Задача 7-3
Случайная величина отклонений напряжения V у потре бителей электроэнергии подчиняется нормальному закону распределения с параметрами М (V) = 0,5% иа^ = 2% и плотностью распределения
|
1 |
[V - М ( И ) Р |
Ф(Ю |
2Оу |
----- т=е |
|
|
°vV2n |
|
Определить вероятность попадания случайной величины
V в интервалы: [1; 1,5]%, [5; 6]% .
Решение:
/5(о1^ У < У г ) = / э ( 1 ^ ^ < 1 ,5 ) =
и2 _ .
v2— M ( v ) ] 1 ф vt — М ( V) _
ф
|
a v |
|
| |
2 |
L |
|
1 ' ф /1.5-0,5) \ |
ф /11— 0,5 |
|
2 |
\ |
|
2 |
) |
а |
[ |
] - |
21 [0 ,3 8 2 9 -0 ,1 9 7 4 ] = |
|
2 |
X |
|
/2 |
|
|
|
|
С |
— |
— |
dt — функция |
Лапласа (см. |
-= = |
\ е |
|
2 |
У 2 л |
J |
|
|
|
|
|
|
табл. П1).
Вероятность попадания в интервалы [5; 61%, вычислен ная аналогично, равна Р (5 ^ V < 6) = 0,0091.
Задача 7-4
Случайная величина нагрузки I магистральной кабель ной линии на промышленном предприятии подчиняется нор
мальному закону распределения |
с параметрами М (/) = |
= 200 |
А, О/ = |
50 А. Определить вероятность того, |
что на |
грузка |
линии |
превысит значения |
1г = 350 А, /2 = |
300 А, |
/3 = 250 А.
Решение. Вероятность того, что нагрузка превысит зна чение 11 , определим как событие, противоположное собы тию попадания случайной величины / в интервал I—оо, /*]. Очевидно, вероятность попадания в интервал l0,/il равна примерно вероятности попадания в интервал [—оо, /J,
так как вероятность попадания нагрузки в интервал [—оо, 01 ничтожно мала:
Р (— оо ==s / < |
0) = Ф |
0 — М (/) |
- Т ф [ ... (/)] = Т ф ( - 4 ) |
- у ф ( - |
оо) ^ 0,000005, |
т. е. этот диапазон изменений случайной величины выходит |
за пределы четырех среднеквадратичных отклонений от ма тематического ожидания, поэтому им можно пренебречь:
|
/>(/>/1) = [ l - F ( / 1)] = |
l - i - i < D Л-М (/)1 |
|
1 |
ф / 3 5 0 - 2 0 0 \ |
-‘- - | ф ( 3 ) = |
|
2 |
\ |
50 |
) |
|
|
|
|
|
1 •0,9973 =0,00135. |
Аналогично определяются вероятности других значений
тока: Р (/ > |
/2) = 0,02275, |
Р (/ > /3) = |
0,15865. |
|
|
|
Задача |
7-5 |
|
Отклонения |
напряжения |
у |
потребителей изменяются |
в пределах V = |
(1—5)%Ua0M. Плотность |
вероятности слу |
чайной величины отклонений напряжения |
V — (U — £/ном) |
подчиняется |
закону распределения |
|
|
|
| kV |
при |
1%=s c V < 5 % ; |
Ф |
|
\ 0 |
при |
У > 5 % , У < 1 %. |
Определить математическое ожидание квадрата откло нения напряжения от номинального, среднее и среднеквад ратичное отклонение. Наметить средства регулирования отклонения напряжения. Во сколько раз уменьшится ущерб при правильном выборе ответвлений на трансформаторе, если на нем ступени ответвлений равны ± 2 x 2 ,5 % . Ущерб счи тать прямо пропорциональным математическому ожиданию квадрата отклонений напряжения от номинального.
Решение. |
Определяем коэффициент k |
в формуле закона |
распределения |
из |
условия |
равенства |
единице интеграла |
от плотности |
вероятности: |
|
|
|
|
|
|
|
Г, |
|
5 |
|
|
|
1/2 |
15 |
/2 5 |
1 |
\kV dV = 1, |
A J |
V dV - |
|
'■ |
|
2 |
i |
= A ( ^ - |
£ j = 12A = l; |
1 |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
k = 12l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
0,0833. |
|
|
Математическое ожидание квадрата отклонения напря жения от номинального
|
5 |
|
М (У 2) = |
1/4 |
§ V2k V d V 0,0833 |
= 13,1 (% |
|
1 |
|
Математическое ожидание отклонения напряжения от но |
минального |
|
|
|
5 |
|
М (К) = |
$ VkV dV = 0,0833 ~ |
* 3,45% . |
|
1 |
|
Дисперсия |
и среднеквадратичное |
отклонение |
Д(У) = М (V2) - [М (V)]* = 13,1 - |
3,452 = 1,2 (%)»; |
|
Ov — V 1 ,2 ^ 1,1% . |
В данном случае велико математическое ожидание откло нения напряжения от номинального, поэтому для улучше ния его качества необходимо изменить ответвление на сете вом трансформаторе. Изменяем ступень на 2,5% :
М ( Уг) = 3,45 - 2,5 = 0,95% |
М ( Vi) = 0,952 + 1,12 = |
= 2,11 |
(% )2. |
При этом ущерб, который прямо пропорционален мате матическому ожиданию квадрата отклонений, уменьшается
в |
13,1 |
с оо |
|
2 ~рр = |
о,22 раза. |
|
|
|
Задача 7-6 |
|
|
Отклонения напряжения V = (U — UHом) |
у потреби |
телей изменяются в пределах [(—6)% ; (+ 7)% ], |
математиче |
ское ожидание М (V) — 2% . Плотность вероятности описы вается законом распределения
„ 1 kV + b при — 6 % < V < + 7% , k и 6 = const;
Ф~ \ 0 при — 6 % > V > 7 % .
Определить математическое ожидание квадрата откло нений напряжения от номинального («неодинаковость») и среднеквадратическое отклонение от среднего. Наметить средства регулирования.
Решение. Определяем коэффициенты k и 6 из системы уравнений
7
|
|
5 |
(kV + b)d V = 1, |
|
|
— 6 |
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
$ |
V(kV + b)dV = 2. |
|
|
—6 |
|
|
Вычисляем интегралы: |
|
|
7 |
|
|
|
1) |
§ (67 + |
6)с/7 = 1, |
- ^49'2 36^-ф b (7 + 6) — 1 или |
|
- 6 |
|
|
|
|
|
|
6 ,5 6 + 1 3 6 = 1 ; |
2) |
^(kV + b ) V d V - 2, |
й(343+ 216) + —— 36- 6 = 2 или |
|
-6 |
|
1866 + 6,56 = 2. |
|
|
|
В |
результате |
решения |
системы уравнений |
|
|
| 6 ,5 6 + 1 3 6 = 1 , |
|
|
\ |
1866 + 6 ,5 6 = 2 |
получаем: k — 0,0082, |
6 = |
0,0728. |
Таким образом, плотность вероятности отклонений на пряжения описывается функцией
Ф (7) = 0 ,0 0 8 2 7 + 0,0728.
Математическое ожидание квадрата отклонений напря жения от номинального («неодинаковость») напряжения равно:
7 |
7 |
М (7 г) = ^ V \ (7 )d 7 = |
$ 7 2 (0,00827 + 0,0728) dV = |
= 0,0082 •280 + 0,0728 •186 = 2,296 + 13,5408 =
=15,8368 (%)2
—«неодинаковость» напряжения.
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение от среднего
Д (7) = М (7 2) - [М (7 )]2= 15,9 - 4 = 11,9 (%)2;
a v = V П Д = 3,45% .
