Дисперсия разности случайных величин Z = X — У равна:
д ( г ) — м [Z — м (Z)]2= m {(х — Y) — [M (X) — м (У)]}2= = М{[Х - М (X)] - [У - М (У)]}2 = М [X - М (X )]2 -
- 2 М [ Х - М ( Х ) ] [ У - М ( У ) ] + М [ У - М (У)]2 =
= Д ( Х ) - 2 К (ХУ) + Д(У) = Д(Х) + Д ( У ) - 2 К № ) .
При обработке опытных данных возникает вопрос о сгла живании экспериментальных зависимостей. С этой целью обычно применяется метод наименьших квадратов, который имеет хорошее обоснование с вероятностно-статистической точки зрения. При использовании метода наименьших квадратов сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от сглаживающей аналитической зависимости ока зывается минимальной. Если на основании анализа экспе
риментальных данных выбран вид функции |
У = |
/ (х), |
зависящей |
от числовых параметров |
аг, а2, |
..., |
ат, т. е. |
У = |
f (х, аъ й2, ..., |
ат), то требуется выбрать аъ |
й2, |
..., |
ат |
так, чтобы выполнялось условие |
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
~12 |
|
|
|
|
|
|
2 |
Hi |
|
•••> ®т) |
min, |
т. |
е. |
|
|
|
|
/=1 |
а ъ |
й2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
" |
|
а2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
У\У1 - / (xit аи |
|
|
|
|
|
|
|
|
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
— значение |
частной производной |
функции |
f |
(xh |
а1г а2, ..., |
ат) по параметру й,- в |
точке |
г. |
Неизвестные |
%, й2, ..., |
ат определяются решением приведенных |
выше |
т уравнений. В общем виде эта система не решается, поэ тому для ее решения необходимо задаваться конкретным
видом функции / (х, %, й2, |
..., а т). Если функция линейная, |
Y = аХ + Ь, то |
|
K (X Y ) |
К (XY) |
* = 1* т - х + л ! т - У *т У < - х >
линейное уравнение |
регрессии |
|
|
У— rxy * [х |
М (X)] -f- М (У), |
* |
|
* |
|
* |
где |
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
. S |
х> |
|
2 [ - :i —М (X)J2 |
М (х ) = -‘ ^ - |
л w = — |
«—1 |
|
rt |
* |
|
|
|
|
|
|
Ц [ * ; - м (X )] p , - A f ( K ) ] |
Х (Х У ) = |
(=;L |
* |
я— 1 |
|
|
|
|
|
— статистические оценки числовых характеристик, а л™ =
K (X Y ) |
* ху |
*_______ |
|
у д Щ д л у ) — коэффициент |
корреляции случайных |
* |
* |
|
величин |
X и У, |
|
Если функция квадратичная, у = ах2 + 6х -f с, то определение неизвестных а, Ь, с сводится к решению си стемы уравнений
|
a*t (X)a + *a e (X )b-{*-ai (X)c = |
*a t l (XY); |
|
а 3 (X) a + a 2(X)b + a l (X) с = |
а и (ХУ); |
|
а |
2 (X) a + ccj(X)b + а 0(X) с = |
а 01 (X У), |
|
* |
* |
* |
* |
где а г |
и а,;- |
— соответственно |
статистические оценки на- |
* |
* |
|
|
|
чальных моментов t'-ro порядка и смешанные начальные моменты (i + /)-го порядка.
Случайной функцией X (/) называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной неизвестный заранее конкретный вид. Вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. При фиксированном значении аргу мента случайная функция превращается в случайную величину, называемую сечением случайной функции. Мате матическим ожиданием случайной функции X (() называется неслучайная функция тх (/) = М [X (/)!, которая при каждом t представляет собой математическое ожидание соответствующего сечения случайной функции, т. е. тх (t) =
= M I X (0 1 .
Корреляционной функцией случайной функции X (t) называется неслучайная функция двух аргументов Кх (tt'), которая при каждой паре значений аргументов t, f рав на корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции:
К х (tn = |
M { x ( t ) - M [X (*)]} {* (П - М [ Х (/')]}. |
При t' — |
t |
корреляционная функция превращается |
в дисперсию случайной функции |
Кх т |
= Дх (Г) = Д [ Х (t)] = [ах (О]2. |
В качестве аргумента в энергетике чаще всего рассма тривается время; случайные функции, в которых аргументом является время, называются случайными процессами.
Стационарным случайным процессом называется такой процесс, математическое ожидание которого постоянно, а корреляционная функция зависит только от разности между своими аргументами:
К х Ю ^ К х М ,
где х — t' — t\ дисперсия стационарного случайного про цесса постоянна:
Дх = К х {tt') = Кх (0) = const.
Вероятность появления того или иного числа событий за фиксированный промежуток времени в стационарном про цессе не зависит от положения промежутка на оси времени, а зависит от его длины.
Простейшим случайным процессом является поток слу чайных однородных событий, обладающий свойством ста ционарности, отсутствием последействия и ординарностью. Отсутствие последействия состоит в том, что протекание потока в непересекающихся интервалах времени незави симо, ординарность потока указывает на то, что вероятность возникновения двух и более событий за бесконечно малый интервал времени стремится к нулю.
Для характеристики потока однородных событий вво дится функция вероятности появления k событий за интервал времени т. Она выражается законом Пуассона
где А, —- параметр или интенсивность потока — математи ческое ожидание числа событий в единицу времени. Распре-
деление случайной величины — времени между двумя про извольными соседними событиями в потоке описывается показательным законом
Ф (() = %е~и .
Задача 8-1
Электрическая сеть состоит из двух последовательно включенных элементов — линии и трансформатора. Веро ятности безотказной (надежной) работы1 линии (/) и трансформатора р2 (/) в течение времени Т подчиняются показательным законам распределения:
|
Pi (0 = |
О |
при t < |
О, |
|
e~Xi (t) |
при t > |
0; |
|
( |
0 |
при / < 0 , |
|
\ |
е~х*(б |
при t > |
0, |
где |
(f), Д,2 (0 — интенсивности отказов 2. |
а) |
О п р е д е л и т ь |
вероятность безотказной работы |
и функции распределения F (t) указанной системы, рассма тривая времена безотказной работы как независимые
случайные величины; |
б) решить задачу в предположении |
п — последовательно |
соединенных элементов. |
Решение, а) По условию задачи линия и трансформатор отказывают независимо друг от друга, поэтому вероятность события р (t) безотказной работы системы
|
0 |
при ^ < 0 , |
P ( 0 = P i (0 Р2 (0 = |
е—(Х,+х2><ПрИ^> о. |
1 Вероятностью безотказной |
работы р (t) |
элемента называется |
вероятность того, что элемент будет работать безотказно в течение времени t.
2 Интенсивностью отказов называется плотность распределения времени безотказной работы ф (f), деленная на вероятность надежной работы элемента р (/):
Мб = Ф(б
Мб •
Функция ф (б представляет собой плотность распределения (диф ференциальный закон распределения) времени безотказной работы элемента, ф (t)dt — вероятность того, что время работы элемента Т примет это значение от t до t-\-dt, т. е. что элемент, работающий в мо мент времени t = 0 , откажет в интервале времени (t,t-{-dt).
