Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 91

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пусть в (3.1)—(3.3) А х (t) ^ 0 и

А 2 (t)

5» 0. Рассмотрим аппро­

ксимации этих матриц на интервале

tj ^ t

^ tj +1 в форме

Аа ~ Аа (tj+1/2)

в предположении, что элементы этих матриц имеют достаточную гладкость. Сформулируем разностную систему уравнений, пред­ ложенную Н. Н. Яненко, состоящую из последовательного решения простейших схем Иранка — Николсона 1

ф / г Ѵ з ^ ф /

1 д . ф / + Ѵ « _ | _ ф / _ п

 

т

2

— ’

 

ф / ^ 1 — ф І + 1/ г

+

cp/-+I /'*

(3.4)

г

~2

0.

 

 

Система разностных уравнений (3.4) при исключении вспомога­ тельной функции ср'*'/г может быть приведена к одному уравнению

ф/+і = Tj(pf,

(3.5)

где

 

т /.= (е + { л і У 1( е ~ і . а і ) ( е + { а {У 1( е - ^ а і ) .

(3.6)

Изучим сначала проблему аппроксимации. Для этой цели раз­

ложим оператор Т{- по степеням т, предполагая,

что і

|Л ^ ||< 1.

В результате несложных преобразований получим

 

 

Т, = Е - тЛ/ + 4((А()» + 2Л/Л( + (Л/)*)- . . ..

(3.7)

Если операторы А‘а коммутируют, т. е. AXA2 =

A 2AX,

разложе­

ние (3.7) можно записать в виде

 

 

Т , = Е - тЛ/ + -у- (ЛО2

 

(3.8)

Таким образом, если A 1 (t) ^ 0, А 2 (t) ^ 0, то при достаточной гладкости элементов этих матриц и решения <р задачи (3.1)—(3.3) разностная схема (3.4) абсолютно устойчива (это сразу следует из справедливого, согласно лемме Келлога, неравенства || || < 1) и аппроксимирует исходное уравнение (3.1) со вторым порядком по т в случае, если Л{ и А[ коммутативны, и с первым порядком, если они

не коммутативны.

 

А х (t)

и A 2 (t)

будем аппроксимировать не

Теперь

операторы

на интервале

t

tj +1,

как это

было в (3.4), а на интервале

tj _ 1

t

tl +1,

положив

 

 

 

 

 

 

К = АЛЬ)-

1

Теоретическое

обоснование

и модификации схемы были даны автором

в докладе на симпозиуме по численным методам реш ения уравнений с частными производными, состоявш емся в США в 1970 г. (SY N SPA D E -197Q ).,

2Г>


Рассмотрим следующие две системы разностных уравнений:

1)1“'I* ПІ-1

 

м

. ф '-ѵ.+фм

 

 

 

 

=0,

ф'-ф'~‘/г .

Л/ Ф; + ф'"1/!

(3.9)

^

 

 

 

о

и затем

f

Aiy

+,/. + q)/

 

ф/т1/2_ ф/

_ n

т

■*”

 

®

2

 

фЛ-і_фЫѴ»

 

 

ф/+і + ф/+‘/ 2

т

 

і

 

(З.Ю)

 

 

 

Цикл вычислений состоит именно в поочередном применении разностных схем (3.9), (3.10). Аналогично предыдущему можно показать, что на полном цикле вычислений с помощью (3.9) и (3.10) имеем

ф/ті = f /ф/'-і,

(3.11)

где

X ( е - \ Л/) (Я + А Л() 1 ( £ - 1 Л/ ) = £ - 2 т Л/ +

(Л/)*

(3.12)

Если оператор шага Tj сравнить с оператором шага следующей схемы Кранка — Николсона:

ф!и —ф^

-Л/ Ф,+1-)-ф1 = 0,

(3.13)

 

 

то мы устанавливаем, что с точностью до величины т2 оператор шага Ті для двуциклической схемы расщепления совпадает с опера­ тором шага для схемы Кранка — Николсона, примененной к удвоен­ ному интервалу по времени, независимо от того, являются операторы А а коммутативными или нет. Таким образом, этот прием снижает существенное ограничение о коммутативности операторов.

Переходим к обсуждению вопроса о счетной устойчивости метода. С этой целью рассмотрим соотношение (3.5) и оценим его в энерге­ тической норме

ііф^ і і ^

іі^ ііііфЧІ-

 

Поскольку, как было показано

выше, || Tj ||

1 при А а ^ 0, то

мы приходим к оценке

 

 

ІІФ/+1ІІ^ІІф'ІІ-

(3.14)

Отсюда непосредственно следует

 

 

ІІФ 'ІН іиіІ-

(3.15)

Если рассматривается двухциклический метод, то на каждом шаге цикла имеют место оценки вида (3.14). Это значит, что и двуцикли-

26


веский метод абсолютно устойчив. Отметим, что аналогичный прием симметризации был независимо предложен Стренгом при рассмо­ трении метода переменных направлений.

Следовательно, если матрицы А х (і) ^ 0 и А 2 (t) ^ 0, то при достаточной гладкости решения ф задачи (3.1)—(3.3) и элементов матриц А г (t) и А 2 (t) системы разностных уравнений (3.9) и (3.10) абсолютно устойчивы, и схема (3.11) аппроксимирует исходное уравнение (3.1) со вторым порядком точности по т.

Переходим теперь к рассмотрению неоднородной задачи и на­ хождению ее решения с помощью двуциклического полного рас­ щепления. С этой целью рассмотрим систему разностных уравнений

вида (3.9) и (3.10), записанных в более удобной форме:

 

(е - 1 Л /) ф/-Ѵ, = ( я - А Л{) фМ,

 

(е + | А ') (ср'-т/О = { Е - Е

Л/) ф/-*/.,

 

( а А А ') ф/+'/2 =

і + тр),

 

(е + А Л{) ф/ч-і = ( е — А л{) ф/+Ѵ%

(3.16)

где р = / (і;). Разрешая эти уравнения

относительно

ф/+1, по­

лучим

 

 

ср/и = Г/'ф/-і + 2тТ[Т>2р\

(3.17)

где

 

 

Т>= TiJiJiJi

 

(3.18)

и

 

 

П = ( £ + | Л і Г ( £ - І Л і ) .

(3.19)

С помощью разложения по степеням малого параметра т выраже­

ние (3.17) приведем к виду

 

 

 

 

г/-Ы = Е - 2тЛ/ +

(А/)2] фМ + 2т (Е - тЛО р +

О (т3).

(3.20)

Выражение (3.20) преобразуем к виду

 

 

 

 

< р А і_ ф /-і

Л/ (Я - тЛО фМ = (Я-

тЛ/) р +

О (т2).

(3.21)

2т]

 

 

 

 

 

 

Из соотношения (3.21)

исключим ф^-1.

С этой целью восполь­

зуемся разложением решения в ряд Тейлора

в

окрестности

точки tj _!. С точностью до т2 будем иметь

 

 

 

 

 

ф/ = фМ + (-ЦрУ 1т + О (т2).

 

 

(3.22)

27


Производную исключим с помощью уравнения

 

( 1 г ) М ==- Л/сРм + /' + 0(*)-

(3.23)

Подставим (3.23) в (3.22). Тогда будем иметь

 

Ф' = (/? — тЛ/) фі-1 тfi “f О (т2).

 

Отсюда

 

— тЛ'/ф/-1 = Ф; — х р О (т2).

(3.24)

Соотношение (3.24) подставим в (3.21), в результате будем иметь

ф/ю _ _ ф/ - і

Л/ф/ = //-( -О (т2).

(3.25)

 

 

Очевидно, что уравнение (3.25) аппроксимирует исходное уравне­ ние (3.1) на интервале tj- i sg t sg tj +1 со вторым порядком по т. Таким образом, нами найдена разностная аппроксимация неодно­ родного эволюционного уравнения второго порядка с помощью двуциклического метода.

Устойчивость метода доказывается в энергетической норме эле­ ментарно. В самом деле, оценим (3.17) по норме

IIФ/+1II ^

II Ti II1 1 И+ 2т I) Т, IIII ТаИОV ||.

(3.26)

Выше было установлено, что || Та ||

1,

следовательно,

 

II^ ll

^11Уі IIII У. IIII У* II 11^

11^ 1-

 

Поэтому имеем

||ф/+1ІИІІФ/-1|І + 2т||//||.

(3.27)

 

С помощью рекуррентного соотношения (3.27) получим

 

где

ІІФ 'ІІ^ІИ І +

тЛІ/ІІ,

(3.28)

 

 

 

 

II / 1| = ш а х I I//| .

Из соотношения (3.28) следует счетная устойчивость схемы на любом конечном временном интервале.

Систему уравнений (3.16) можно записать также в следующей эквивалентной форме:

( £ + | А{) Ф/-Ѵ. = [е - \ А[) Ф'-і,

( е + і

А') Ф/-*/■== (e -

j M ) ф/-*/•,

 

 

ф/t-1/. = ф/-1/я |_ 2t//,

 

(e + j

А/) ф'+*/■ = ( я -

А/) ф/**/.,

 

( e + 1

A{) я»'*1

A{) ф/**/..

(3.29)

2S


С помощью исключения неизвестных величин с дробными инде­ ксами приходим к разрешенному уравнению вида

Ф,+1 = + 2xTJ.fl, (3.30)

которое совпадает с (3.17). В некоторых случаях запись уравнений

в форме (3.29)

более предпочтительная, чем в форме (3.16).

 

Итак, если матрицы А г (t) ^

0,

А 2 (t) ^

0, то при достаточной

гладкости решения ср, функции

/

(t)

и элементов матриц A x (t),

А 2

(t) система

разностных

уравнений

(3.16)

абсолютно

устойчива

на

интервале

0 t ^ Т

и аппроксимирует исходное

уравнение

со вторым порядком по т.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4.

МНОГОКОМПОНЕНТНОЕ

 

 

 

 

 

 

 

РАСЩЕПЛЕНИЕ ЗАДАЧ

До сих пор предполагалось, что исходный оператор А предста­ влен в виде суммы двух операторов более простой структуры. При решении сложных задач математической физики зачастую прихо­ дится иметь дело с расщеплением операторов на большее число компонентов. В общем случае мы имеем

П

 

а = 2 А*,

(4.1)

а -1

 

причем А а ^ 0. Поскольку случай п = 2 подробно

рассмотрен

в предыдущем параграфе, то здесь остановимся только

на случае

п > 2.

 

Прежде всего можно убедиться, что тривиальное распространение методов расщепления, рассмотренных выше для случая п = 2, оказывается в общем виде вообще невозможным. Поэтому мы поста­ вим перед собой цель распространить алгоритмы покомпонентного расщепления на этот случай в тех предположениях, которые допу­ скают такое распространение.

Попытаемся построить разностный аналог задачи второго по­ рядка аппроксимации по т и абсолютно устойчивый во времени. В соответствии с предположением о многокомпонентном расщеплении будем полагать, что

А' = 2 Л ' ,

(4.2)

а = 1

 

где все А'а — положительные полуопределенные операторы, так что

Аа 0.

Рассмотрим систему следующих уравнений:

 

 

(tf + f

Л £ )ф /+-^ =

( Я - | Л / ) ф '* ^

(а = 1, 2, . . ., п).

(4.3)

В случае когда Л£ ^

0,

коммутативны и

л£ = А/+І/.

или

A fa =

= ~ ( А І+1 + А !), схема

(4.3) 'является

безусловно

устойчивой

и имеет второй порядок аппроксимации. Это установить довольно просто с помощью метода Фурье-!'' Однако для некоммутативных

29