Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 122

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Разрешим теперь уравнение

(2.10) относительно J k+ѵ2. Тогда

получим

 

 

т

Tk+1- T k

( 2. 11)

J h+'4~

 

dz

V

С учетом (2.11) разностные граничные условия задачи можно запи­ сать в форме

Лі+і — 0, j - т - 1/г = 0.

(2.12)

Подставляя соотношение для потоков (2.11) в (2.6), приходим к раз­ ностным уравнениям

 

dTk

vfc+V2

 

vh-4,

■ { T k - T k ^ ) -

CpPk

dt

Azfc+Vs {Tk+\ — Tk)-

Az'h-Чг

 

где

 

Mä^ zk

k (к =h 0),

(2.13)

 

 

Azft+V2

 

 

 

 

Vä+»/2 =

 

(2.14)

J

zk

dz

V

Рассмотрим теперь вывод соответствующего разностного уравне­ ния для А: = 0. С этой целью снова воспользуемся интегральным со­ отношением (2.5). Имеем

21/2

-

dr

— J t / 2 •j - ' j 2

21Л _

*V,

F8(z)dz.

(2-15)

1

C p P

~ d j ~ d z

J fj.AT dz-\- I

z-lU

 

 

 

z - l h

Z - L h

 

 

Учитывая,

что

функция T

непрерывна

при

переходе

z = 0

и дважды дифференцируема по х и у, можно приближенно положить

г'и

-

dT

,

---- д

dT0

 

Г

,

j срР

dt

dz — СрР0 Az0

 

Z-'U

 

 

 

 

 

 

z4,

_

 

. '

 

 

 

j

ц АГ dz =

fi0 Az0 АГ0,

 

z-v*

 

 

 

 

 

 

 

Z'U

 

 

 

 

 

 

F8(z)dz = F,

 

(2.16)

216

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J/ 2 P^z,

 

 

СрРо : Azn

I

cpp d z ,

 

 

Ро:

Azn

 

 

 

 

 

Z _ l /2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V*

 

 

dr0

 

,

öTn ,

 

<?Г0

 

 

Л

 

 

 

^ Г

= -0 Г + мо ^ - + ^ о - ^ .

AZ0 = Z,

 

 

Ы,

 

 

/.

_

 

 

 

 

 

 

 

 

 

гіи

 

 

 

[ c p u d z ,

v 0 = ^ = r-

 

I C p p v d z .

 

о = = ^

 

 

 

c"°"cp:’o

J

 

 

 

 

 

 

CpPo

 

J

 

 

 

 

'/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*-■/

 

С учетом выражений (2.16) соотношение (2.15) примет вид

SP> 0

=

 

 

Т0) -

Az_,/2

(Г0-

T_J + PoAz0 A70 + F.{2A1)

Объединяя уравнения (2.13)—(2.17), приходим к окончательной

формулировке разностного аналога задачи:

 

 

 

СрРлД2„

dt

 

ѵп-Ѵ

(Тп-

 

Г«^) + р„ Az„АГ„

(* = »),

пш п'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СрѴкAzÄ

d T k

*k+4.

(Г*+1- П ) -

 

 

Vfe-‘/2

■(T7* — Tk_^j

p* Az* АГ*

dt

Azft+‘/2

 

 

Azb_i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fc-1/.

 

 

 

 

 

 

 

(kк-= n — 1, n — 2,

 

. . .,

 

1),

 

^pPo Az0

dTo

— Ѵі/г (7

 

Az

 

,,

■(T0

 

 

Т_г) 4- p0 Az0 АT0 ~r F,

dt

A*Vl

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•^pPfe Az*

d T k

v/t+‘/ 2

(Тк+г-Ть)-

 

vfe-V2 ( T b - T b . J

+ pbAzbATb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

Azk+‘/ 2

 

Azfe-V,

 

 

 

 

 

 

(fck = — 1,

—2,

. . .,

 

— m - f l ) ,

 

-m Az.

-m

 

 

 

(Г .

m+i

■F-m) + P-m Az_m АГ_

 

 

 

 

 

'm dt

 

 

-m+V»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(/с = —m).

 

 

 

 

 

(2.18)

Система уравнений (2.18) обладает рядом важных качеств. Вопервых, она балансна. Чтобы в этом убедиться, достаточно про­ суммировать все уравнения (2.18) по к и проинтегрировать по (х, у). В результате приходим к соотношению полного баланса

y^ A z k \j \ c ppk ^ r dxdy = ^ F d x d y .

(2.19)

217

Слева в формуле (2.19) стоит выражение, являющееся производной по времени от общего запаса тепла Q, т. е. поскольку

Q {і) =2 Аzk JI cppkT dxdy,

то (2.19) перепишется в виде

t t W J f

Итак, полное повышение тепла в системе атмосфера — океан — континент зависит от полного потока радиации F,

7.3. РАЗНОСТНЫ Й А НАЛОГ У РА ВН ЕН И Й Д И Ф Ф У ЗИ И КО ЛИ ЧЕСТВА Д В И Ж ЕН И Я

Здесь будем рассматривать метод построения разностных аналогов ■следующих уравнений:

-

du

д__ ѵ _ + ц Д ц ,

 

Р и г

dz

 

 

 

-

dv

д -

дѵ

+ p Ay,

(3.1)

Р I t

---- V -----

dz

dz

 

 

используя те же обозначения для коэффициентов турбулентного обмена, что и в случае уравнения притока тепла. Однако следует

помнить, что здесь ѵ = ѵр, а (і = pp.

Поскольку построение разностных схем для уравнений (3.1) идентично, то в дальнейшем рассмотрим одно уравнение вида

 

дф

 

â

v ^

 

+ pAcp.

(3.2)

 

dt

dz

 

 

 

 

 

К уравнению (3.2) присоединим граничные условия

 

ѵ '^Г = О

 

ПРИ

 

2 = Нт*

 

V

= 0

 

 

при

 

z = —h T.

(3.3)

Что касается поверхности z = 0, то

здесь

возможны два

случая:

либо

 

 

 

 

 

 

 

 

ф

Ф|

 

 

- дер

I

-

9ф I

(3.4)

г+0

|г-0 ’

 

 

dz

\z ьо

dz Jz-o

 

 

 

на поверхности океана,

либо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ср ?= О

 

 

 

(3.5)

на поверхности континентов и на ледовом покрове.

218

Важно отметить, что свойства решений рассматриваемой задачи существенно отличаются от свойств задачи диффузии тепла. В самом деле, решение нашей задачи непрерывно во всех точках области определения — hT ^ z Нт(в случае взаимодействия с океаном) у за исключением уровня z = 0, где функция ф может допускать

разрыв первого рода. Что касается потока то он непрерывен

всюду, включая z = 0. Если атмосфера снизу граничит с конти­ нентом или арктическим льдом, то решение ф будет непрерывно-

вместе с потоком V в области 0 sg z Нт. Таковы исходные

требования к решению задачи, и мы их используем для построения разностных схем.

С этой целью уравнение (3.2) проинтегрируем по г в пределах zk- г ^ 2 Ч • Получим

Используя свойства непрерывности подынтегральных в (3.6) функций внутри интервалов интегрирования, с помощью простейших квадра­ турных формул приходим к соотношению

 

-

і^фь_J >

 

 

-

 

 

 

 

Azft-VfРа- 1/* —

j f 2L — Л — Л - і +

M-ä- ' / s A z h - 'u Афл-ѵ««

(3 -7)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(Pfe-'/;

д<?к-Чг

+

щ-ч,

д%-4* ,

 

d(? k - 4 ,

“Ъ-Ѵ,

 

dt

dt

дх

Ѵк-Чі

ду

 

dz

Рассмотрим теперь

выражение

для

потока

субстанции

ф

 

 

 

 

/ ( Z ) = v - g .

 

 

 

 

(3.8)

Поделим это выражение на v (z) и проинтегрируем результат в ин­ тервале Zk-1/, *£ z Zé+i/,. Тогда будем иметь

гк+'Іг

 

4>ы-ч,—Ч>к~4г= f

— dz.

(3.9)

J

V

 

гА- Ч г

Поскольку по предположению / (z) всюду непрерывная функция,, то приближенно можно положить

гАН’/«

г*+Ѵ.

f

± d z = Jk f

~ .

J

V

J

V

Z&-1/S

 

ZA-V2

 

219»

В результате приходим к формуле, связывающей поток J k и реше­ ние

 

 

Jk

i w / , —Фь-ѵ,

 

(3.10)

 

 

Г

dz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

V

 

 

 

 

 

Zk-'U

 

 

Подставляя (3.10) в (3.7), приходим к разностной схеме

 

—

Л

^ ---- =

Ѵь

Ф*-7 J —

 

Рй-7* А

д^- (ф*-И/2 —

 

 

 

 

 

Аг&

 

 

Vfc-l

(фй-1/ , — фй-3/ *) + Azä-*/ 2Рй-> /, д фй-*/ „

(3.11)

где

 

 

 

Az*

 

 

 

 

V*

 

(3.12)

 

 

г*+Ѵ2

 

 

 

 

Г

dz

 

 

 

 

 

J

V

 

 

 

 

 

Zk-'U

 

 

Учтем теперь

граничные

условия (3.3).

В разностной

форме

они имеют вид

 

J/i+i ~ 0,

J-m-i = 0.

 

(3.13)

 

 

 

Тогда для системы атмосфера — океан получим следующую систему разностных уравнений:

—

д

^ФП+Ч,

Д2П (фп і-'/г

фл-1/«) т Аг/г+Ѵ«Мя+Ѵ! A4Prt+‘/s

Р/»+у«Аг»+ч.

dt

 

 

 

^Фй+Ѵг

Vk+1

 

P*+Vs A z ft+’ /2

dt

AZfc+1 (фй4-’ /2 — фА+'/г) —

 

 

Az* (ф*Ь’ /2—' фй-1/8) +

A z ft+>/гИ-ЙЬ1/г Афйг1/*

 

 

(к = п — 1,

и —2, . . ., —гтг),

9-т-'!

Az-m-V2 *P-m-V2

Аг_и ' (ф-т+’/2— ф -т -1/ 2) + Az_m_ i/2ц Аф_т _і / 2

(3.14)

Система разностных уравнений (3.14) балансна. В самом деле, просуммируем все уравнения (3.14) по к и проинтегрируем по всем X, у , предполагая, что континент отсутствует. Тогда приходим к соотношению

2 Azft+1/ll J

0-

(3.15)

h

 

 

Если под ф подразумевать и и ѵ, то соотношение (3.15) есть закон сохранения количества движения в системе атмосфера — океан.

220

Смотрите также файлы