Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
Пусть в (3.1)—(3.3) А х (t) ^ 0 и |
А 2 (t) |
5» 0. Рассмотрим аппро |
ксимации этих матриц на интервале |
tj ^ t |
^ tj +1 в форме |
Аа ~ Аа (tj+1/2)
в предположении, что элементы этих матриц имеют достаточную гладкость. Сформулируем разностную систему уравнений, пред ложенную Н. Н. Яненко, состоящую из последовательного решения простейших схем Иранка — Николсона 1
ф / г Ѵ з ^ ф / |
1 д . ф / + Ѵ « _ | _ ф / _ п |
|
|
т |
2 |
— ’ |
|
ф / ^ 1 — ф І + 1/ г |
+ |
cp/-+I /'* |
(3.4) |
г |
~2 |
0. |
|
|
|
Система разностных уравнений (3.4) при исключении вспомога тельной функции ср'*'/г может быть приведена к одному уравнению
ф/+і = Tj(pf, |
(3.5) |
где |
|
т /.= (е + { л і У 1( е ~ і . а і ) ( е + { а {У 1( е - ^ а і ) . |
(3.6) |
Изучим сначала проблему аппроксимации. Для этой цели раз
ложим оператор Т{- по степеням т, предполагая, |
что і |
|Л ^ ||< 1. |
В результате несложных преобразований получим |
|
|
Т, = Е - тЛ/ + 4((А()» + 2Л/Л( + (Л/)*)- . . .. |
(3.7) |
|
Если операторы А‘а коммутируют, т. е. AXA2 = |
A 2AX, |
разложе |
ние (3.7) можно записать в виде |
|
|
Т , = Е - тЛ/ + -у- (ЛО2 |
|
(3.8) |
Таким образом, если A 1 (t) ^ 0, А 2 (t) ^ 0, то при достаточной гладкости элементов этих матриц и решения <р задачи (3.1)—(3.3) разностная схема (3.4) абсолютно устойчива (это сразу следует из справедливого, согласно лемме Келлога, неравенства || || < 1) и аппроксимирует исходное уравнение (3.1) со вторым порядком по т в случае, если Л{ и А[ коммутативны, и с первым порядком, если они
не коммутативны. |
|
А х (t) |
и A 2 (t) |
будем аппроксимировать не |
||
Теперь |
операторы |
|||||
на интервале |
t |
tj +1, |
как это |
было в (3.4), а на интервале |
||
tj _ 1 |
t |
tl +1, |
положив |
|
|
|
|
|
|
|
К = АЛЬ)- |
||
1 |
Теоретическое |
обоснование |
и модификации схемы были даны автором |
в докладе на симпозиуме по численным методам реш ения уравнений с частными производными, состоявш емся в США в 1970 г. (SY N SPA D E -197Q ).,
2Г>
Рассмотрим следующие две системы разностных уравнений:
1)1“'I* ПІ-1 |
|
м |
. ф '-ѵ.+фм |
||
|
|
|
|
=0, |
|
ф'-ф'~‘/г . |
Л/ Ф; + ф'"1/! |
(3.9) |
|||
^ |
|
|
|
о |
|
и затем |
f |
Aiy |
+,/. + q)/ |
|
|
ф/т1/2_ ф/ |
_ n |
||||
т |
■*” |
|
® |
2 |
|
фЛ-і_фЫѴ» |
|
|
ф/+і + ф/+‘/ 2 |
||
т |
"т |
|
і |
|
(З.Ю) |
|
|
|
Цикл вычислений состоит именно в поочередном применении разностных схем (3.9), (3.10). Аналогично предыдущему можно показать, что на полном цикле вычислений с помощью (3.9) и (3.10) имеем
ф/ті = f /ф/'-і, |
(3.11) |
где
X ( е - \ Л/) (Я + А Л() 1 ( £ - 1 Л/ ) = £ - 2 т Л/ + |
(Л/)* |
(3.12)
Если оператор шага Tj сравнить с оператором шага следующей схемы Кранка — Николсона:
ф!и —ф^ |
-Л/ Ф,+1-)-ф1 = 0, |
(3.13) |
2т |
|
|
то мы устанавливаем, что с точностью до величины т2 оператор шага Ті для двуциклической схемы расщепления совпадает с опера тором шага для схемы Кранка — Николсона, примененной к удвоен ному интервалу по времени, независимо от того, являются операторы А а коммутативными или нет. Таким образом, этот прием снижает существенное ограничение о коммутативности операторов.
Переходим к обсуждению вопроса о счетной устойчивости метода. С этой целью рассмотрим соотношение (3.5) и оценим его в энерге тической норме
ііф^ і і ^ |
іі^ ііііфЧІ- |
|
Поскольку, как было показано |
выше, || Tj || |
1 при А а ^ 0, то |
мы приходим к оценке |
|
|
ІІФ/+1ІІ^ІІф'ІІ- |
(3.14) |
|
Отсюда непосредственно следует |
|
|
ІІФ 'ІН іиіІ- |
(3.15) |
Если рассматривается двухциклический метод, то на каждом шаге цикла имеют место оценки вида (3.14). Это значит, что и двуцикли-
26
веский метод абсолютно устойчив. Отметим, что аналогичный прием симметризации был независимо предложен Стренгом при рассмо трении метода переменных направлений.
Следовательно, если матрицы А х (і) ^ 0 и А 2 (t) ^ 0, то при достаточной гладкости решения ф задачи (3.1)—(3.3) и элементов матриц А г (t) и А 2 (t) системы разностных уравнений (3.9) и (3.10) абсолютно устойчивы, и схема (3.11) аппроксимирует исходное уравнение (3.1) со вторым порядком точности по т.
Переходим теперь к рассмотрению неоднородной задачи и на хождению ее решения с помощью двуциклического полного рас щепления. С этой целью рассмотрим систему разностных уравнений
вида (3.9) и (3.10), записанных в более удобной форме: |
|
|
(е - 1 Л /) ф/-Ѵ, = ( я - А Л{) фМ, |
|
|
(е + | А ') (ср'-т/О = { Е - Е |
Л/) ф/-*/., |
|
( а А А ') ф/+'/2 = |
(фі + тр), |
|
(е + А Л{) ф/ч-і = ( е — А л{) ф/+Ѵ% |
(3.16) |
|
где р = / (і;). Разрешая эти уравнения |
относительно |
ф/+1, по |
лучим |
|
|
ср/и = Г/'ф/-і + 2тТ[Т>2р\ |
(3.17) |
|
где |
|
|
Т>= TiJiJiJi |
|
(3.18) |
и |
|
|
П = ( £ + | Л і Г ( £ - І Л і ) . |
(3.19) |
С помощью разложения по степеням малого параметра т выраже
ние (3.17) приведем к виду |
|
|
|
|
|||
г/-Ы = Е - 2тЛ/ + |
(А/)2] фМ + 2т (Е - тЛО р + |
О (т3). |
(3.20) |
||||
Выражение (3.20) преобразуем к виду |
|
|
|
|
|||
< р А і_ ф /-і |
Л/ (Я - тЛО фМ = (Я- |
тЛ/) р + |
О (т2). |
(3.21) |
|||
2т] |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||
Из соотношения (3.21) |
исключим ф^-1. |
С этой целью восполь |
|||||
зуемся разложением решения в ряд Тейлора |
в |
окрестности |
|||||
точки tj _!. С точностью до т2 будем иметь |
|
|
|
|
|||
|
ф/ = фМ + (-ЦрУ 1т + О (т2). |
|
|
(3.22) |
27
Производную исключим с помощью уравнения |
|
( 1 г ) М ==- Л/сРм + /' + 0(*)- |
(3.23) |
Подставим (3.23) в (3.22). Тогда будем иметь |
|
Ф' = (/? — тЛ/) фі-1 тfi “f О (т2). |
|
Отсюда |
|
(Е — тЛ'/ф/-1 = Ф; — х р О (т2). |
(3.24) |
Соотношение (3.24) подставим в (3.21), в результате будем иметь
ф/ю _ _ ф/ - і |
Л/ф/ = //-( -О (т2). |
(3.25) |
|
2т |
|||
|
|
Очевидно, что уравнение (3.25) аппроксимирует исходное уравне ние (3.1) на интервале tj- i sg t sg tj +1 со вторым порядком по т. Таким образом, нами найдена разностная аппроксимация неодно родного эволюционного уравнения второго порядка с помощью двуциклического метода.
Устойчивость метода доказывается в энергетической норме эле ментарно. В самом деле, оценим (3.17) по норме
IIФ/+1II ^ |
II Ti II1 1 И+ 2т I) Т, IIII ТаИОV ||. |
(3.26) |
||
Выше было установлено, что || Та || |
1, |
следовательно, |
|
|
II^ ll |
^11Уі IIII У. IIII У* II 11^ |
11^ 1- |
|
|
Поэтому имеем |
||ф/+1ІИІІФ/-1|І + 2т||//||. |
(3.27) |
||
|
||||
С помощью рекуррентного соотношения (3.27) получим |
|
|||
где |
ІІФ 'ІІ^ІИ І + |
тЛІ/ІІ, |
(3.28) |
|
|
|
|
|
II / 1| = ш а х I I//| .
Из соотношения (3.28) следует счетная устойчивость схемы на любом конечном временном интервале.
Систему уравнений (3.16) можно записать также в следующей эквивалентной форме:
( £ + | А{) Ф/-Ѵ. = [е - \ А[) Ф'-і,
( е + і |
А') Ф/-*/■== (e - |
j M ) ф/-*/•, |
|
|
ф/t-1/. = ф/-1/я |_ 2t//, |
|
|
(e + j |
А/) ф'+*/■ = ( я - |
А/) ф/**/., |
|
( e + 1 |
A{) я»'*1 |
A{) ф/**/.. |
(3.29) |
2S
С помощью исключения неизвестных величин с дробными инде ксами приходим к разрешенному уравнению вида
Ф,+1 = + 2xTJ.fl, (3.30)
которое совпадает с (3.17). В некоторых случаях запись уравнений
в форме (3.29) |
более предпочтительная, чем в форме (3.16). |
|||||||
|
Итак, если матрицы А г (t) ^ |
0, |
А 2 (t) ^ |
0, то при достаточной |
||||
гладкости решения ср, функции |
/ |
(t) |
и элементов матриц A x (t), |
|||||
А 2 |
(t) система |
разностных |
уравнений |
(3.16) |
абсолютно |
устойчива |
||
на |
интервале |
0 t ^ Т |
и аппроксимирует исходное |
уравнение |
||||
со вторым порядком по т. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2.4. |
МНОГОКОМПОНЕНТНОЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
РАСЩЕПЛЕНИЕ ЗАДАЧ |
До сих пор предполагалось, что исходный оператор А предста влен в виде суммы двух операторов более простой структуры. При решении сложных задач математической физики зачастую прихо дится иметь дело с расщеплением операторов на большее число компонентов. В общем случае мы имеем
П |
|
а = 2 А*, |
(4.1) |
а -1 |
|
причем А а ^ 0. Поскольку случай п = 2 подробно |
рассмотрен |
в предыдущем параграфе, то здесь остановимся только |
на случае |
п > 2. |
|
Прежде всего можно убедиться, что тривиальное распространение методов расщепления, рассмотренных выше для случая п = 2, оказывается в общем виде вообще невозможным. Поэтому мы поста вим перед собой цель распространить алгоритмы покомпонентного расщепления на этот случай в тех предположениях, которые допу скают такое распространение.
Попытаемся построить разностный аналог задачи второго по рядка аппроксимации по т и абсолютно устойчивый во времени. В соответствии с предположением о многокомпонентном расщеплении будем полагать, что
А' = 2 Л ' , |
(4.2) |
а = 1 |
|
где все А'а — положительные полуопределенные операторы, так что
Аа 0. |
Рассмотрим систему следующих уравнений: |
|
|
|||
(tf + f |
Л £ )ф /+-^ = |
( Я - | Л / ) ф '* ^ |
(а = 1, 2, . . ., п). |
(4.3) |
||
В случае когда Л£ ^ |
0, |
коммутативны и |
л£ = А/+І/. |
или |
A fa = |
|
= ~ ( А І+1 + А !), схема |
(4.3) 'является |
безусловно |
устойчивой |
и имеет второй порядок аппроксимации. Это установить довольно просто с помощью метода Фурье-!'' Однако для некоммутативных
29