Эту систему уравнений можно упростить, введя не начальные, а центральные моменты, с учетом того, что
|
a i (Я) — М (/7 ), |
(Л) = Л4 (Л), а ,(Р ) = М (Р ), |
а и (РП) = /С (РЯ) + |
М (Р) М (Я), а 2 (Я) = Д (Я) + [М (Я)]2 |
и т. д., получим |
|
( |
а [Д (Я) + [М (П)}*\ + b [К (АП) + М (А )М (Я)] + |
I |
+ сМ (Я) = К (ПР) + М (Р) М (Я) |
< а [Я (ЯЛ) + М (Я) М (Л)] + b {Д (А) + [М (Л)]2} +
+сМ (Л) = к (РА) + М (Р )М (Л)
аМ (Я) + ЬМ (А) + с = М (Р)
или в матричном виде: |
|
|
|
Д(П) + [М(П)У К (А П )+ М (А )М (П ) М(П) |
а |
К (ПА) + М (Я) М (Л) |
Д (А)+[М (Л)]2 |
М (А) X b |
М(П) |
М (А) |
1 |
с |
К(ПР) + М (Р)М (П)
—К (РА ) + М (Р )М (А ) .
М(Р)
Обозначим сомножители левой части уравнения соот ветственно В и Д , а правой Е , тогда уравнение запишется в виде
В х Д = Е .
Его решение
Д = В 1Е.
Элементы матрицы В и Е — математические ожидания, корреляционные моменты и дисперсии — определяются из
статистических данных |
|
|
М (П ) = 80 уел. ед.; |
М (Л )= 1 5 105 кВт-ч; |
М (Р) = 5,45 МВт; |
Д (II) = 82,3 уел. |
ед.2; |
Д (А) = |
11,1 •1010 кВт-ч2; |
Я (Я Л ) = |
25-105 кВт-ч. |
уел. ед., |
К (ПР) = 12,6 уел. ед. МВт, |
К (РА) = 5,06 •105МВт •кВт •ч. |
* |
|
* |
|
Коэффициенты а, b, с уравнения регрессии определим, решив уравнение
а |
|
82,3 |
+ |
802 |
25 •105 + |
15 •105 •80 |
80 |
|
b — 25 •105 + |
80 •15 •105 11,1 •1010 + 225 ■1010 1 5 -105 х |
с |
|
|
80 |
|
|
|
1 5 -105 |
1 |
|
|
|
|
|
|
12,6 + |
5,45-80 |
|
|
|
|
|
X |
5 ,0 6 - 105 + |
5,45- |
15105 |
|
|
|
|
|
|
|
5,45 |
|
|
|
|
откуда |
а |
0,0432; b |
0,358; с ^ |
— 3,36 и |
|
|
|
|
Р = 0,0432Я + 0,358 •10‘ М - 3,36. |
|
|
Через 3 мес. ожидается П = |
100 уел. ед.; |
А = |
21 •Ю5 |
кВт-ч, |
следовательно, |
величина |
максимальной мощности |
Р = 0,0432100 + |
0,358КГ5- 21 •105 - 3,36 = |
8,46 |
МВт. |
Задача 8-14
В результате расчетного эксперимента при вариации параметров режима в разветвленной электрической сети и технико-экономических характеристик потребителей полу чена следующая зависимость между величинами отклоне ния напряжения V (%) на трансформаторной подстанции и народнохозяйственного ущерба Y от отклонений напряже ния у совокупности потребителей этой подстанции:
У, р у б ............... |
60 |
55 |
50 |
45 |
30 |
20 |
25 |
30 |
45 |
70 |
70 |
V, % .................. |
0,5 |
1 |
1,5 |
1,5 |
3 |
3,5 |
5 |
6 |
7 |
7,5 |
8 |
Т р е б у е т с я методом наименьших квадратов подо брать параметры зависимости У = / (К), представив ее пара болой второго порядка
y = aV* + bV + с,
|
|
|
|
|
|
|
отвечающей |
полученной экспериментальной |
зависимости, |
и определить по ней средний |
ущерб при V = 4% . |
Решение. |
Для определения |
неизвестных |
параметров |
а, Ь, с, составляем |
систему уравнений |
|
|
а 4 (К) а + |
а 3(V) Ь + |
а 2 (К) с = |
а 21 (V<У); |
* |
* |
* |
|
* |
|
а з (V) а + |
а 2 (V) b + |
* |
(V) с = |
а п (КУ); |
* |
* |
|
* |
|
а 2 (К) а + |
а х (У) b + |
а 0 (V) с = |
а 01 (КУ), |
* |
* |
* |
|
* |
|
гдеа„ (V) — начальный момент п-го порядка; |
а,-,- (1/,-У,-) — |
* |
начальный момент (i |
|
|
* |
смешанный |
+ /')-го порядка. Из экс |
периментальных данных (я = 11) определяем начальные моменты 4, 3, 2 и 1-го порядков случайной величины V, а также смешанные 1, 2 и 3-го порядков случайных величин
V и У:
О .(Г ) - — + - = |
1075(%)<; |
II |
|
2 |
V1 |
|
|
a 3(V) = -‘ ^ r — |
= |
155 (%)»; |
11 |
|
|
|
2 |
I'? |
|
|
a 2(V) = ‘- ^ — |
= |
23,4 (%)*; |
*11
|
|
И |
|
|
|
|
|
2 |
^ |
|
|
|
«1 (V) = |
|
= |
4,05 (%); |
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
2 |
* |
|
а 01(УУ) = а 1(У) = |
^ г Г ~ = 45,5 руб. |
* |
* |
|
11 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
2 |
w |
|
|
|
«п (У У ) = — |
п----- = 1 9 0 |
руб. %; |
|
и |
|
|
|
|
|
2 |
''fy/ |
|
|
« 2 1 |
(Vy) = |
----- = |
1 195 |
руб (% )2. |
В результате получаем систему уравнений
' 1 075а + 1556 + 23,4с = 1 195; 155а + 23,46 + 4,05с = 190;
, 23,4а + 4,056 + с = 45,5,
откуда |
а |
= 4,3; 6 = — 35,25; с = |
87,5. |
Зависимость ущерба от отклонений напряжения описы |
вается |
уравнением |
|
|
|
У = 4,3V2 - 3 5 ,2 5 ^ + 87,5. |
Средний ущерб при V = 4% , |
У = 4,3-16 — 35,25-4 + |
+ 87,5 |
= |
15,3 руб. |
|
Минимум ущерба будет при среднем отклонении напря жения, равном 4,1% :
Задача 8-15
Две электрические системы объединены двухцепной электропередачей напряжением 220 кВ, длиной 250 км. Реактивное сопротивление двух параллельных линий х = = 51,3 Ом. Напряжения по концам электропередачи явля ются случайными независимыми величинами соответственно с математическими ожиданиями М (f/j) = 219 кВ, М (U2)=
= |
212 |
кВ |
и |
среднеквадратичными отклонениями o Vl = |
= |
7 кВ; Оуз = |
6 кВ. Угол сдвига между векторами напря |
жений |
Ui |
и U2 равен 30° и поддерживается неизменным. |
Считая, что случайная величина передаваемой активной мощности распределена по нормальному закону, определить ее значение, вероятность превышения которого будет равна 0,0668. Активным сопротивлением линий и их емкостной проводимостью пренебречь.
Решение. Активная мощность, передаваемая по линии
связи между |
системами, |
Математическое ожидание передаваемой мощности |
М {Р) = М |
sin б) = ^ М ( и ги а) = s- ^ М (UJ М (U2) = |
=^ - 2 1 9 . 2 1 2 = 453 МВт.
51,<3
Дисперсия передаваемой мощности
Д (Р) = Д ( М * sin б) = ^ {Д (U J Д т +
+ |
[м (UJY д ( t / a) + [М т г д (С/х)} = |
0,5* |
, П1П9 |
=[49 ■36 -f 2192 •36 + 2122 •49} = 375 МВт2.
Среднеквадратичное отклонение Ор = 19,4 МВт.
Значение передаваемой мощности, вероятность превы шения которой 0,0668, определяется из уравнения
& ( P > P p) = l - F ( P v) =
\ |
1 |
Г П |
Л Л / П\ П , |
|
1 |
, 1 л Р |
г Л|</)) |
|
|
|
|
]} |
|
|
|
|
= 0,0668. |
О р
Сначала вычисляем значение интеграла вероятностей
а затем по табл. /77 находим Ф 1 (0,8664) = 1,5, поэтому
Передаваемая мощность с заданной вероятностью равна:
Рр= 453 -f 1,5 ■19,4 = 482,2 МВт.
Задача 8-16
Две электрические системы связаны линией электропе редачи с номинальным напряжением 220 кВ. Длина линии I — 250 км, удельное реактивное сопротивление х0 =
= 0,41 Ом/км. Напряжения по |
концам линии |
поддержи |
ваются постоянными и равными |
1/г = U2 — 220 |
кВ. Угол |
6 сдвига между векторами напряжений 1/j и (/г является |
случайной равномерно распределенной величиной в интер- |
JL |
JC”1 |
[ — -g-, |
-g . Пренебрегая активным сопротив |
лением и емкостью линии, определить математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение передаваемой мощности.
Решение. Математическое ожидание передаваемой ак тивной мощности
М (Р) = М (^ |
sin б) = |
— |
М (sinб) = |
|
Я |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
^ |
sin бф (б) (76 |
|
л: |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
ji |
|
|
|
2202 |
з |
1 |
|
|
f |
я sin 6d6 = |
0,41 •250 |
J |
я , |
|
_ i i |
3" + |
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
Я |
|
|
|
|
|
= |
ПО МВт. |
|
|
|
6 |
|
