ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 112
Скачиваний: 0
Экспоненциальный закон распределения могут иметь наработки изделий между внезапными отказами, происходящими из-за по грешностей конструирования, технологии или нарушения условий эксплуатации. Функция плотности в этом случае имеет вид:
|
©(t) = \e~xt, |
(38) |
где А,= |
— параметр, характеризующий интенсивность |
отказа |
|
ср |
|
|
(Гср — среднее значение наработки). |
|
Для экспоненциального закона среднее значение наработки равно среднему квадратическому отклонению. Экспоненциальный закон распределения могут иметь наработки сложных изделий, состоящих из большого количества элементов
Закону Вейбулла могут подчиняться наработки изделий, у кото рых отказы происходят из-за усталостных разрушений. Функция
плотности вероятности имеет вид: |
|
|
|
|
|||
|
|
/*\ |
т 4™—1 |
|
(т |
|
|
|
|
е |
^0 |
(39) |
|||
|
|
© (() = |
— г |
|
|||
|
|
|
^0 |
|
|
|
|
где т, t0— постоянные параметры. |
|
|
|
|
|||
Среднее значение и дисперсия равны: |
|
|
|
|
|||
|
|
ср |
г 1 |
— )t |
(40) |
||
|
1 |
|
|
|
|
|
(41) |
|
|
|
|
|
|
|
|
где Г (р) = |
J e~zzpldz |
при |
0 — гамма-функция. |
|
|||
К числу |
oJ |
показателей |
надежности относятся |
сле |
|||
основных |
|||||||
дующие. |
|
|
|
|
|
р а б о т ы — вероятность то |
|
В е р о я т н о с т ь б е з о т к а з н о й |
|
||||||
го, что в заданном интервале времени или в пределах заданной на работки не возникает отказ изделия. Вероятность безотказной рабо ты по опытным данным может оцениваться по формуле
P(t) = |
1 |
N(t) |
(42) |
|
N |
||||
|
|
’ |
где P('t) — вероятность безотказной работы до момента времени: N (/) — число изделий, отказавших к моменту времени t\
N — число изделий, подвергнутых испытанию.
Формула (42) дает достаточно точную оценку только для тех случаев, когда испытания проводятся до отказа всех изделий и от казавшие изделия не заменяются на новые.
Пример 5. По данным эксплуатационных наблюдений за 310 двигателями получены наработки до отказа, приведенные в табл. 2 (тыс. км пробега).
42
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 2 |
|
Середина |
Число изделий, |
Частость |
Накоплен |
Вероятность |
|
Пробег, |
отказов |
|
||||
интервала |
имеющих |
|
ные |
безотказной |
m h |
|
тыс. км |
t., тыс. км |
пробег /у /^ |
N |
частости |
работы |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
в |
7 |
20—30 |
25 |
2 |
0,0064 |
0,0064 |
0,9936 |
70 |
30—40 |
35 |
8 |
0,0254 |
0,0318 |
0,9682 |
280 |
40—50 |
45 |
16 |
0,0508 |
0,0826 |
0,9174 |
720 |
50—60 |
55 |
32 |
0,116 |
0,1942 |
0,8058 |
1760 |
60—70 |
65 |
42 |
0,1337 |
0,3279 |
0,6721 |
2730 |
70—80 |
75 |
57 |
0,1815 |
0,5094 |
0,4906 |
4275 |
80—90 |
85 |
72 |
0,2315 |
0,7444 |
0,2556 |
6120 |
100—110 |
105 |
28 |
0,0890 |
0,9544 |
0,0456 |
2940 |
110—120 |
115 |
7 |
0,0213 |
0,9767 |
0,0233 |
805 |
120—130 |
125 |
3 |
0,0090 |
0,9857 |
0,0143 |
375 |
130—140 |
135 |
3 |
0,0090 |
0,9940 |
0,0060 |
405 |
140—150 |
145 |
— |
— |
0,9940 |
0,0060 |
— |
|
|
|
|
|
|
|
150—160 |
155 |
2 |
0,0064 |
1,0000 |
0,0000 |
310 |
|
|
310 |
1,000 |
|
|
24400 |
В первой графе таблицы приведены 14 интервалов, на которые разбиты на работки всех двигателей, во второй указаны серединные значения пробега для каждого интервала, а в третьей — число двигателей, которые имеют указанный интервал пробега. Например, два двигателя имеют пробег 20—30 тыс. км, во семь— 30—40 и 16—40—50 тыс. км и т. д.
Для статистической оценки вероятности безотказной работы поступают сле-
т.[
дующим образом. Вначале вычисляют частости отказов, равные — . Например,
^ = 0 ,0 0 6 4 ; щ - 0,0254 и т. д.
График частостей характеризует функцию плотности вероятностей, которую обычно строят по частотам или частостям. На рис. 7 изображен эмпирический график (полигон распределений) наработок двигателей автомобилей.
Просуммировав частости, получают эмпирическую функцию распределения (графа 5). После вычитания этих значений из единицы получают распределение вероятностей безотказной работы P(i) (графа 6).
В тех случаях, когда значения переменной разбиты на интервалы, как в рас сматриваемом примере, за значение t следует принимать верхнее значение интер
вала. Например, вероятность безотказной работы до 30 тыс. км пробега равна 0.9936, до 40 тыс. км — 0,9682 и т. д. График функции P(t) приведен на рис. 8.
Если до опыта известна функция плотности, то |
вероятность |
|
безотказной работы определяется из выражения |
|
|
Р (t) = |
°f ср (0 dt, |
(43) |
! |
t |
|
где ср (•/) — функция плотности вероятностей наработок.
43
Величина P(t) существенно зависит от правильности выбора функции плотности вероятностей.
Рис. 7. Распределение частот (частостей) |
Рис. 8. График вероятностей |
наработок двигателей автомобилей |
безотказной работы двига |
|
телей автомобилей |
С р е д н я я н а р а б о т к а до п е р в о г о о т к а з а — среднее значение наработки изделий в партии до первого отказа, определяе мое по опытным данным из выражения
N |
U |
Е |
|
г=1 |
(44) |
Т ср |
|
N |
’ |
где Гер — средняя наработка до первого отказа; U — наработка до отказа /-го изделия;
N — число испытываемых изделий.
Если число N велико и опытные данные сгруппированы по интер валам наработок (как это сделано в табл. 2), то величина Гср опре деляется из выражения
N |
mit{ |
2 |
|
|
(45) |
2 |
m l |
f=i
Формулы (44) и (45) справедливы для случая, когда испытания проводятся до отказа всех изделий и в процессе испытаний отказав шие изделия не заменяются на новые.
44
Пример 6. В табл. 2 приведены наработки 310 двигателей до отказа. Для уп рощения вычислений заполняем графу 7 таблицы, в которую заносим значения
|
|
14 |
miti. Просуммировав все эти значения, находим, что Ет,-?,-=24400. Отсюда |
||
24 |
400 |
|
Тср— |
310 |
|
|
|
78,7. |
Это означает, что в среднем наработка |
до первого отказа двигателей равна |
|
78,7 тыс. км. |
|
|
В тех случаях, когда N мало (менее 20), величина Гср, определен ная по опытным данным, может давать большую ошибку. Поэтому для оценки действительных значений наработок до первого отказа всей совокупности выпущенных изделий данного типа (генеральной совокупности) требуется строить доверительные интервалы.
Если заданы функции плотностей наработок до первого отказа, то ГСр определяется из выражения
Гср= “ t • * (t) dt. |
(45а) |
о |
|
Вданном случае Гср равно математическому ожиданию. Для нормального закона
00 - п -а)*
Г ср= — j= te 2°‘ dt = а;
о у 2г. 6
для экспоненциального
Гср= f |
= - f ; |
оЛ
для закона Вейбулла
И н т е н с и в н о с т ь о т к а з о в — вероятность отказа перемон тируемого изделия в единицу времени после данного момента вре мени при условии, что отказ до этого момента не возник.
По опытным данным интенсивность |
отказов в момент времени |
||
t оценивается по формуле |
|
|
|
Ч t) |
АN |
(46) |
|
Af • N(t) |
|||
|
’ |
||
где AN — число изделий, отказавших за время At;
At — достаточно малый промежуток времени после момента N{t) — число изделий, работоспособных в момент времени t. Определим величину интенсивности отказов для данных, приве
денных в табл. 2. Результаты расчета интенсивности отказов двига телей сведены в табл. 3.
45
|
|
|
|
Т а б л и ц а 3 |
Пробег, |
д/ |
ДАТ |
Л’ (О |
/.(О |
тыс. км |
||||
20—30 |
10 |
2 |
308 |
0,00065 |
30—40 |
10 |
8 |
300 |
0,00267 |
40—50 |
10 |
16 |
284 |
0,00563 |
50—60 |
10 |
32 |
252 |
0,01266 |
60—70 |
10 |
42 |
210 |
0,02000 |
Подставляя в формулу (46) значения из табл. 3, |
находим: |
|||||||
Хг (t |
= 30) = |
—-— = 0,00065 1/тыс. км; |
||||||
1 |
|
7 |
10 • 308 |
|
|
|
|
|
X, (t |
= 40) = |
— -— |
= 0,00267 |
l/тыс. км; |
||||
|
|
|
|
10-300 |
|
|
|
|
) (t |
= |
50) = |
■— 6- |
= 0,00563 |
1/тыс. км; |
|||
3 |
|
|
10-284 |
|
|
|
|
|
)ч (f = |
60) = |
— —------0,01266 |
|
1/тыс. км; |
||||
v |
|
’ |
10-252 |
|
|
|
|
|
Xs (/ = 70) = |
——— = 0,02 |
1/тыс. км. |
||||||
V |
' |
|
10-210 |
|
отказов |
характеризуют |
||
Приведенные |
величины |
интенсивности |
||||||
■частость отказов на 1 тыс. км пробега. |
|
|
|
|||||
Если известны |
|
функции плотности вероятностей, то величина |
||||||
Л('/) определяется из выражения |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
>-(/) = |
|
|
(47) |
|
|
|
|
|
|
P (t ) |
|
|
|
Для нормального закона и распределения Вейбулла величина К(1) увеличивается с увеличением t. Для экспоненциального закона Х(7) не зависит от времени, т. е.
Л(/) = X= con st.
Рис. 9. График изменения величины интенсивности отказов:
/ — период приработки; // — период нор мальной работы; I I I — период интенсивно го изнашивания
Для большинства изделий ма шиностроения величина Х(7), по строенная по данным наблюдений от момента изготовления изделий до его списания, имеет вид, ука занный на рис. 9. В период / вы являются дефекты конструкции, сборки, изготовления. В этот пе риод интенсивность отказов убы вает от некоторого максимума до постоянной величины. В период// интенсивность отказов остается практически постоянной величи ной. В период III интенсивность отказов резко возрастает.
46
Обычно назначают некоторую максимально допустимую величи ну интенсивности отказов Хцр (предельное значение ^), при дости жении которой эксплуатация изделий или практически невозможна, или экономически неоправдана. Величина tcп, соответствующая А,цр, определяет момент списания изделия (по величине интенсивностиотказов).
Вероятность безотказной работы, средняя наработка до первого отказа и интенсивность отказов являются основными показателями, характеризующими безотказность изделий.
'' Для иллюстрации показателей долговечности и ремонтопригод ности рассмотрим упрощенную схему периодов работы и простоя изделий (моменты простоя по организационным причинам из рас
смотрения для простоты исключаю.тся). На рис. 10 |
обозначены: |
U— периоды работоспособности изделий, п — периоды |
восстанов |
ления (ремонта) изделий. От момента начала эксплуатации до его- |
|
списания (tсп) изделие какие-то моменты времени l\, t2, . . . , tn ра ботоспособно и выполняет свои функции. Для поддержания работо способности изделия должны проходить техническое обслуживание и различного вида ремонты в промежутки времени ti, х2, . . . , xn-i- Показатели долговечности могут выражаться в единицах време
ни. К числу основных |
показателей долговечности |
относятся сле |
дующие. |
|
|
|
*.2 |
1сп t |
Т! |
тг |
|
Рис. 10. Схема состояний изделий |
|
|
Н а р а б о т к а на |
о т к а з — среднее значение наработки ре |
|
монтируемого изделия между отказами. Из рис. 10 видно, что нара ботка на отказ равна
П
£ U
П |
(48) |
|
где -U— наработки до первого, второго, . . . , n-го отказов;
п — число отказов от момента начала эксплуатации изделиядо его списания.
П а р а м е т р п о т о к а о т к а з о в — среднее количество отка зов ремонтируемого изделия в единицу времени, взятое для рассмат риваемого момента времени.
Если на протяжении некоторого времени t у каждого из наблю даемых N изделий произошло rrii (•/) отказов, то среднее количества отказов одного изделия за время i будет
47