Т р е б у е т с я определить параметры закона регули рования k и b линейного регулятора при условии обеспече ния минимума «неодинаковости» напряжения (математичес кого ожидания квадрата отклонения напряжения п1 от номинального). Потерями мощности в линии пренебречь.
п1
Рис.8-6.
Решение. Закон регулирования является линейной функцией случайной величины нагрузки /, его числовые характеристики:
М (V0) = k n i i Ь\ Д (Vо) = k2a}.
Закон распределения отклонений напряжения на выходе линейного регулятора, очевидно, также будет нормальный. Случайная величина отклонений напряжения от номиналь ного в til определяется разностью между случайными величинами отклонений напряжения от номинального на выходе линейного регулятора У0 и потерей напряжения в линии AU:
V ^ V o - A U .
Математическое ожидание и дисперсия потерь напряже ния в линии
AU = rl;
М(Л£/) = гтй
Д(Агу) = г20|.
Математическое ожидание и дисперсия отклонений на пряжения в nl:
М (V"i) = kttij-\ -b — rmj — mi (& — г ) + b\
Д (Vi) = k^\ + rW, - 2K (V0AU) =
= a? (k2 + r2) ~ 2 K ( V 0AU).
Корреляционный момент связи между случайными вели чинами V0 и AU:
00
K ( V 0A U )= $ $[У о -/ И (К 0)][Д *У -
—оо
—М (At/)] ср ( У 0 , Ш ) dV0d (AU) =
|
00 |
|
= |
5 [Л/+ 6 — (km./+ Ь)] [ г / — rm/j(p(/) cf/ = |
— оо |
со |
|
|
|
= r k |
$ (1 — т ; ) ( / — / п / ) ср ( / ) dl = |
|
со |
— ОО |
|
|
= |
г£ $ |
(/ — т/)2ц>(1)й1 = гИД (I)=rko°/. |
—ОО
Дисперсия отклонений напряжения в п1
Д (Vi) = о / {k 2 + г2) — 2g/V6 — = oj (k2+ г2 - 2rk) = of (6 - г)2.
Неодинаковость напряжения в п1
М(К !) = [УИ(У1)]2 + Д (К 1) =
=[т/ (&-/-) + 6]2 + а/ (& - г)2.
Параметры & и 6 закона регулирования, соответствую щие минимуму неодинаковости, определяем из систем уравнений
v db
или
( [т, ( k - r ) - \ - b] т, + of (k - г) = О,
\ [т/(& — г) + 6] = 0,
откуда
a')(k —г) = 0, o]k = G ] r , и k — r, 6 = 0.
Подставив найденные значения постоянных коэффи циентов, удовлетворяющих требованиям задачи, в уравне ние закона регулирования, получим 1/„ = г/ = А6/.
В соответствии с этим законом минимум «неодинако вости» напряжения будет обеспечен, если при каждом значении случайной величины нагрузки линии компенси ровать потери напряжения в линии. Аналогично решаются задачи с большим числом нагрузок и при более сложной сети.
Задача 8-12
По результатам наблюдений за выработкой продукции
завода |
и |
потребляемой |
им |
электроэнергией |
из |
системы |
в течение |
10 лет |
получена |
количественная |
зависимость |
П = f |
(А), |
отраженная |
в |
табл. |
8-1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
8-1 |
Количество продукции, |
20 |
20 |
35 |
50 |
40 |
70 |
65 |
85 |
90 |
85 |
условные единицы в год |
10е кВт ■ч /год ............... |
4 |
7 |
8 |
10 |
12 |
13 |
16 |
18 |
2 0 |
15 |
Через 2 года намечается увеличение выработки продук |
ции до ПО уел. ед./год. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т р е б у е т с я |
определить, какое |
количество |
энергии |
будет потреблено из системы в этот расчетный год. Для прогноза использовать линейное уравнение регрессии.
Решение. Зависимость между выпуском продукции и потребляемой электроэнергией не функциональная, а веро ятностная. Линейное уравнение регрессии запишется сле дующим образом:
Л = /-пД^ [ Я - М ( Я ) ] + М (Л ),
и п
где гпа — коэффициент корреляции между случайной вели
чиной — количеством выпускаемой продукции |
Я — и по |
требляемой электроэнергией А; |
а л, |
а п — соответственно |
среднеквадратичные |
отклонения |
случайных величин А и |
Я ; М (Л) и М (77) |
— соответственно |
математические ожи |
дания случайных величин А и П. |
|
|
|
Статистические оценки М (Л) |
М (Я) и а А, |
оп равны: |
|
* |
* |
* |
& |
*/=■ 1
= ~ ( 4 + 7 + 8 + 1 0 + 1 2 + 1 3 + 1 6 + 18 + 20 + 15)- 10е ==
= |
12,3 •106 |
кВт •ч; |
|
гг |
|
М (Я) = |
~ У Я ( = |
56 уел. ед.; |
* |
п |
|
[ Л , — ж ( Л ) Р
|
|
<Ja = |
|
п—1 |
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 2,3)2 + |
(7 — 1 2,3)2 + |
( 8 - 12,3)2 -|—( 1 0 — 1 2 ,3 )2 + |
|
|
+ |
( 1 2 - |
1 2 ,3 )2 + ( 1 3 - |
1 2,3)2 + ( 1 6 - 1 2 ,3 )2 + |
= 10« |
|
+ |
( 1 8 — 1 2 ,3)2 + ( 2 0 — 1 2 ,3 )2 + |
( 1 5 — |
12,3)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
5 ,0 2 -106 кВт - ч; |
|
|
|
|
|
|
2 |
int~M (/■/,)]* |
|
|
|
|
<+ = |
|
— — +ГТ---------= 26,8 |
уел. |
ед. |
|
* |
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
[ Л г— A f ( + ) ] [ / 7 ;— |
М(/7,-)] |
|
|
|
_1= I______ *__________ *______ |
|
|
*ПА |
|
|
|
|
|
|
|
|
(20 - 5 6 ) (4 - 1 2 , 3 ) |
+ |
(2 0 - |
56) (7 - |
12,3) + |
(3 5 - 56) |
(8 - 1 2 , 3 ) |
|
|
|
|
|
9 •5 ,0 2 • 10е •2 6 , 8 |
|
|
+ |
(50 - 5 6 ) (1 0 - |
12,3) + |
(40 - |
56) (12 - 1 2 , 3 ) + |
(70 - |
5 6 ) (13 - 12,3) + |
|
+ ( 6 5 - 5 6 ) ( 1 6 - |
12,3) + ( 8 5 - 5 6 ) ( 1 8 - 1 2 , 3 ) |
|
|
|
|
|
9 •5 ,0 2 • 10е •2 6 ,8 |
|
|
|
, |
(90 — 56) |
(20 — 1 2 ,3 ) + |
(85 — 56) ( 1 5 — |
12,3) |
, n e _ n q f i |
■*" |
|
|
9 •5 ,0 2 • 10е •2 6 ,8 |
|
|
|
’ |
Уравнение |
регрессии |
|
|
|
|
|
А = |
[0,96 ~ | ( Я |
— 56) + 12,3] •10е = [0,18/7 — 2,2] 10е. |
Количество потребленной энергии при выпуске про дукции 110 уел. ед.
А = [0,18110 + 2,2]- 10е = 22,0- 106 кВт-ч.
Задача 8-13
Поданным выработки ежемесячной продукции П (уел. ед.) цехом завода, потребляемой им энергии А (кВт-ч) и макси мальной величине активной мощности Р (МВт) за 10 мес. получена зависимость, связывающая указанные величины:
П ....................... |
|
75 |
70 |
65 |
80 |
75 |
85 |
80 |
90 |
85 |
9 5 |
А - 105 |
. . . |
ш |
И |
12 |
13 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
19 |
Р ....................... |
|
3 |
4 |
3,5 |
5 |
5,5 |
6 |
6 |
7 |
7 |
7,5 |
Через 3 мес. предполагается довести выработку продук ции до 100 уел. ед., при этом ожидается месячное потреб ление электроэнергии 21-105 кВт-ч.
Т р е б у е т с я определить значение максимальной ак тивной мощности для указанного периода, предположив, что имеет место следующее линейное уравнение регрессии:
Р = аП + Ь А + с .
Решение. Коэффициенты линейного уравнения регрессии, связывающего три переменные Я , А, Р, определим из следующего общего выражения, удовлетворяющего усло виям метода наименьших квадратов:
П
2 [Pi — / (Я г, At, a, b, c)]2 = min,
( = 1
ИЛИ
2 [Pi - (аП{+ bAi + c ) f = min.
£ = 1
Найдем значения а, Ь, с, обращающие в минимум левую часть этого выражения. Для этого продифференцируем ее по а, Ь, с и приравняем производные нулю:
2 [Я,— (аЯ| + М , + с)]Я , = 0;
( = 1
У, [Pi ~ (дЯг-ф bAj 4-с)1 Aj = О,
;= )
У, [Яг— (аПi + ЬАi с)] = 0.
|
|
г = 1 |
|
|
После элементарных преобразований |
имеем: |
2 |
|
Я ,Я г — а 2 т - Ь 2 Л Д - с 2 Я г = 0; |
г = 1 |
г = 1 |
г = 1 |
г = 1 |
■ 2 |
Я/Л/ — а 2 Я г Л г - 6 | ] Л ) - с 2 Лг = 0; |
г = 1 |
г = 1 |
г = 1 |
1 = 1 |
2 |
P i - a 2 Я г - 6 2 Лг — лс = 0. |
г = 1 |
г = 1 |
г = 1 |
|
Деля все члены уравнений на гг и учитывая определения |
начальных |
|
моментов, получаем: |
|
а г1 (Я Я ) — а а 2(Я) — Ьаи (АП) — сс^ (Я) = 0; |
• а п (РА) — паи (ЯЛ) — Ьа2 (А) |
— сс^ (Л) = 0; |
, с*! (Я) — а а 1(Я) — |
(Л) — с = 0. |
