Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 145
Скачиваний: 1
где использовано обозначение
^ = ~ (аі+1 а1' 1).
Третье из уравнений системы (3.15) позволяет ввести в рассмотре ние функцию тока
иг = — |
|
|
(3-16) |
Исключая из уравнений |
неизвестные и' +1, у,+1 и ф-*, |
с уче |
|
том (3.16) приходим к уравнению для функции тока |
|
||
vt(Vft’lO -Г wt (vrV) + |
Т (vt |
—vt(Л7ГФ7)) = fl , |
|
j* = |
— |
|
(3.17) |
Уравнение (3.17) необходимо решить при условии периодичности функции тока. Сформулированная задача может быть решена любым из методов, изложенных в гл. 3 *.
Переходим теперь к решению задачи (3.13). Эта задача, как легко показать, следуя рассуждениям гл. 4, допускает расщепление.
Задача первая на интервале tj_± ^ |
t |
sg t- |
|||
|
|
. V{+V[-1 |
0 |
||
,i |
J-l |
jji _L ,./—1 |
__ Q |
||
ll |
hl |
_i_ £ U\ \ U1 |
|||
|
_öi-öH _ = o |
|
(3.18) |
||
при начальных условиях |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u'f1= и1' 1, у{-1 = y/_1, |
|
= |
|||
Задача вторая на интервале |
^ |
t |
^ |
tj |
|
Р
—gpÖ-V ;2+ PVmTr' ■'2=
Vft (Put ' l!) - T Vm (рК~'Іг) = О,
Н (3.19)
+ ^ Р < 1/2 = 0
при условии
Р о < о = Р м К ' м ^ 0-
1 См. Марчук Г. И. «Методы вычислительной математики».
151
Начальными условиями для этой задачи будут
и(21= и{, |
ѵ[, |
1= |
|
Задача третья также на интервале |
tj _ 1 ^ t |
h |
|
|
гЛ-1 |
|
|
|
|
|
|
|
JZ_ = 0, |
|
|
р |
+ ^ ф*~1/’= °» |
|
|
-№ ^з”'/2J-РѴтфГ’/2= о,
|
|
уГ ( K - ,/2) + 4 - Vm(р^ -,/г) = 0, |
|
||
|
|
- |
+ _I_ p ^ -v, = |
0 |
(3.20) |
при условии |
|
|
|
||
|
|
ä :ö/2= P m^ != 0- |
|
|
|
Начальными условиями следует принять |
|
|
|||
|
|
и£х = и[, v'f1 = viz, |
|
|
|
tj |
Далее |
аналогичная |
задача решается на |
следующем |
интервале |
t |
1 только в обратном порядке: сначала решается задача |
||||
(3.20), затем (3.19) и наконец (3.18). Этим заканчивается цикл реше ния уравнений адаптации.
Переходим к рассмотрению бароклинного компонента. Решение задачи (3.18) находится в явной форме:
Іт
Z2T2 и[ 1 Т
/ 2Т 2 Г 1 |
2 Ui |
~ V |
1 ~ ~ Vi |
j_r (3.21) |
При решении системы уравнений (3.19) |
введем в |
рассмотрение |
||
функцию тока соотношениями: |
|
|
|
|
-уР w2~'u = v W ~ 'U' |
|
(3.22) |
||
Используя выражения (3.22) и исключая из системы (3.19) все
остальные компоненты решения, за исключением |
приходим |
к уравнению |
|
РѴѢ ( у Ѵтф'-,/і) + у у vt ( ѵ ^ ,_,/') = f~ 4t, |
|
?~'Іг = -РѴ т (•£у - ) + 4 е-V Ä -1. |
(3.23) |
152
Граничными условиями для уравнения (3.22) будут условия периодичности по переменной х и условие обтекания на уровне зем ной поверхности и на уровне z = Н, т. е.
Ѵ_1/2 = 0 при 2 = 0,
г|/-,/> = 0 при z = H.
После решения задачи (3.23) функции ри1, рѵ1, рй; находятся по формулам:
ри{ = — 2ѵтф/_Ѵг — рг4“\
рѵ[ = р^2-1> |
|
|
рй'2= — |
ѴйФ,_,/! + Р^г”1* |
(3.24) |
Далее решается система |
уравнений (3.20). |
Вводим функцию |
тока по формулам: |
|
|
рѵ\ |
= —ѴтФ/-1/'> |
|
|
= |
(3.25) |
Тогда, аналогично предыдущему, приходим к уравнению для функ ции тока
Р \ т (-J - ѴтФ'"‘/2) |
V* (ѵГФ;“'/!) = |
Г ' /г, |
Г ' 11 = -РѴт |
+ f - Ф Н - 1 |
(3.26) |
при условии периодичности по переменной у и условии обтекания ф/—‘/«= 0 при 2 = 0,
q/-Vi —0 при Z — H. |
(3.27) |
Что касается компонентов решения, необходимых для дальнейшего расчета, то они, аналогично (3.24), имеют вид
pi4 = pz4'\ |
|
рг-’з = — 2уйф'‘,/г — рі’з”\ |
|
рй'з = — ^ ё ѵГФ'~І/’ + р6Г1- |
(3.28) |
Аналогичным образом решаются, только в обратном порядке, эти задачи для интервала ^ t ^ tj +1.
153
В заключение рассмотрим метод решения задач (3.23) с помощью разложения в ряды Фурье по собственным элементам следующей спектральной задачи:
PVmM -V«Z) + ^Z = 0, |
(3.29) |
|
VРт |
1 |
|
z 0= |
o, zM=o. |
3.30) ( |
Задача (3.29), (3.30) определяет полный набор ортонормированных собственных векторов {Z„} и набор собственных чисел {^„}.
Решение уравнений (3.23) будем искать в виде
Af-l
(3.31)
П=1
при этом вектор f */г также разложим в ряд Фурье
М-1 »
г ч -’= 2 fn 'hz n, (3.32)
п=1
где
r h = (f -'h , Z j , |
(3.33) |
а скалярное произведение определяется в форме
(а, Ъ) — ambm AZm гі
Рт
Подставляя разложения (3.31) и (3.32) в (3.22), (3.23) и умножая результаты скалярно на Z„, приходим к следующей задаче:
у I ( ѵ А |
,/г ) |
4aa.n */-■/„_ |
ft-у, |
g2T2 Vп — Гп |
|||
♦« 1/ |
2 |
4а |
|
4 І - I |
g2T 2 ( Г ,/2, z„). |
(3.34) |
|
}п |
|
||
Что касается задачи (3.34), то ее периодические решения нахо* дятся с помощью метода факторизации. Таким образом, все элементы алгоритма решения задачи адаптации обсуждены.
5 .4 . |
И ТЕРА Ц И О Н Н Ы Й М |
РЕШ Е Н И Я У РА В Н ЕН И Й АДАПТАЦИИ
Расщепление задачи адаптации (3.11) при условии (3.12) на три задачи (3.16)—(3.18) возможно только в том случае, когда безраз мерный параметр Іх существенно меньше единицы. Ошибка аппро
ксимации от такого расщепления по норме примерно равна —i h 2.
Для средних широт и при т = 20 минут ~ l h 2 ^ А-. Такая
погрешность в аппроксимации оказывается приемлемой для задан прогноза погоды. Если временной интервал уменьшить, то аппро
154