Файл: Шнепс, М. А. Численные методы теории телетрафика.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 122

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

зовом) требует для своего обслуживания / линий. Если число сво­ бодных линий в момент поступления t-вызова меньше /, то вся группа теряется, не влияя на ход будущих событий. Группа начи­ нает и кончает обслуживаться одновременно, при этом’продолжи­ тельность обслуживания /-вызова подчинена экспоненциальному закону с параметром /= 1,..., п. Порядок предоставления сво­ бодных линий произвольный.

При этих предположениях действие системы можно описать мар­ ковским процессом

* ( 0 = Ы * ) . ■ • - х п(Щ,

где X i ( t ) — число /-вызовов, обслуживаемых системой в момент t. Траектории процесса определяются следующими вероятностями пе­

рехода. Вероятность перехода из состояния X(t) = {x(t),...,

xn(t)} в

состояние

{xi(t),.„,

X i - \ ( t ) , X i ( t ) +

1,

xi+l(t),...,

xn(t)}

за

интервал

(/,

/+ Д/)

равна

Г :Д/ + о(Д/),

/— 1, 2,...,

где Я*,- = Я,-, если

П

 

 

п

 

 

 

 

 

 

2

iXi(t) +i^Zv, и A,*i= 0, если V

ix{(t) + />о.

 

 

 

 

/=i

Соответственно

“ i

перехода из X (t)

в

{Xi(t),...,

 

вероятность

,...,

Xj(t)— 1,..., xn(t)} определена для X i(t)^ 1

и равна

p,iXi(t)At+

+ о(Д/), /=1,..., п.

Вероятность того,

что за время Д/

в

состоянии

X(t) изменения не произойдут, равна

П

\iiXi(t)+

П

 

1 — { V

 

V Я*,}Д/+

 

 

 

 

 

!=i

 

i=i

 

+ о(Д/). Легко видеть, что множество состояний рассматриваемого марковского процесса образует один существенный класс без су­ щественных подклассов, поэтому существует стационарное распре­ деление процесса, не зависящее от времени / и от начального со­ стояния. Рассмотрим стационарные вероятности состояний процес­

са р (х 1, х%...,

хп). Обозначим через 5

множество состояний процес­

са, т. е.

 

 

П

 

 

 

S = {(хь . .

хп)\ 0

<

i — 1, . . п\ V /х4.< к }

i= 1

(квадратная скобка — знак целой части). Стационарные вероятно­ сти согласно (1.41) с точностью до произвольного множителя опре­ деляются из следующей алгебраической системы:

^

1=1

Xf£0

Р (х1, • • .I xi 1> • , •i %n)

n

Mx„..., xn)

 

V p-f Хг+

^

P(Xi, . . X„)+

Li=l

i=l

 

X n )

 

 

+ ^

Рг (^r+l)P(*ъ ■ •

1 t ••>xn)= ^

32

 

 

6 5,

 

 

 

/1

по всем (Xi,..., хп)

где А (х1,..„ хп)= т т (п , v— ^ ixi). Подста-

 

 

 

 

 

 

i=i

новкой убеждаемся, что стационарное распределение задается

Р 1) ■ • .1

Ро I

I

С^Ь • • ■! %п) £

 

 

 

! =

1

 

 

где

i= i,...,n ,

а р0 определяется аз нормирующего условия

 

 

 

 

 

П

X,

Ро =

р(0, . .

„0) =

 

Е .

, п

- ^

 

 

 

 

-A'n)es i=i

Далее выводим формулу вероятности потерь. ^Условная вероят­ ность потерь в состоянии (xi,..., хп) равна отношению потерянной нагрузки в этом состоянии к поступившей нагрузке. Под поступив­ шей нагрузкой понимаем среднее число занятых линий в бесконеч-

П

ном пучке линий, что равно ^ IQiПод потерянной нагрузкой по-

/=1

нимаем разность между средним числом занятых линий в бесконеч­ ном пучке и средним числом занятых линий в данной о-линейной

системе в состоянии (х\,..., хп). Потерянная нагрузка равна

П

^. ja,j. Тем самым на основе формулы полной вероятно-

i—Atei..... *п) + *

 

 

сти (или согласно (14))

мы приходим к формуле вероятности по­

терь:

-

.

п

/= 1

где До — определено выше. В случае n = 1 ф-ла (21) совпадает с формулой Эрланга (1).

П р и м ер . Применим ф-лу (21) к решению задачи — выгодно ли объединять полнодоступные пучки, обслуживающие ординарные пуассоновские потоки различных t-вызовов.

Пусть дан полнодоступный пучок, состоящий из о= 7 линий. На пучок поступает стационарный неординарный пуассоновский поток с параметром А = а (1 + й ). С интенсивностью Xi = а поступают вы­ зовы, занимающие одну линию, а с интенсивностью Xz=ka посту­ пают вызовы, требующие четырех одновременно свободных линий. Продолжительность обслуживания отдельного вызова подчинена

экспоненциальному закону с параметром pi=p,2= 1-

2— 264

133

Пользуясь

обобщением формулы

Эрланга

для

неординарного

потока (21), получаем вероятность потерь па

для

объединенного

пучка из семи линий:

 

 

 

_

Ра

4И'а + 4к-а- + 2k2a3+

k(\ -I- 26)

t4 + — a5 + — aG+

1+ 4k

 

 

30

180

, 1 4-

46 7

 

 

 

 

л----!— •a1

 

 

 

 

5040

 

 

 

 

где p o 1 = 1 + a(&+l)+ ~zr№ +

l) + -£(3* +

l)+-£-(4A + 1)+

2!

31

4!

+— + — + — 5! 6! 7!

Теперь рассмотрим два пучка si= 3 и 52= 4, которые обслужи­ вают два ординарных потока с интенсивностями а и ka соответст­ венно. Для каждого пучка в отдельности вероятность потерь опре­ деляется формулой Эрланга:

Jtl —

ав

ka

----------------------- ,

Яо = -------- ,

 

6 -f- 6а + За2 + а3

1 + ka

Отсюда получаем вероятность потерь ль для системы двух пуч­ ков с числом линий 5 = 7:

л,, =

J __

4k

Л2 =

1 +4А

Л1 + 1 + 4k

2462а + 24k-a (1262 4-l)a3 4-(462 4-6)a*

(1 + 4 k ) (6 4 - 6 (6 4 - 1)а 4-3(26 4- 1) а2 + (36-f- l)a3 -f-6a4)

Сравнение ла и ль проведем при малых и больших значениях параметра а. Для этого разложим ла и ль в степенной ряд по ма­ лым значениям параметра а и 1/а соответственно. В первом случае получаем:

Ла = (4k2a — 4P a r + 4&4a3 + о (a3));

nb =

-j—^

{^k~a— 4k3a2+ (AW +

-g-j a3+ о (a3)

 

Во втором случае:

 

 

 

l

 

 

 

-

i + 4 * [ ( 4 & + 1 ) - " 7 + ^ + ^ + 0 ( ^ ) ] ;

я * = T T T k [(4*

j ' 1} ~ T + (3 +

^ + ( 3 "

^ + 0 ( a _ 3 ) ] •

Сравнением коэффициентов асимптотических разложений в пер­ вом и во втором случаях приходим к следующим выводам:

1.При малых значениях а всегда выгодно объединять пучки независимо от величины k.

2.В случае больших значений а выгодно иметь объединенный ■пучок при k<\ и 'выгодно разделять пучок при k ^ l .

34

2.3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ЭРЛАНГА И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

1. Вывод формулы

По определению гамма-функции Эйлера

 

 

оо

 

 

 

Г (k + 1 ) =

| e- t xk dx,

R e £ > — 1.

 

(2 2 )

 

 

о

 

 

 

Если k — целое число, то

 

 

 

Г (к +

1) =

й!

 

 

(23)

Полагая %=pt, получаем

 

 

 

r ( k +

1)

pt № .

 

 

(24)

„*-Н

-

f

 

 

 

Этот интеграл

можно использовать для

видоизменения формулы

Эрланга (1). При целых k с учетом (23)

вместо (24) имеем

 

 

 

 

 

 

(25)

Формулу Эрланга (1) запишем в виде

 

 

1

 

 

N\ (jV — /)!

(26)

En (А)

 

 

AN~l+ l ‘

i= 0

i= 0

 

 

 

 

 

Применим (25) к каждому слагаемому в (26) и поменяем местами знаки суммы и интеграла:

оо N

 

 

 

N \

- A i t N - l d t

(27)

-N

 

 

 

0 i=О

 

 

 

 

 

 

После

применения

формулы бинома Ньютона

(£+ 1)л’=

N

 

 

 

 

 

= S (•

r JV_i

к (27)

имеем искомое интегральное представление

формулы Эрланга:

 

—1

 

 

 

 

 

(28)

En (.А)=

A f e~Ai( t+

1 )Ndt

 

L

о

 

 

 

Особенность ф-лы (28) в том, что она дает значения не только для целых N, как обычная формула Эрланга, но и для дробных N, что важно при расчетах по методу эквивалентных замен [168, 280].

2*

35

2. Алгоритм вычислений

Чтобы подчеркнуть, что в качестве N могут быть произволь­ ные числа, заменим в (28) N на х и введем новое обозначение

 

 

оо

 

F (А,

х) =

[ е-л ' (t -i- \ydt.

(29)

 

 

6

 

Функция

(29)

определена при любом конечном х и

действитель­

ном .4 > 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приведем соотношения, облегчающие вычисления

(29).

Имеет

место функциональное уравнение

 

 

 

 

 

AF (А, х) =

xF (А, х — 1)4-1,

х ^ 1.

 

 

 

(30)

Повторным применением его к самому себе имеем

 

 

 

F (A, N + х )= ("

+ * )(‘V + * - U ,

■ • •(»+*)

F (д х) +

 

 

 

 

 

 

/1

 

 

 

 

 

, (N + х) . . .(2 4- -у)

 

,

 

, ' N + х ,

1

 

 

,о п

 

a n

 

 

1

• •

л*- '

л

’

 

(dl)

где 0 ^ х < ;1 ;

N —

целое,

положительное

число.

Вычисление

F(A, х) далее можно свести к

использованию

числовых

таблиц

гамма-функции и неполной гамма-функции. Упростим (29)

с уче­

том (22):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р (А X) =

4

°°

 

 

 

А)Ч (At +

А),

 

 

 

 

j е - (л'+ л) (At +

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

 

 

 

После подстановки A t+ A —y имеем

 

 

 

 

 

 

еАГ (х п-Р

 

 

J е

у уЧ у

 

 

 

 

F(A, х)

1—

------------

 

 

 

(32)

лЛ'+‘

 

 

 

 

 

 

Г (х 4- О

 

 

 

 

куда входят выражения полной и неполной гамма-функций, кото­ рые численно табулироваины. Например, :в таблицах Хамида (237] табулированна функция

 

-а 2 fN—i dt

P(N, х) =

(33)

2n Г (N)

Чтобы воспользоваться функцией P(N, х) при вычислении (32), рассмотрим новую функцию

А

[ е у ух dy

(34)

F'(A, х) = о________ _

 

Г ( х + 1)

 

36

Смотрите также файлы