сети и расчетные нггрузки, вероятность превышения ко торых равна 0,00135.
Решение. Так как случайные величины нагрузки узлов независимы друг от друга, то формула для определения дисперсии упрощается:
Д (1в) = 1с?/||-Д (1у).
Расчетные токи ветвей, вероятность превышения которых равна 0,00135, на основании результатов предыдущей задачи определяются из выражения
1р=см (1у) +з/|Ш д Щ ).
После соответствующих действий над матрицами полу чаем:
132,2
18,04
8,32
110,5
1р _
26,2
31,7
20,0
19,0
Задача 8-8
В сетевом районе городской сети находится в эксплуа тации п сетевых трансформаторов. Каждый трансформатор проходит ремонт независимо от других. Время исправной работы каждого трансформатора распределено по показа тельному закону распределения
ср* (/) = Лге- V }
Ремонт каждого трансформатора в зависимости от его состояния продолжается случайное время, также распреде ленное по показательному закону с параметром
fl (t) = li ie~ ^ |
} t ^ 0. |
Т р е б у е т с я определить |
математическое ожидание |
и дисперсию числа трансформаторов, которые пройдут ремонт в течение времени Т, и суммарное время 0, которое будет затрачено на их ремонт.
Решение. Математическое ожидание и дисперсия числа tii ремонтов /-го трансформатора за время Т согласно закону Пуассона равны:
M (nl) = kiT f Д (п ,)= К 1Т.
Общее число трансформаторов N, прошедших ремонт за время Т,
N = 2 |
пГ, M(N) = 2 , М Щ = Т |
i = I |
i = I |
i = l |
так как величины щ независимы, то |
|
д (Л0 = 2 ] д (я,) = : г £ а*. |
|
1=1 |
(=i |
Общее время 0г, затраченное на ремонт г-ro трансформатора, представляет собой сумму времен, затраченных на каждый отдельный ремонт; так как всего ремонтов nit то
ni
e« = i;e ,y . /=i
где 0гу — случайная величина, распределенная по показа тельному закону с параметром Математическое ожида ние случайной величины 0г
Применяя теорему сложения математических ожиданий, получаем среднее время, затраченное на все ремонты:
Задача 8-9
Случайная величина токовой нагрузки ветви электри ческой сети трехфазного переменного тока подчиняется нормальному закону распределения с параметрами М (/) == = 200 A, Oi — 50 А. Определить математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение потерь актив ной мощности в этой ветви, если активное сопротивление ветви г = 2 Ом.
Решение. Потери мощности в сети являются функцией случайной величины токовой нагрузки
так как М (У )= |
$ / (х) cp (х) dx, Д (У )= $ |
[/(х)]2ср (х) х |
X d x - l M ( Y ) ] 2, |
— со |
— со |
|
|
|
|
|
|
где Y — f (х), а |
ср (х) — плотность |
вероятности |
распреде |
ления случайной величины х, то |
|
|
|
|
00 |
[/ — М (Z)]2 ] |
|
М (АР) = Зг |
|
d/ = |
|
|
Щ |
J |
|
3/* |
|
|
|
У"2лоу |
-I |
|
|
|
- Г Л |
|
|
Для вычисления этого интеграла сделаем замену перемен ных
|
1-М (1) |
d l = dtoi У~2. |
|
о ,У2 |
|
|
Интегрируя |
по частям, получаем: |
00 |
|
|
$ |
{^2(а/фЛ2_)8 + 2фЛ2"о/Ш (/) + [М (/))2} X |
1_m |
|
|
X exp ( — Р) а/y lT dt.
00
Интеграл § е~ ‘гdt = У л —известный интеграл Эйлера, а
00
интеграл вида ^ Ре~(г dt интегрируем по частям:
|
— СО |
со |
|
|
|
Vл |
|
- |
te~ “ \-oo+ \ e - ^ d t |
|
2 ’ |
|
— 00 |
— со |
|
После вычисления интегралов и несложных преобразо ваний получаем:
М (АР) = Зг {[М (/)J* + Д (/)} = 3 •2 (1002 + 2 500) = 75 кВт.
Аналогично получаем формулу для дисперсии потерь мощ ности:
|
СО |
- |
[М (АД)]2 = 9г2 {2 [Д (I)]2+ 4 [М (1 )? Д (/)} = |
= |
9 -4 {2 -2 5 0 0 2 + 4 .1 0 0 2•2500} = 4050 кВт2. |
Среднеквадратичное отклонение потерь мощности
Одр = 63,7 кВт.
Задача 8-10
От магистральной кабельной цеховой линии (рис. 8-5) получают электроэнергию три группы электродвигателей:
4 x 5 кВ •А; 3 x 1 0 кВ •А и 3 x 1 5 кВ -А .
Коэффициенты включения в работу каждого двигателя
первой, |
второй |
и |
третьей группы соответственно равны: |
Pi = 0,6; |
р2 = |
0,7; |
= 0,4. События включения и отклю |
чения любого двигателя каждой группы рассматриваются как независимые.
Т р е б у е т с я : 1) определить вероятность того, что нагрузка головного участка линии будет более 15 кВ - А, т. е. Р (sr > 15 кВ - А); 2) математическое ожидание и дисперсию случайной величины нагрузки головного участка (sr).
Рис. 8-5.
Решение. Для определения искомой вероятности и числовых характеристик используем биномиальный закон распределения.
1) Вероятность превышения нагрузки головного участка 15 кВ - А легче определить через вероятность противополож ного события (т. е. определить вероятность того, что нагруз
|
|
|
|
|
|
|
|
ка головного участка меньше или равна |
15 кВ-А): |
|
|
|
|
P (sr ^ 15 кВ А); |
|
P (sr > |
15) = |
1 — Р (sr г=£ 15) = |
1 — [Р (0) -f Р (5) -f Р (10) -ф |
|
|
|
|
|
+ Р (15)], |
|
где Р (5) = Р (1 X 5); |
Р (10) = Р (2 x 5 ) + Р (1 X 10); |
|
Р ( 1 5 ) = Р ( З х 5 ) + Р ( 1 х 5 + 1 x 1 0 ) + Р ( 1 x 1 5 ) , |
|
Р (sr > |
15) == 1 — {q\q\ql + |
^Piqlqlql + 6q\p\q%ql + |
|
+ 3q\p2q\q] + ^p]qlqiq] + |
12pLq\qip2ql + ?>q\q\q\p3), |
где |
<7i = |
l — ft = 0,4; |
qt = 1 — ft = 0,3; |
qs = 1 — ft = 0,6, |
|
P (sr > |
15) = |
1 - |
[0,33 -0,63 (0,44 + |
4 - 0,6 - 0,43 + |
+ |
6 •0,62 ■0,42 + |
4 ■0,63 •0,4) + 3 •0.32 •0,7 •0,44 •0,63 + |
+1 2 -0 ,6 -0 ,43 -0 ,7 -0 ,32 -0,63 +
+3 •0,44 - 0,32 •0,62 •0,4 = 0,98501.
2)Математическое ожидание и дисперсию нагрузки го ловного участка определяем, используя их выражения для
биномиального закона распределения и теоремы о сумме числовых характеристик независимых случайных величин:
М ( S r) = Л4 (Sj) + М (S 2) -f- М (S 3) = s0if t P i + s02 f tf t +
+ 50злзРз = 5 ■4 •0 ,6 + 10 ■3 •0,7 + |
15 •3 •0,4 = 51 кВ •А, |
Д (5 Г) = |
Д (^i) + |
Д (S*) + Д (S 3) = |
Si)1n1p1q1 -{- s^ n 2p2qi + |
+ |
А)зпзРз<7з= |
52 •4 •0,6 •0,4 + |
Ю2 •3 - 0,7 •0,3 + |
|
+ 152- 3 - 0,4 - 0,6 = 249 к В -А 2; |
|
о $[ = У Д Щ = 15,8 |
кВ -А . |
Задача 8-11
В узловом пункте электрической сети установлен авто матический линейный регулятор напряжения (рис. 8-6), осуществляющий регулирование напряжения по закону
V0 = k l + b,
где V0 = U0 — Uuо„ — отклонение напряжения от номи нального; I — токовая нагрузка кабельной линии, питаю щей потребителей пГ, k, b — постоянные коэффициенты.
Закон распределения нагрузки п1 нормальный с парамет рами /П/, О/. Сопротивление кабельной линии гл.
