Рассмотрим далее случай, когда атмосфера граничит с континентом. В этом случае, как было отмечено выше, на поверхности континента
должно выполняться |
граничное условие фо = 0 и решение задачи |
имеет смысл только |
для положительных индексов: ф і , 2, ф з / г , . . ., |
Фn+'U-
Поскольку решение по условию всюду непрерывно и обращается в ноль при z = 0, то его можно продолжить по закону нечетности на половину последнего шага ниже поверхности континента, т. е.
|
= —Ф«/.- |
(З-16) |
Составим теперь соотношение для /о. |
С учетом (3.16) и (3.10) |
будем иметь |
|
|
|
г |
Ф‘/,-Ф -‘/, |
|
|
*Ч. |
|
|
f |
dz |
|
или |
|
т |
|
|
|
(3.17) |
Л |
а Ф‘/2» |
где |
1 |
|
|
а ■ |
|
(3.18) |
2‘/з |
|
Гdz
JV
Сучетом соотношения (3.17) приходим к следующей системе разностных уравнений для системы атмосфера — континент:
Рп!-’ /2 |
dcp,П4-Ѵ. — — 7Г7~(У")-1h —Ч>П-'!г) + |
/zPn+'/г hq>ni-'/2, |
|
dt |
Az« |
|
|
|
|
dtfk |
|
|
|
Pfti-'/. |
---J f 2- — |
(фЛ+*/* — фА+vJ' |
|
----(ф*+‘ /2— Фft-1/з) + Az^-1/зМ'й+'/2ДфйД /s • |
|
|
(к = п — 1, |
п —2, . . ., 1), |
|
_ |
C?(Pj / |
|
|
— |
Pl/*Azil , - j r |
= д^-(ф*/2-ФѴ 2)-а Ф'/2+ Аг./.іі./.Дф./,, (3.19) |
Если предположить, что вся поверхность Земли является континен
том, то приходим к |
уравнению |
баланса количества движения |
2 Azft-rv.j j |
P k + 4 , ~ Qk t U |
dxdy - ~ § §acp4 ,dxdy. |
(3.20) |
k |
|
|
|
Правая часть соотношения (3.20) учитывает потерю количества движения за счет трения.
Если теперь учесть, что часть поверхности Земли S покрыта открытым океаном, а часть С — континентом и льдами, то общее уравнение баланса количества движения будет иметь вид
|
|
*Pfc+V. |
d xdy-т |
А: |
|
dt |
|
|
|
|
- г 2 Azft4.Vl |
j |
- dxdy = — J |
I aq>,u dxdy — P. (3.21) |
A-0 |
С |
|
C |
Здесь P — малая по сравнению с первым членом правой части величина, связанная с трением океана о берег. Этот член возникает при интегрировании оператора горизонтальной вязкости при усло вии «прилипания».
7.4. РАЗНОСТНЫ Й А НАЛОГ У РА ВН ЕН И Й ДИНАМ ИЧЕСКОГО СОГЛАСОВАНИЯ П О Л ЕЙ В АТМ ОСФЕРЕ
Приступаем к построению разностных уравнений адаптации атмосферных процессов. С этой целью рассмотрим систему уравнений:
2 i . - l v + R T ^ - = О, |
dt |
|
|
|
дх |
’ |
£ |
+ |
+ |
|
- о . |
|
|
дф ___ § |
гр |
|
|
|
dz |
д у г |
’ |
|
du |
. dv , |
1 |
dpw |
__ , |
дх |
' |
д у ' |
р |
dz |
|
со следующими граничными условиями по координате z:
|
5
|
II о
|
при |
II о
|
|
о
|
при |
z == Н т, |
|
II
|
|
|
и начальными данными |
|
|
|
и —и0, ѵ ~ ѵ°, Т = Т° при t = 0.
При построении разностной схемы прежде всего необходимо позаботиться, чтобы сетки, введенные выше при рассмотрении нестационарных уравнений диффузии для Г, с одной стороны, и и, V — с другой, были бы одними и теми же для решения задачи
(4.1)—(4.3).
Рассмотрим следующую аппроксимацию по z системы уравне ний (4.1):
|
ди |
- l v h+i,2+ R |
T ^ ^ |
= 0, |
|
|
|
k+'h |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дѵ.к+ Чг |
|
|
|
|
Tr |
d(?k± |
|
|
|
|
|
dt |
■luk-і-i/, -f-RT |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4k+'!2~4h-4 |
_ |
8 |
rp |
|
|
|
|
|
Azfe |
|
|
дуг |
|
*’ |
|
|
|
|
, диЬ + Ч г |
, |
dvh+'/, \ I Pk+iWk+i— pkWk |
n |
|
|
Pft+v.l—Tx---- 1— |
dy |
H -------------------- = U> |
|
|
|
|
|
|
Az |
fe-f1/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ |
+ (Y a -V )^ = 0 |
|
|
|
|
|
|
(k = n — 1, . . |
0). |
|
|
|
|
(4.4) |
К системе |
уравнений (4.4) |
|
необходимо |
присоединить |
граничные |
условия |
|
щ0 = |
0, |
wn = 0. |
|
|
|
|
(4.5) |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, система разностных уравнений определена. |
Решение |
задачи (4.4), (4.5) |
будем |
искать |
методом |
Фурье по |
индексу к. |
С этой целью |
определим |
следующие |
разложения: |
(4.6)
где
|
Величина |
удовлетворяет системе алгебраических |
уравнений: |
|
|
, <р > |
, <р> |
|
|
|
Ф-‘/, = |
*•/.» |
|
|
j>+i Gift?»/, —-фй+’ u ) — pk ОДО«/ 2—'Ф* - * / ,) |
= —Ѵ д а /2 (А = 1 ,2 ,-----re —1), |
|
pk + 4 , ÄZA+V |
|
|
|
|
|
4>«+>/2= |
^«-Ѵг- |
(4.7) |
Исключая из (4.7) несуществующие величины |
|
и -фЙі/,, |
получим |
|
|
fib(?)— |
|
? .uCP) |
|
|
|
|
|
|
|
І 2 ~ УЧг ) __ |
|
|
|
|
|
|
|
— =— ---- :--------- Ѵ г1/.* |
|
|
|
|
|
|
Р«/.Д**/. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р*+1 (Ч’й+І/г |
^fe+'/J ~ |
Pfe (^fe+Va- |
^ -* /.) |
- |
^ |
+ |
‘/2. |
|
|
|
Pfc+V» Azfe+72 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn-1 К-Ѵз-'ФІ-З/, |
= - V I ^ - ‘/2- |
|
|
(4.8) |
|
|
Рп-'/г AZn-’/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь |
индекс & пробегает значения 1,2,3, |
. . . , |
и — 1. |
фэ^*, . . ., |
Введем в рассмотрение вектор ф(0) с компонентами ф(і/^, |
tfn-Чг |
и матрицу Л |
такую, |
что |
система |
уравнений |
(4.8) запи |
шется в виде |
Ля|)(р>= |
-.Ь |)(р>. |
|
|
|
|
(4.9) |
|
|
|
|
|
|
В явной форме матрица А имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
— «0 |
«0 |
|
|
0 |
|
. |
0 |
|
|
|
«1 - К + «і) |
|
“ і |
|
. |
0 |
|
|
|
0 |
а 2 |
|
— (а2 + а 2) . . |
0 |
|
|
где |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
• |
а п - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak - |
Pfe |
|
«fe |
Pfe+l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pfej-V« Azfe+V* |
|
|
Pfe+v» Azft+v |
|
|
Введем в рассмотрение скалярное произведение по формуле
(4.10)
тогда нетрудно установить в этой метрике симметричность опера тора А, поскольку имеет место тождество Лагранжа
(Ла, Ь) = (Ь, Ab).
Это значит, что задача (4.9) определяет набор ортогональных векторов, которые мы нормируем
(^<р>, ,ф<Р'>) = 1, Р* = Р
0, Р'ФР-
