Файл: Расчеты и анализ режимов работы сетей учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 103

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

В данном случае больше величина среднеквадратичного отклонения по сравнению со средним значением, поэтому наибольший эффект может быть достигнут не сменой ответ­ влений у трансформатора, а плавным регулированием на­ пряжения на источнике питания. Однако изменением ответ­ вления на трансформаторе на —2,5% можно уменьшить ущерб в 15,9/(11,9 + 0,52) = 1,287 раза.

Задача 7-7

Сетевой трансформатор в городской электрической сети работает в течение времени Т, которое является случайной величиной и распределено по показательному закону

t < О, / > 0 .

По истечении времени Т вследствие роста нагрузки, по­ вреждения его или других причин трансформатор заменяют новым. Найти вероятность того, что за время т: 1) трансфор­ матор не придется заменять; 2) трансформатор придется за­ менять 2 раза; 3) трансформатор придется заменять не ме­ нее 2 раз.

Решение. Замены сетевого трансформатора образуют простейший поток с интенсивностью К. Математическое ожидание числа замен за время т равно а = 7л.

Вероятность того, что:

1) трансформатор не придется заменять,

Р ( 0) = е Хх, так как Р ( т ) = ^ е '° ;

2)придется заменять 2 раза

Р( 2) = Щ ^ е - Хх:

3)придется заменять не менее 2 раз

Р (т 2) = 1 - [Р (0) -1- Р (1)J = 1 - е~кТ[1 -7,%].

272

Глава восьмая

СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. УРАВНЕНИЕ РЕГРЕССИИ. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ.

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Совокупность нескольких случайных величин Хи Х2, ...

•••. рассматриваемых совместно, называется системой случайных величин (случайных векторов).

^Функцией распределения F (хи х2, ..., х„) системы слу­ чайных величин называется вероятность совместного выпол­ нения неравенств

Xi, X2<^x2t . . . , X n<z.xn,

F(xu x2, . . . , xn) = P f(X t < xy), (X2< * 2), . . . , (X „< *„ )].

Плотностью распределения системы n случайных величин называется смешанная частная производная n-го порядка непрерывной и дифференцируемой функции распределения

Ф (хг х2, . . . , хп)

dnF(xlt х2, ..., хп)

 

 

дхг дх2 дх3 ... дхп

 

 

 

 

 

Функция распределения системы выражается через плот-

ность распределения формулойF (хи х2, . . . , хп) =

х\

Х1

$

$ ...

 

 

— СО — СО

... § ф (ху, х2, . . . , хп) dxxdx2 ... dxn. Случайные

величины

— оо

называются независимыми, если условный закон распре­ деления одной из них не зависит от того, какое значение примет другая. Условным законом распределения величи­ ны Хи входящей в систему Хи Х2, называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая слу­ чайная величина Х2 приняла определенное значение х2. Ли­ нейная вероятностная связь между случайными величи­ нами характеризуется коэффициентом корреляции

К (XiXj) ГЧ ~ ax?Xj ’

где К (XiXj) = 2

Е fa - м М ] txJ - М

Рч ~ к°РРе‘

I

/

 

ляционный момент для дискретных случайных величин;

K { X i X j ) = $° f [Xi - М (X,) j [Xj - М ( Х j)l ф (XiXj) dXi dx,

—OO—OO

10 Анисимова H. Д. и др.

273

— корреляционный момент для непрерывных случайных величин, обладающих плотностью распределения; о*., aXj —

среднеквадратичные отклонения случайных величин. Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю. Связь между п случайными величинами харак­ теризуется нормированной корреляционной матрицей — таблицей, составленной из коэффициентов корреляции этих величин, взятых попарно. Так как корреляционная матрица симметрична (г,7 = г/(), то обычно заполняется половина таблицы

1т12 fw . •• Г1п

1г23 ■■■ г2п

1. ■Г3п

••

1

Если X — случайная величина с плотностью распреде­ ления ф (х), a У = / (х), то математическое ожидание У

равно:

п

М (У) =

М [/ (x)J — 2 ]

/ (*/) Pi —Для дискретных случайных

 

<= 1

 

 

величин;

 

СО

 

М (У) =

М [/ (х)] = $

/ (х) ф х) dx — для непрерывных слу-

 

—00

 

чайных величин.

Дисперсия для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно равна:

Д (У ) =

Д [/ (*)] = %

[f (*,) - М (У)]2 pt =

 

i =

1

 

= ± [ f ^ Y P i - W i Y ) } * ,

 

i = 1

 

Д (У) = Д и (х)] = f

— M (У)]2 ф (х) dx =

 

00

 

 

оо

 

=

$ [f{x )\ ^ {x )d x - [M {Y )]\

 

—00

 

274

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых

Му х = У м [X].

е= 1

i = 1

Математическое ожидание линейной функции случай­ ных величин

^= У ciiXi-\-b,

i —1

где й,- и b — не случайные коэффициенты, равно линейной функции от их математических ожиданий;

M(Y) = M У

Й «Х ~ЬЬ = У а-М (Х й + Ь .

1 = 1

i —1

Дисперсия суммы случайных величин выражается фор­

мулой

П

ДУ Д ( Х ) + 2 У К ( Х У ) .

i=i (</

Для не коррелированных случайных величин дисперсия суммы

Г п

п

дУ Х = У Д ( Х ) .

Дисперсия линейной функции случайных величин

Д У aiXi-\- ь

= У «*Д (X) + 2 У afljK (X X ).

1=1

1=1

<</

Когда величины

X ,

Х2,

Хп не коррелированы,

Д У

й, Х

+ ь

£ а ?Д (X)-

1=1

 

 

Математическое ожидание произведения двух зависимых

случайных величин X ,

X

 

 

М ( Х М = М (X ) М М + К ( Х М

Дисперсия произведения независимых случайных ве­

личин

Х хХ равна:

 

Д ( Х М = Д ( У ) Д ( Х 2) + [М ( У ) ] 2 х

 

х Д ( Х а) + [ М ( У ) ] 2Д ( У ) .

10*

275

Дисперсия разности случайных величин Z = X — У равна:

Д (г ) = M [ Z - M ( Z ) ] 2 = M { ( X - Y ) - { M ( X ) - M ( Y ) ] } 2 =

= М{[Х - М (X)] - [У - М (У)]}3 = М [X - М (X )]2 -

— 2М [ X - M { X ) ) [ Y - M { Y ) } + M [ Y - M { Y ) ? =

— Д (X) — 2/С (ХУ) + Д (У ) = Д (Х ) + Д ( У ) - 2 К ( Х У ) .

При обработке опытных данных возникает вопрос о сгла­ живании экспериментальных зависимостей. С этой целью обычно применяется метод наименьших квадратов, который имеет хорошее обоснование с вероятностно-статистической точки зрения. При использовании метода наименьших квадратов сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей аналитической зависимости ока­ зывается минимальной. Если на основании анализа экспе­

риментальных

данных

выбран вид

функции

Y =

/ (х),

зависящей

от

числовых

параметров

аи а2, ...,

ат,

т.

е.

У == / (х,

аъ а2, ..., ат),

то требуется выбрать ах, а2, ...,

ат

так, чтобы выполнялось условие

 

 

 

 

П

y i - f { x h аъ а2, ••> ®т)

; т т , т. е.

 

 

2

 

 

(

П

 

 

 

 

 

 

 

У[y t- fiX i, аи а2,

 

 

 

 

 

/=1

 

 

 

 

 

 

 

^ [ y t - f i X i , аъ а2,

 

 

 

 

 

(=1

 

 

 

 

 

 

где (Jjpj. — значение частной производной

функции

/ (хп

Й1 , а2........ ат) по параметру

в точке

i. Неизвестные

ах, а2, ..., ат определяются

решением приведенных

выше

т уравнений. В общем виде эта система не решается, поэ­ тому для ее решения необходимо задаваться конкретным видом функции / (х, аъ а 2, ..., ат). Если функция линейная,

V = аХ + Ь, то

K (X Y )

K (X Y )

У= ±ЖЩ~ Х + М

М (Х)

*

*

276

линейное уравнение регрессии

 

У = rxy f -

[х -

М (X)] +

М (У),

 

где

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

п

 

 

 

М{Х)

 

 

S ^

- a iw j

 

 

Д(Х)

 

п — 1

 

 

 

 

 

 

 

 

Ц I x i - M ( X ) ] Гy i - M ( Y ) ]

 

 

K(XY) = ^‘ —

*

/г— 1

*

 

— статистические оценки числовых характеристик, а

г™ =

K (X Y )

 

 

г

к

jxy

*

— коэффициент

корреляции случайных

/д т д ( п

**

величин X и У.

Если функция квадратичная, у = ах2 + Ьх + с, то определение неизвестных а, Ь, с сводится к решению си­ стемы уравнений

ct4 (X) a -f- а 3 (X) b -f- а 2 (X) с =

a 2i (X У);

*

*

*

*

а*3 (X) а +

*а 3 (X) b +

#а х (X) с =

#а и (ХУ);

а*2 (X) а +

*«I (X) 6 +

*а 0 (X) с =

*а 01 (X У),

где а г

и а ,7 — соответственно статистические оценки Ha­

ss

*

чальных моментов t'-ro порядка и смешанные начальные моменты (i + /)-го порядка.

Случайной функцией X (/) называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной неизвестный заранее конкретный вид. Вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. При фиксированном значении аргу­ мента случайная функция превращается в случайную величину, называемую сечением случайной функции. Мате­ матическим ожиданием случайной функции X (/) называется неслучайная функция mx (t) = М [X (7)1, которая при каждом t представляет собой математическое ожидание соответствующего сечения случайной функции, т. е. тх (/)= = М\Х (/)].

277

Смотрите также файлы