Файл: Шахнович, А. Р. Математические методы в исследовании биологических систем регулирования.pdf

где ут — постоянное установившееся значение у (t), соответствую­ щее постоянной величине возмущения.

Раскладывая комплексную величину на действительную и мнимую составляющие

Аналогичные преобразования выполняются и для входного сиг­ нала X (t). Частотная характеристика системы получается в виде

нала вместо единичной ступени является предпочтительным, так как не требует перехода объекта в новое состояние и при правиль­ ном выборе длины импульса позволяет получить достаточный спектр частот. '

Выше был рассмотрен один из способов идентификации, при­ годный для линейных систем.

Однако среди биологических процессов регуляции (например, метаболических процессов, см. гл. III-2) преобладают нелинейные динамические процессы. В этих случаях целесообразно использо­ вать идентификационную процедуру, основанную на квазилине аризации (Bellman et al., 1967).

Пусть динамический процесс описывается нелинейным диффе­ ренциальным уравнением вида

-§- = g(x,k,K),

где к ж К — скоростные константы, значение которых нужно оце­ нить.

Пусть іѴ-мерный вектор х {t) является решением дифференци­ ального уравнения

•§- = g{x), ач(0) = оц, і = 1 . . . 5 .

13

Первая из S компонент х (0) особая, а остальные N —S оцени­ ваются по минимуму суммы

жительное значение, тогда в линеаризованной форме это уравне­ ние можно записать так:

Тогда мы получаем численно N — S независимых векторных ре­ шений однородных уравнений

hj = / (a*) hy, / = 5 + 1, S + 2 ... N,

где hj {t), N — размерный вектор. Для начальных условий

hj (0); / = S + 1, S + 2 ... N,

тогда решение представлено в форме

Они вычисляются как решение линейных алгебраических уравне­ ний

3Q

ВС, = 0, J = 5 + 1 . . . N. Тогда выражение для x (tt) имеет вид

14

G учетом P (0) hj (0) мы имеем новое значение начального век­ тора

s(0) = as 1

Cs+i

Процесс может быть повторен для получения улучшенной оценки. Другой метод основан на использовании весовой функции.

Известно, что основной динамической характеристикой объ­ екта является весовая (импульсная переходная) функция (Пуга­ чев, 1960). Ее использование для определения характеристик ли­ нейной системы основано на принципе суперпозиции и свойствах б-функции.

Импульсной б-фуикцией называется такая функция, которая равна нулю всюду, кроме начала координат, равна бесконечности в начале координат, а интеграл от нее, распространенный на сколь угодно малый отрезок, содержащий начало координат, равен единице.

стемы на произвольное возмущение может быть представлена в ви­ де суммы реакции этой системы на элементарные возмущения, на которые это произвольное возмущение может быть разложено. Поэтому динамические характеристики линейного объекта можно

N x(t)=2ckxk(t),

15

Если входные возмущения системы выразить как

x(t) = ^C(X)l(t,X)dX,

то выходная переменная система выражается как

где функции Z (t, X) являются выходными переменными данной системы, соответствующими возмущениям !• (S, X) при тех же зна­ чениях параметра X,

Z (t, X) = Atl (t, X).

С помощью известных свойств ô-функции произвольная функ­ ция X (t), являющаяся входным возмущением, может быть запи­ сана в виде

является статистический метод. Этот метод базируется на мате­ матической статистике. Поэтому рассмотрим здесь сначала основы этого метода для простейшего одномерного объекта, на входе которого приложено случайное воздействие х (t), а на выходе объ­ екта имеем случайную функцию у (t) (Райбман, 1967). Математи-

16

которое устанавливает связь между выходной и входной перемен­ ными.

Для линейных объектов зависимость выходной переменной у (£) от входной X (t) может быть задана дифференциальным урав­ нением

импульсной переходной функцией g (t, s)

где

ce

: (t) = ^ P (со) ешаа.

Определение общей характеристики объекта оператора может быть произведено по статистическим характеристикам входной и

у* (t) = Atx (s)

и случайной функции у (t), являющейся выходной переменной

17

біиолкотека СССР