — со3
	2TJ2COJ	(187)
(oj	2TJ2COJ

Если теперь записать (175) с использованием (73), (80), (183), (16) и (17), то получится (187), что доказывает наше утверждение.

Отметим еще одно свойство главных регулюсов. Они яв ляются решениями задачи об экстремуме отношения основных форм Фг и Ф]

* =

(188)

(Эту величину называют иногда нормальной кривизной регу люса комплекса). В самом деле, записав (188) в виде:

14. Заказ 6667.

209

Ф, + 2-/.Ф, = О
или
(а'"> + 2-/bij)xlxj = 0		(189)
и продифференцировав последнее уравнение по х0,		х, и хг,
мы вновь получим уравнения	(176) при s = ~2 - /,	а для
х —уравнение (177) или (в каноническом репере) (184).
§ 11. Инфлекционные центры	и неголономные конгруэнции W

Характеристическое уравнение (182) является, как изве стно, условием распадения квадратичной формы Ф 2 + АФ1 на линейные множители:

Ф2 +2Х.Ф, =

(190)

где

Wп и V7/2 — линейные

относительно со1, о 3 ,

и>1 диффе

ренциальные

формы, a Xj — один из корней

уравнения (182)-

Представляет

интерес

изучить неголономные конгруэне

ции

№ н ~ 0 (i = 1, 2, 3; а = 1 , 2),

которых

в общем

случа-

имеется очевидно,

шесть

*): каждому

корнюX. соответству

ет две неголономные конгруэнции

W п = 0 и № ,2 = 0, которым

принадлежит

совокупность

всех

регулюеов, имеющих соп

рикосновение

второго порядка с главным

линейным

комп

лексом, соответствующим

корню Х(.

Неголономные конгруэнции Wia

— 0 мы

будем называть

неголономными

конгруэнциями

W, так как они обладают, как

мы сейчас докажем, свойством, аналогичным

основному

свойству **) обычных конгруэнции

И : соответствием

асимп

тотических линий

на фокальных неголономных поверхностях.

Пусть неголономная конгруэнция си'=0,

к которой

мы от

носим комплекс вполуканоничёском репере, является

него

лономной конгруэнцией W. Это значит,

что при некотором i

имеем

0 , 4 - 2 X ^ = ^ 4 .

(191)

где

W — некоторая линейная

форма.

Тогда

a l l =

-2k,bl\

a1* = .-2klblt,

(192)

а 4 2 =

2)ЧЬ2\

так как Ф 2 4- 2ХгФ4

должно

обращаться в нуль

при ш1 = 0.

В силу (76) и (9) в полуканоническом

репере имеем

Ф 1 =

uAo^ — со2со3 =

— ; . , C O 1 O J 3

4- co'cuj8 — ?)2 (u)3 )2 — ^2со3со^.

(I 93).

С м . сноску

в н а ч а л е § 5.

**) См . § 15, гл. 2.

210

Поэтому

= -rj.,,2br2

- - : 2

, 6 2

2 = 0.

(194)

Чтобы получить коэффициенты

ап, а12, а22,

надо распи

сать соотношение

(70) в терминах полуканонического

репера

и,

положив X = 0, выписать коэффициенты при

(«\3 )2 ,

w 3 ( u l и

(ш2 ;)2 . Подсчет

дает:

aU = 7], , -

l, ( r j ^ ,

+ 7 j 3 ) ,

2a1 2 =

; 2 2

+ 7 ] 2 3

TJ,^ — 7 j 3 —

(;3 + TJ2 :, -

4 l c,),

(195)

Здесь

по аналогии

с (17) введены

обозначения:

^ 2

= Ъг®1

+ W

i + Ъ->шз,

(196)

причем в силу

(10) (при 1 = 2)

имеем

ч>2 -

^ з = Z2 =

- тьть -

; ) : 2 - #S2.

(197)

Таким

образом, из соотношений (192) следует:

Qj == a2 2 = ; 2 3 - С3 + Ci (Е2 ;2 + ч2 ) = О,

= 2 (a"b1 2 -

a1 2 ^1 1 ) = TJ2

(TJ2 3

: 2 2 ) -

; 2 Ч З 2 + TJ2 ( т ^ , -

TJ8) +

+ :2 (ъЪ - ъЪ) + и (%с8

c2 7j3 ) + e^sct = о.

(i98)

Условия

(198^ являются не только необходимыми, но и доста

точными

для того,

чтобы

неголономная конгруэнция

о 1 = О

была

неголономной

конгруэнцией W, так как при их выпол

нении

уравнения

(192) дают

только

единственное значение

удовлетворяющее характеристическому уравнению.

Чтобы

доказать

выполнение

сформулированного

выше

свойства

неголономных конгруэнции

W, напомним, что асимп

тотическими линиями неголономной

поверхности

называются

те интегральные кривые, определяемые ее дифференциальным

уравнением, для которых соприкасающаяся плоскость										совпа
дает с «касательной»		плоскостью неголономной						поверхности,
т. е. той плоскостью,		которая ассоциируется с						точкой		про
странства при помощи			указанного			дифференциального				урав
нения. Поэтому они характеризуются							уравнением
или, что то же,		(a*V,		п) = 0		, ,			(199)
					= 0,				(200)
	(dr,		dn)
где г — радиус-вектор			точки,		а п—орт		нормали		плоскости,
ассоциированной с точкой.				В силу		определения			фокальных
неголономных	поверхностей,				данного в § 6, и формул					(126)
(128) и (129),	мы получаемиз (200) следующие								уравнения
и:									2П

асимптотических линий для двух фокальных неголономных поверхностей конгруэнции со1 = 0:

				(rfr,de1)(0..-,o = 0,				(201)
(d(г		— r.2«s). d ^ e , + С2 е2 ))( 0 .-о					= 0	(202)
или
(ЪЪ - Ъ) К ) 2	+			+	- гч)	+ 4^2 («>!)» = 0,		(203)
S К ) 2			- f Г«.Jo.? + С2(У (eg)" = 0,					(204)
где						^ii (^ l + Ц) — ЧЛз,
5 = 2т)2С22				— £ 2 7 \| , 2 +		^ii (^ l + Ц) — ЧЛз,
т = с2 (;2 2 -	T J 2	3 )	+	2 Y J / , 2	3 + с, (•; ? + 7, \|) -		- с2 7]3 , (205)

U = ->23

Таким образом, условие соответствия асимптотических име ет вид

S	Т	U	(206)
			(206)

(в случае £г = 0 задача теряет смысл, так как неголономная конгруэнция ш1 = 0 становится параболической, т. е. имеет лишь одну фокальную неголономную поверхность), что равно сильно двум соотношениям:

	X = ТС, + U £ T			- C,vj, -		uvj,) = 0,
	Y = C,7i2 Т -	С,С2 S - Ы		+ С2 7]3		-	С3т1,) U = 0.	(207)
Используя (198),		находим
	Г = № - C27j3		+	7 j j ^ )	Qi -		V 2 Q 2 .	(208)
Таким	образом, уравнения		(207) являются следствием урав
нений	(198) и, следовательно,				неголономные конгруэнции

оправдывают свое название: асимптотические на неголоном ных фокальных поверхностях соответствуют.

Однако неголономные конгруэнции W обладают еще ря


дом замечательных			свойств, связывающих их с другими		важ
ными понятиями теории комплексов.
Мы	видели в § 2, что любой			функции t первичных	пара
метров	соответствует торс
	х, = о 1 - f Ы\ = 0 , х2 =			о,2 + Ы\ = 0	( 209)
с фокусом		в точке	F — г + te3.	Этот торс будет являться
плоскостью		П, если	функция t удовлетворяет условию

(<?3, de3, ci*e3)-1= xa = o = 0.

212

Смотрите также файлы

Авдеев, Н. Я. Аналитико-статистические исследования кинетики некоторых физико-химических процессов учеб. пособие.pdf

Автомобиль ГАЗ-69. Технология текущего ремонта.pdf

Альбедо нейтронов..pdf

Аммер, С. А. Нитевидные кристаллы (получение, механизмы и кинетика роста) учеб. пособие.pdf

Ахмедов, Р. Б. Газ в народном хозяйстве Узбекистана.pdf

Файл: Щербаков, Р. Н. Основы метода внешних форм и линейчатой дифференциальной геометрии.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно