Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
операторов AL как легко заметить, схема (4.3) будет, вообще говоря, первого порядка точности по т и поэтому менее интересна для при ложений, чем следующая схема второго порядка аппроксимации, предложенная Е. Г. Дьяконовым:
ф / + ^ г = — ф 1 + ~ ( а = 1 , 2
( я -f-b ЛІ„_а+1')Ф /+ 17Г = Ф;+ ’17Г (а = п + 1 , п + 2, . . ., 2га). (4.4)
В дальнейшем мы попытаемся определить специальную конструк цию метода полного расщепления на основе (4.3), которая дает реше ние задачи Коши для положительно полуопределенных и некомму тативных операторов А« и обладает вторым порядком аппроксима ции. В сущности, это является в известном смысле окончательным
решением проблемы расщепления.
Заметим, что система уравнений (4.3) сводится к одному уравне нию вида
ФМ = П ( Е + ± Н „ ) " { Е - ± и а)ф1. |
(4.5) |
а- і
Спомощью (4.5) найдем оценку по норме
II ф ' ^ И П І К я + і ^ ) ’1^ - |
j K ) |
ІІф /ІІ- |
(4.6) |
|
|||
а*=1 |
|
|
|
Ha основе леммы Келлога имеем |
|
|
|
II ф/-и у ^ у ф 11I ^ . . |
•ІІЙГІІ- |
|
(4.7) |
|
|
|
|
Если оператор кососимметрический, |
имеем |
|
|
Ц ф М || = ( | ф і | | = . |
8\\- |
|
(4.8) |
|
|
|
Таким образом, абсолютная устойчивость этой схемы доказана. Для того, чтобы определить порядок аппроксимации, разложим
по степеням малого параметра т ^выражение ^полагая у ||Л а||< 1)
г ' = п ( £ + т л 0 " ‘ ( £ ~ і л “) -
Поскольку
Т>= П Ц ,
а = 1
то сначала разложим в ряд оператор Tfa. Тогда получим
Т!а = Е - хМа + ^ ( Л ' аГ . . . . |
(4.9) |
3(1
В результате будем иметь
Р = Е — xA' -f |
(Л02+ 2 2 (ЛИ ■Л|Л4)] + 0 (т 3). (4.10) |
|
a= iß=a+l |
В случае когда операторы Л« коммутативны, выражение, стоящее под знаком двойной суммы, обращается в нуль, и мы имеем
Т> = Е-хА.1 + ~{ А !)^ + 0{ т3). |
(4.11) |
Сравнивая (4.11) с аналогичным разложением для |
схемы |
Кранка — Николсона, убеждаемся, что в этом частном случае схема (4.3) имеет второй порядок аппроксимации по т. Если операторы Л'а некоммутативны, то схема расщепления оказывается только первого порядка точности по т. Для того чтобы построить схему второго порядка точности по т в некоммутативном случае, необходимо схему (4.3) видоизменить, заменив следующей:
п |
1 |
|
ф/ = п |
ф /ю = П Тафі’ . |
(4.12) |
сс= і |
а = п |
|
.Алгоритмически это означает, что сначала решается система урав
нений |
(4.3) на интервале |
для |
а |
= 1, |
2, . . ., п, |
а затем |
аналогичная система |
на интервале |
t- |
«g: t ^ |
£.+ 1, но |
в обратной последовательности а — п, п — 1 , . . . |
, 1 |
: |
|
||
(а — п, п — 1, . . ., 1). |
(4.13) |
Очевидно, что для полного цикла (4.13) имеем |
|
ф/+і = уѴф/'-і, |
|
где |
|
ті = П |
п |
= Е - 2тЛ/+ Щ г (д/)2+0 (т3)- |
|||
а=і а=п |
|
|
|
|
|
Таким образом, |
на |
интервале |
t^_x ^ |
+ 1 |
схема (4.13) |
имеет второй порядок точности по т, |
если в качестве |
взят один |
|||
из аналогов, приведенных в (1.22)—(1.24). Это следует из сопоста вления с (3.13) для удвоенного интервала времени.
В заключение заметим, что разностная система (4.13) оказы вается абсолютно устойчивой для Л« ^ 0. Следовательно, мы при шли к оптимальному в известном смысле алгоритму многокомпонент ного расщепления.
31
Для неоднородного уравнения
|
|
Ф = £ |
при г= о , |
(4.14) |
|
|
п |
|
|
где |
А (t) Зг 0 |
и А = 2 А а, А а (t) ^ 0 на интервале |
£•_! |
|
sg |
t- +i, имеет |
а =і |
|
|
место следующая схема расщепления: |
|
|||
|
|
(Е г \ А /) ф/_ ^ |
= ( е - \ Л /) ф/-і, |
|
А{.) (ф/- |
т/0 = ( £ - | A / ) < p ' ' \ |
|
|
( Я- г I Л / ) Ч>'+^ |
= |
( Я- 1 л /) (ф/ - т/0, |
|
( Д -f \ А|) ф |
= |
Л{) ф'+ * * , |
(4.15) |
где |
|
|
|
л ^ = |
Л *(*/)- |
|
|
Нетрудно убедиться, что эта схема имеет второй порядок аппрокси мации по т и абсолютно устойчива в предположении необходимой гладкости ф.
Так же как и в случае а = 2, «-компонентную систему уравне
ний (4.15) можно записать в эквивалентной форме |
|
||||||
/ |
\ |
! |
('1+1) ~а |
= |
/ |
ч I |
(П+І) - а4-і |
( я -ь -і л ^ |
ф ' |
<"+1> |
( я — ь л £ ) ф ,_ |
о- 1) |
|||
|
|
|
( а = 1, |
2, |
, |
. «), |
|
|
|
ф |
. 1- 1 |
|
• |
1 |
|
|
|
п+1 = |
ф'~ |
«TI + 2тД, |
|
||
( я - ^ |
| л и . , ) ф ' ‘ w“” |
|
|
|
|
||
|
|
|
(а = 2, 3, . . |
« ; 1). |
'Ч . 16) |
||
Рассмотрим теперь метод расщепления для неявных разно« тных' аппроксимаций. С этой целью рассмотрим задачу
Ж ЛА Ф = '0 ’
Ф = £ при t —0. |
(4.17) |
32
Предположим, что А = 2 -4«, все |
А а ^ |
0 и А а не зависят от |
|
а=-1 |
|
|
|
времени. Тогда рассмотрим алгоритм расщепления в виде |
|
||
/ + 1 |
|
|
|
Ф |
|
|
|
/+ Л-1 |
|
|
|
q/+i—ф |
/+1 = |
0. |
(4.18) |
+ |
|||
Покажем, что такой алгоритм является абсолютно устойчивым.
В самом деле, рассмотрим уравнение |
- ---- |
Это уравнение
( у - \Ф "
лучим 1
или
Но так как
. |
а . |
а-і |
|
|
|
|
|
ф |
п _ ф |
п |
|
/+ “ |
Л |
(4.19) |
|
--------- г -------- + 4*ф |
п =°- |
||||||
умножим скалярно на <р/ 4" . |
Тогда получим |
||||||
у ^ I |
у . “ \ |
/ |
y ü |
y * . \ n |
|||
— ф |
" |
, ф |
" J + т \ 4 аср |
" , |
ф " j = 0. |
||
( 4 |
У |
, |
|
|
|
||
* - •ф |
" |
|
|
|
|||
(44 4 сö| |
V/ |
|
|
|
|
||
( 4 4 4 ^ ) « = i [ ( 4 4 4 * ) + ( 4 ^ . 4 ^ ) ] ,
то
■ а |
||2 |
/ + ■ |
|
1+— |
ІФ |
п. |
|
Ф |
, а = 1, 2, . . ., |
||
С помощью этого рекуррентного неравенства будем иметь |
|||
|
ІІФ ^ Ч І ^ ІІФ М І- |
(4.20) |
|
А это значит, что при сделанных предположениях счет по схеме расщепления (4.18) будет абсолютно устойчивым.
Нетрудно убедиться, что система (4.18) аппроксимирует исход ную задачу с первым порядком точности по т.
1 И з |
методических соображ ений рассм атриваю тся однородные краевы е |
|
условия, |
1+- |
^ Ф (Да). |
тогда ф |
||
3 Заказ 674 |
33- |
|