Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 143

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Тогда имеем

. и, кроме того,

А — А 2-f- А2

 

(AtФ, Ф) = 0, (А2Ф, Ф) = 0.

(2.5)

 

Метод расщепления задачи (2.1) сформулируем на основе про­

цесса на интервале

tf _x ^ t ^

tJ +1. Схемой реализации

метода

будет следующая. На интервале

£у-

 

 

В ^ + А ^ г - О ,

 

 

ВФ1 = ВФ*~1 при t — tj-i,

(2.6)

на интервале tj _ 1 ^

t ^ t j +1

 

 

 

Б ^ р - + А2Ф2= 0,

 

 

ВФ2 = ВФ[

при t = tj_L

(2.7)

и на интервале ^: sg t sg tj +1

В^ + АгФз = 0,

ЯФ3= ДФ{+1 при t = tj.

(2.8)

Здесь задачи (2.6) и (2.8) описывают перенос субстанций вдоль

траекторий

соответственно на интервалах

^ t =5 tj и tj

t

«g г/ + 1, а

задача (2.7) — адаптацию полей на всем интервале

tj -1

^ ^

tj +

X

 

В покомпонентном виде мы будем иметь задачу (2.6) на интервале tj- 1 * sS

divpu^u1= 0,

 

-i"div pu^! — 0,

dpJ^1 p div pu/ö'1= 0

при условии

divpu^ = 0,

граничных условиях

 

 

 

pи/ = 0 при z ==0,

0- 1

^L. II 0

*0

1! tu

и начальных данных

 

Д s

 

 

 

 

“і"1

v'C1= V1-1, i}[~1== <) - ;

(2.9)

(2.10)

(2.11)

146


задачу (2.7)

на интервале t j _x ^

t

^

t j +1

 

 

dp u2

 

lpv2+ p

дфг = 0 ,

 

 

dt

 

 

 

 

dx

 

 

dt

rfpu2+

p ^

=u,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ R T

â(f2

 

 

 

 

~

g

dz

 

 

 

div pu.2= 0,

 

 

 

öp02

.

1

-

 

А

(2.12)

при условии

ät

 

+

o SPwt = 0

pw2= 0 при z = 0,

 

 

 

 

pw2= 0

при z = H

(2.13)

и начальных данных

 

 

 

 

 

 

 

 

i4 -1 = ui,

vif1= v[,

ö f 1= i){

(2.14)

и задачу (2.8) на интервале ti

^

t

^

tj +j

 

 

У

-1--divpu'itj-O ,

 

 

 

+ div pu'fg = 0,

 

 

■d^

3 + div pu^ 3~ 0

(2.15)

при условии

 

div pu^ = 0,

 

(2.16)

 

 

 

 

pw1 = 0 при z = 0,

 

 

pWl = 0

при z — H.

(2.17)

и начальных

данных

 

 

 

 

 

 

 

 

и'3 = и{+1,

v{ = vif1,

-д'з = Ц +1.

(2.18)

Следует помнить, что решение задачи (2.1) является по пред­ положению периодическим, что позволяет эту задачу рассматривать без специального изучения проблемы граничных (по х, у) условий. Если на границе рассматриваемой области ставятся определенные условия, не являющиеся условиями периодичности решения, то при постановке задачи и формировании алгоритма следует поступать так же, как в задаче динамики океана.

Далее, так же как и в предыдущей главе, наша задача может быть сведена к эволюционной, и это обстоятельство позволяет теоре­ тически обосновать используемые методы расщепления на основе теории, изложенной в гл. 2.

10*

147


5.3. РАЗНОСТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАЧ

Пусть z = 0 совпадает с уровнем земной поверхности, z = Н — с уровнем тропопаузы или другим более высоким уровнем в нижней стратосфере, где в климатическом смысле выполняется условие рw = 0. (Наряду с тропопаузой, такой уровень имеется на высоте примерно 22 км.) Тогда нашу область покроем основной и вспомога­ тельной сетками таким образом, как при рассмотрении задачи дина­ мики океана (см. гл. 4). Аппроксимация задачи

-f div ри^ф = 0

(3.1)

при условии

 

divpu^ —O

(3.2)

и

 

рW1= 0 при 2= 0,

 

pw1= 0 при z = H,

(3.3)

где ф — любой из компонентов (и, ѵ, #}, и ее решение на основе метода расщепления производится в точном соответствии с алгорит­ мом, изложенным в п. 4.6, с той только разницей, что здесь следует

учесть зависимость р от высоты. Это значит, что во всех формулах

и. 4.6 и7следует теперь заменить на ри7.

Переходим к разностной аппроксимации и решению уравнения адаптации. Поскольку здесь имеются некоторые, хотя и не прин­ ципиальные, но важные детали, отличающие задачу прогноза от задачи динамики океана, то этот вопрос мы рассмотрим более детально.

С этой целью задачу об адаптации теперь примем в качестве самостоятельного объекта исследования и проведем разностную аппроксимацию по пространственным переменным, аналогично тому, как это было сделано в задаче динамики океана

1РѴ !-pvt<p = 0,

-i lpu +РѴіф = 0>

—tfpfr -Г РѴтф = 0,

 

Vft (P“) -I ѵг (Й г Ѵт (р«0 = 0,

 

0 — -1-£РИ> = °

(3.4)

при условии периодичности решений по индексам к, I и

 

Po“'o= Pmu,m = 0-

(3.5)

1iS

 


Введем в рассмотрение скалярное произведение

(®> Щ

^

^

/2Aj/ij-1/, Д^т+Ѵг»

 

где öftimi

— компоненты векторов а и b,

а индекс і изменяется

в пределах 1

^ і sg М .

Пусть

 

 

 

 

и

 

иI-1

0

- І р

0

p y i

0

V

 

V1-1

0

0

p y t

0

W

Н +1=

0

> А \ = 0

0

0

pyti

—gp

ф

 

0

Ѵ*Р-

Ѵ"Р-

Vmp.

0

0

0

 

# і-і

0

0

£p

0

0

Индекс h у векторов означает, что компоненты представляют собой векторы с составляющими в точках (к, I, т). Тогда с учетом условий периодичности решений и (2.13) нетрудно получить

ФА, ФА) = 0

(3.6)

и, следовательно, будем иметь

 

 

4 - ~ ( 5

Ф Л, ФА) = 0.

(3.7)

Отсюда следует выполнение закона сохранения в разностной форме

при любых t из интервала tj_x

+

 

{ВФк, ФА) = {BF>-\ F1-1) = const.

(3.8)

Прежде чем переходить к решению системы (3.4), эту задачу

перепишем в несколько иной эквивалентной форме

 

-§^- — /у +

 

*

-ff + Іи + RT yftp = О,

 

+ RTytiф= О,

 

Г Уі ѵ

VmPI^: 0)

 

+ Уа~У-іѵ = 0

(3.9)

dt

1

f

'

При условии периодичности решения по индексам к, I и

 

 

и,о==ы;лг = 0-

(310)

149


Из решения задачи (3.9), (3.10) выделим наиболее неприятную баротропную составляющую и решение представим в виде суммы

 

 

и = и +

и‘

 

 

 

ѵ =

ѵ-\--ѵ',

 

 

 

ср =

ф +

ф ' ,

 

 

 

W =

w \

 

 

 

0 = Ф \

(3.11)

где и , V и ф зависят только от индексов к и I

и времени t.

Тогда приходим к двум задачам: первой, описывающей баро­

тропную составляющую поля

 

 

 

-----lv + RTyi<p = 0,

 

*L + £ + RT4t4 = 0,

 

 

 

\jkU + yiv = 0,

(3.12)

и второй, описывающей бароклинную часть решения

дри'

-Ipv’

р\кц’ = 0,

Iit

 

 

 

 

 

 

dpv'

 

■Zpu' + рѵг ф' = 0.

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

— g p f t '- i - р ѵ т ф ' = 0 ,

 

V* (Р“') + ѵГ (ру')

Г Ѵт (PW’) = 0.

 

 

öpd'

 

gpw = 0

(3.13)

 

 

dt

 

при условии

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.14)

 

Powo= Pmwm = °‘

Здесь мы снова пришли к форме записи в виде исходной системы

(3.4).

Уравнения (3.12) запишем в разностном виде по времени на основе схемы Кранка — Николсона

иІ+1~ и- - lv>+ R f VW = 0,

V>~ 2 ~ ------

{-lu 1 - ^ R T y t у 1=

0,

 

щ и 1 - f S jT v 1 = 0 ,

(3.15)

150