Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

V

оптимальной задачи определяются оптимальное управление, при­ надлежащее ограниченному пространству, и оптимальная траек­ тория.

Пространство Q может быть разделено гиперповерхностью на два подпространства (Е' и Е"), каждому из которых принадлежат точки (траектории), обладающие определенными свойствами:

Рассмотренные выше математические модели динамических си­ стем принадлежат к детерминированному классу, процессы в ко­ тором характерны тем, что знание их в определенном интервале позволяет определить поведение этих процессов вне этого интер­ вала.

К классу стохастических принадлежат такие модели динамиче­ ских систем, процессы в которых характерны тем, что знание их на некотором интервале позволяет определить вероятностные ха­

Если F (х) — непрерывная и дифференцируемая функция на ин­ тервале — оо <^ X <[ со, то I — непрерывная случайная вели­ чина и

— плотность вероятности.

Отметим из характеристик случайной величины еще математи­ ческое ожидание (среднее значение):

Введенное выше понятие вероятности является так называемой априорной вероятностью, так как определяет вероятность события до проведения опыта. Апостериорная вероятность (т. е. вероят­ ность, определяемая по результатам опыта), вообще говоря, иѳ равна априорной.

9

Апостериорная плотность вероятности стремится к истинному значению параметра а. Апостериорная плотность вероятности, являясь информационным показателем опыта, представляет собой условную плотность вероятности Р (АIX) при условии, что на­ блюдаемый вектор X задан. Определяется апостериорная плот­ ность вероятности с помощью формулы Бэйеса:

мула Бэйеса дает возможность определить апостериорные веро­ ятности значений А, если известны априорные вероятности и век­ тор X, определяемый в результате опыта.

Отдельные наблюдения над случайным процессом £ (t), про­ текающим в контролируемых условиях опыта, дают каждый раз различные функции х (t) — реализации случайного процесса.

Одним из распространенных является марковский случайный процесс, для которого поведение (вероятностные характеристики для будущих моментов времени) определяется состоянием в дан­ ный момент и не зависит от «предыстории».

Динамические задачи для стохастических моделей могут ре­ шаться с помощью условных марковских процессов, причем диф­ ференциальное уравнение записывается, например, в виде

не представляют всего многообразия моделей управляемых систем. Многие классы моделей управляемых систем имеют дискретновероятностные представления (связанные с нейронными сетями, конечными автоматами и т. д.), которые рассмотрены ниже в со­ ответствующих главах.

Л И Т Е Р А Т У Р А

Беллмап Р. Введение в теорию матриц. М., «Наука», 1969.

Беллман Р., Кук К. Дпфференцпально-разностные уравнения. М., «Мир», 1967.

Буткоеский А. Г. Теория оптимального управления системами с распреде­ ленными параметрами. М., «Наука», 1965.

Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. М., «Наука», 1970.

10

Фелъдбаум А. А. Основы теории оптимальных автоматических систем. М., 1963.

Ципкин Я. 3. Адаптация и обучение в автоматических системах. М., «Нау­ ка», 1969.

Глава 1-1

ИДЕНТИФИКАЦИЯ

Одной из основных проблем, возникающих при исследовании управляемых систем, является определение характеристик объек­ та и приложенных к нему возмущений — проблема идентификации.

В этой проблеме возникают две задачи: определение структуры и параметров объекта и определение параметров объекта при изве­

задач идентификации для линейного объекта рассмотрел Браверман (1966). Более общие проблемы рассмотрели Цыпкин (1968), Райбман (1967) и др.

Одним из методов определения характеристик объекта являет­ ся частотный метод. Как известно, при этом на вход объекта подается гармоническое возмущение

X (t) — X sin at,

где А (г- амплитуда; ш = 2л/ Г — частота; Т — период колебания. Выходная переменная объекта представляется также в виде

11

о

которые связаны между собой с помощью прямого и обратного пре­ образования Лапласа.

Наиболее простой путь определения частотной характеристики физического или биологического объекта состоит в измерении установившейся реакции на синусоидальный входной сигнал для различных частот. При этом могут быть получены амплитудночастотная характеристика YIX (со) и фазочастотная характери­ стика ф (а>), характеризующие линейный объект.

Этот метод имеет ограниченную область применения (особенно для действующих систем).

В общем случае удобнее находить частотную характеристику путем анализа неустановившейся реакции объекта на произволь­ ное возмущение, которое может иметь форму единичной ступени или импульса.

Можно считать, что неустановившееся колебание представляет собой сумму синусоидальных колебаний с различными амплиту­ дами, перекрывающих весь частотный диапазон. Поэтому реакция линейной системы на неустановившийся входной сигнал может

Этот интеграл должен вычисляться для каждой частоты в пре­ делах времени от нуля до бесконечности. Интегрирование может

в течение некоторого конечного периода времени Т так, чтобы функция / (t) могла быть выражена аналитически на интервале времени от Т до бесконечности.

Таким образом, реакция объекта на входное возмущение мо­ жет быть представлена в виде

тоо

От

12