Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Для эффективного решения адиабатической задачи о прогнозе метеорологических элементов необходимо выполнить дальнейшие упрощения задачи (1.1)—(1.3). С этой целью от метеорологических величин р, р и Т перейдем к их отклонениям p', р' и Т' по формулам:

Р = Р + Р', Р= Р+ Р \ Т = Т - у г + Г ,

где р (z) и р (z) — функции только высоты z, у = const и Т = const; причем р = RpT. Предполагая далее

- £ - « і , - £ - « і

Р Р Т

и вводя в рассмотрение относительные величины

приходим к следующей системе уравнений:

Здесь проведена частичная линеаризация, отброшены малые члены и, кроме того, в уравнении неразрывности сделано пренебрежение

членом Это последнее предположение гарантирует фильтрацию звуковых волн, малосущественных для динамики атмосферных

— const и у = const для всей атмосферы. Нетрудно видеть, что они

141

Переходим теперь к некоторым преобразованиям системы урав­ нений (1.4). С использованием уравнения неразрывности полную производную от некоторой величины ра, где в качестве а могут быть приняты и, и, V и другие скалярные функции, можно представить в виде

^ T = ^ + d i v Pu a ’ ( 1 J )

где u = ui -\- V] + wk, div (pua) — трехмерная дивергенция от соот­ ветствующего векторного поля.

Систему уравнений (1.4) приведем к виду:

- j f + div ріш — lpv + p -^ - = 0,

^ -- j- d iv puv + lp u + p - ^ - = 0,

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что параметры

Переходим теперь к исследованию сформулированной постановки задачи. С этой целью введем далее в рассмотрение гильбертово про­ странство функций со скалярным произведением

(а, Ь) = 2 fa(i,b(i,dD,

‘ D

где аН) и Ь(і) — компоненты векторных функций а и Ь, и исследуем некоторые свойства оператора задачи (1.8). С этой целью первое из уравнений системы (1.8) умножим на и, второе — на ѵ, третье —

— приближенное выражение для полной энергии системы.

142

Если теперь использовать граничные условия (1.5) и предполо­ жить периодичность решения в плоскостях (х , у), то после интегри­ рования уравнения (1.10) по всему пространству приходим к теореме о сохранении полной энергии системы

задача (1.12), (1.13) допускает существование двух различных реше­ ний {uj, О1!} и {и2, ѵ2, 0 2}- Составим разность решений и получим

u = u1 — u2t ѵ = ѵг— ѵ2, O’ = 0'1—02-

Очевидно, что в силу предположения о линейности задачи на интервале tl ^ : t ^ t J +1, разность двух решений также будет удовлетворять линеаризированной системе уравнений (1.8) и гра­ ничным условиям (1.5). Кроме того, разность решений будет удовле­ творять нулевым начальным данным при t — tj.

143

Таким образом, наше допущение о существовании двух различных решений не оправдалось и единственность решения линеаризиро­ ванной задачи доказана.

5 .2 . О БЩ ИЙ МЕТОД РА СЩ ЕП Л ЕН И Я

Переходим к формулировке метода расщепления сформулирован­ ной задачи (1.12)—(1.15). С этой целью введем в рассмотрение векторфункции Ф и F и матрицы А и В соотношениями

Тогда систему уравнений (1.8) запишем в операторной форме

144

Подчеркнем еще раз, что мы использовали здесь упрощение,

предположив, что Т не зависит от z и является средней годовой температурой тропосферы. Это значит, что изменение стандартного давления по высоте полностью определяется изменением стандартной плотности

Р (z) = RTp (z).

Класс функций {Ф}, дифференцируемых по времени, облада­ ющих достаточной гладкостью по пространственным переменным для того, чтобы операторы А на них имели бы смысл, квадратично суммируемых по всей области D и удовлетворяющих требованиям периодичности и (1.13), составит область определения оператора А.

Введем в рассмотрение скалярное произведение векторных функ­ ций

(а, 6) = 2 \ a (i}ba4 D ,

< D

где индекс і изменяется в пределах 1 ^ і ^ 5. Тогда на функциях Ф, принадлежащих области определения оператора А, имеет место соотношение определенности в виде

С учетом этого равенства из уравнения (2.1) следует

4 4 ( 5 Ф , Ф) = 0,

Отсюда следует закон сохранения для любых моментов времени