Функция распределения системы определяется интегри рованием плотности распределения —р' (/):
t |
i |
F {t)= \— р' (0 dt = |
— $ (е-(*а+*..)<)' dt = [1 — £-(*■«+**)<]. |
о |
о |
б) Обобщая этот случай на п последовательно соединен ных независимых элементов, выразим интенсивность отка зов системы Я (t) через интенсивности отказов отдельных элементов.
Учитывая, что y(f) — F'{t) — ^ [ \ —p(t)],
|
|
Ф(0 |
р '(0 |
т. е. |
|
4 |
0 = P (t) |
pit) > |
|
Л (0 = — [In р (0]' или Я it) = |
rf[lnp(Q] |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
I |
—J X(t) dt |
|
In p(t |
— — $ Я it) dt] |
p it) = e |
0 |
|
|
о |
|
|
В частном случае, когда интенсивность отказов на участке времени [0; 0 неизменна (Я = const), надежность описывается экспоненциальным законом р (0 = e~Xt.
При независимых отказах элементов и произвольных законах распределения интенсивности Я (t) имеем:
t
-J X (О dt
|
|
p i t ) = e |
0 |
* |
следовательно, |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
t |
|
|
|
|
-JX |
|
pa it) = e |
- ) k z ( t ) d t |
|
( |
|
Pi (0 = |
e |
0 |
- |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-\кпт ‘ |
|
|
|
................................... P n i t ) = e |
0 |
|
так как p it) = px it) p2 (*)... p„ (i) |
= |
Pi (0. |
|
|
|
t |
|
ft |
|
|
i=\ |
|
|
|
|
|
|
t |
t |
4 |
]==e |
- / я (0 dt |
- Л я, (О Л + JX, (О Л + ... + JX |
(t)dl\ |
|
о |
= |
e lo |
|
|
о |
о |
J _ |
p(0 = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
W + •■•+ *■„< |
P |
] —J 2 |
> |
s |
|
to |
|
|
t |
П |
>—e °‘= l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lb (t)d t = |
\ £ x ,( t ) d t . |
|
|
|
|
|
|
0 |
(=1 |
|
|
|
Дифференцируя это равенство, получаем:
i=i
т. е. интенсивность отказов системы, состоящей из п после довательно соединенных элементов, равна сумме интенсив ности отказов каждого элемента.
Задача 8-2
По линии напряжением 6 кВ получают электроэнергию два синхронных электродвигателя мощностью по 1 000 кВт. Вероятность работы одного электродвигателя рх = 0,7; двух электродвигателей р 2 = 0,3. Коэффициенты мощности двигателей одинаковы. Случайная величина S (нагрузка линии) — непрерывная, ее условным распределением при
числе работающих |
электродвигателей N = щ (г = 1, 2, |
т. е. пг = 1, п2 = 2) |
является нормальный закон распреде |
ления с математическими ожиданиями М (Si) и средне квадратичными отклонениями a s , причем
М (Sx) = 500 кВ •A; as, = 200 кВ •А; М (S2) = 1 100 кВ •A; a S2 = 200 кВ •А.
Т р е б у е т с я найти плотность распределения ф (s) случайной величины нагрузки линии и вероятность того, что нагрузка линии не превысит sp = 1 500 кВ-А .
Решение. Совместная функция распределения числа работающих электродвигателей N и нагрузки линии 5 равна:
|
|
F (nxs) = Р (N < |
|
п) Р (S < s/N < |
п). |
|
|
Если |
« < |
«х = 0, то Р (N |
п) = 0 и F (ns) = 0. |
|
|
Если |
« = |
« 1 = 1 , |
то Р (N <Zn) = p1 — 0,7 |
|
|
|
и F («, s) = ргР (S < |
s/N = |
«г) = рхjy + у Ф |
- M ( S X) |
11 = |
|
Os, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + 1 ф |
-М ( S J |
| = 0,35 {l + Ф |
s — M (Sp |
|
|
|
Os, |
|
Os, |
1- |
|
= 0,7 { 2 ^ 2 |
|
|
При N = « 2 |
= |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
0,5 + |
0.35Ф [S~ ^ -(- - ] + |
o, 15 Ф [ — ^ - ] • |
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
О |
|
при N с 1, |
F(n, |
s )= |
°,35 {1 + <^ [S~ ^ i('Sl)]} при N = 1 , |
|
|
0,5 + |
0.35Ф |
(5l)] + 0,15Ф [— М |
|
|
|
|
при N = 2. |
Полагая |
п = оо, |
т. е. |
п > 2, |
и дифференцируя по s, полу |
чаем плотность вероятности распределения нагрузки линии:
|
|
<P(s) = —А(оо, s) = ■ |
X |
|
|
|
|
|
ds |
а , |
\/~2я |
|
|
|
Г |
__[s — М (,5,)]2 -| |
j |
г |
_ [ s - M |
( S 2)12 |
|
х |_0,7е |
< |
J + S H T s |
1.0,3, |
2а; |
|
|
]• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вероятность |
того, |
что |
нагрузка линии |
|
не превысит |
sp |
= 1 500 |
кВ-А , |
равна: |
|
|
|
|
|
|
F (sp) = P (S < |
sp) = |
SP |
|
S |
|
|
|
$ q> (s) |
|
\ ф (s) ds = |
|
|
Sp-^(Si) |
|
|
|
— CO |
|
|
|
|
|
|
|
- м (5 ,) |
|
|
|
0,7 |
1 |
|
0,3 |
|
a |
|
|
|
1 |
|
|
I |
|
|
|
V 2n |
dz +r ~\f2n |
|
|
dz = |
|
J |
|
|
—00 |
|
|
|
—CO |
|
|
|
|
|
|
= 0,7 {o,5 + |
0,5Ф [-p-~ ^ (Sl) ]} + 0,3 jo,5 + |
+ |
fsD—M (So) ]) |
|
0,35Ф (5) + 0,15Ф (2) = 0,993. |
0.5Ф ——— ' |
]}11 = 0,5 + |
|
L |
°$2 |
|
|
|
|
|
|
|
При этом Ф (2) и Ф (5) приняты из табл. П1 соответ ственно равными 0,9545 и 1.
Задача 8-3
Независимые случайные величины токов /ь /2 потре бителей п1 и п2 (рис. 8-1) подчиняются нормальным зако нам распределения. Для нагрузки в п1 известно матема тическое ожидание М (Д) = 300 А и среднеквадратичное отклонение нагрузки cr/i = 50 А. Среднеквадратичное отклонение нагрузки п2 а и = 100 А, а вероятность того,
что /2 > 600 А, равна 0,02275.
T р е б у е т с я определить расчетную нагрузку голов ного участка линии, вероятность превышения которой составляет 0,00135.
Решение. Нагрузка на голевком участке линии равна сумме нагрузок случайных величин потребителей nl и п2.
|
При сложении случайных вели |
|
|
|
чин с |
нормальными законами |
n1 |
nZ |
|
распределения |
в |
результате |
|
1------ 1 |
|
также |
получается |
нормальный |
|
закон. |
Числовые |
характерис |
|
7/ |
|
|
тики его определяются по пра |
|
|
|
|
|
вилу |
сложения |
числовых ха |
Рис. |
8-1. |
|
рактеристик. В |
данном случае |
|
|
неизвестно математическое ожидание нагрузки п2. Опре делим его.
По условию задачи Р (/2 > 600) = 0,02275, поэтому,
воспользовавшись приемом, принятым в задаче 7-4, запишем: |
Р (/2 > 600) = 1 - F (600) = 1 — 0О,5 — 0,5Ф [ — ~ ^ -(/2)j = |
= 0,02275, откуда 0,5 —0,5Ф 600- -М(1г) |
|
100 |
= 0,02275 и |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
ф |
600 - |
М (/2) |
= 0,9545, |
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
т. е. |
Ф 1 (0,9545) |
600 — 44 (/2) |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По табл. П1 находим Ф 1 |
(0,9545) |
2, |
поэтому |
|
|
О 6 0 0 - М ( / 2) |
|
|
|
откуда |
|
|
100 |
|
|
|
|
М (/2) = |
400 А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Параметры закона распределения нагрузки головного |
участка |
|
|
|
|
|
|
|
М(/) = М (+) + |
М (/8) = 300 + 400 = |
700 А; |
Д (/) = Д (Л) + Л (h) = 2 5 0 0 + 10 000 = |
12 500 А2; |
|
|
о , = 112 А. |
|
|
|
Расчетная нагрузка головного участка линии, вероят |
ность |
превышения |
которой 0,00135, |
|
|
|
Р (/ > /Р) = 1 — F (/р) = 0,5 - |
0,5Ф |^ |
- (/)-] = 0,00135; |
Ф 1 (0,9973) — |
-700 |
/„ — 700 |
/р = |
1 036 А. |
|jg |
> |
j J2 |
При этом Ф '1 (0,9973) == 3 |
взято из |
табл. |
П1 |
Задача 8-4
Независимые случайные величины нагрузок потреби телей п 1, 2, 3 (рис. 8-2) подчиняются нормальным законам распределения с параметрами
М (Ух) = 200 |
А; |
о ,1 = 5 0 |
А; |
М (19) = 300 |
А; |
о/г = 100 |
А; |
М(1 в) = 150 |
А. |
|
|
Вероятность превышения нагрузки пЗ /3 > 300 А равна
0,00135.
О п р е д е л и т ь расчетную нагрузку на головном участке линии, вероятность превышения которой будет равна 0,0062.
t |
llL * . |
п 1 |
п 2 |
п З |
|
1----- |
1------ |
1 |
|
h |
h |
h |
Рис. 8-2.
Решение. Задача решается так же, как и предыдущая. Определяем среднеквадратичное отклонение нагрузки пЗ
Р (/, > |
300) = 0,5 - 0,5Ф р-° ° ~ 150 j = 0,00135, |
откуда о/а = |
50 А. |
Числовые характеристики закона распределения сум марной нагрузки
з
М(1) = 2 ] М (/ ;) = 650 А;
(=1
з
Д (/) = 2 ] Д (/,•) = 15 000 А2; а, = 123 А. (=1
Расчетная нагрузка головного участка линии
Р ( 1 > /р) = 0,5 - 0,5Ф |
2 ? ) = 0,0062, |
откуда Ф-1 (0,9876) = 2,5, поэтому
— 650
^2 3 - = 2,5, /р = 956 А.
