Файл: Марчук, Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 118

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Тогда, подставляя разложение (4.6) в систему (4.4), приходим к за­

даче для коэффициентов

Фурье:

 

 

 

д и(Р*

- I v W + R T

дх

А

 

dt

 

‘

 

&)<Р>

+ Iu(p>+ RT

дф(р) _ o

 

dt

 

dy

u '

 

, öffi'P) . d u W

, âv<p>

Л

(4.11)

ГЯР Т - + — + —

= a

 

где

R Г2

const.

~ g{Va—y)

 

После того, как коэффициенты Фурье и(р>, ѵ(р) и фс'?)найдены, вос­

станавливаем величины Uh+ч,, Vk+Чг11 Фй+'/«• Далее с помощью уравне­ ний статики и притока тепла находим wk и Тк.

Переходим к рассмотрению более общего случая, когда в уравне­ ниях адаптации атмосферных процессов приближенно учитывается орография. С этой целью предположим, что для эволюции крупно­ масштабных процессов в рамках долгосрочного прогноза погоды наибольшее значение имеет вертикальный компонент вектора ско­ рости.

Тогда приходим к параметрическому описанию орографии в сле­ дующем виде. Пусть

*= £(*. У)

—уравнение земной поверхности на континентах. Тогда после дифференцирования полным образом по t получаем

w — u

ді

-f,- ѵ dl

ш

 

дх

' ду

 

Это условие выполняется при z

=

£ (х, у). Однако мы предположим,

что оно может быть приближенно поставлено при z = 0. В результате приходим вместо (4.2) к более содержательным (но приближенным!)

граничным условиям

dl

 

А

dl ,

ПРИ 2

W = UHZ + V~t\j-

= 0>

w = 0

при

z — HT.

(4-12)

С помощью метода конечных разностей по z приходим к системе (4.4) с граничными условиями

Wq— UiI 91 4

»®

0<4

ду *

 

 

wn = 0,

 

(4.13)

где верхний индекс нуль при и и у означает, что соответствующие величины берутся с предыдущего временного шага. Далее, в соот­ ветствии с алгоритмом требуется исключить величины wo и хѵп из

15 Заказ 674

225

системы уравнений (4.4). Тогда получим неоднородную задачу при к = : 0:

 

 

 

5 к ,,

 

 

_ 5ф, .

 

 

 

 

 

 

 

dt

U

.lm/t + RT 4 ^ = 0 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

дѵі ,

 

 

s

*P«/,

 

0.

 

 

 

 

—Qt 2 -*г Іич2

RT

5j/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(öUl/2

 

 

 

 

 

 

 

 

5g

 

dg

 

 

 

 

 

 

Pii^j

— U'!t dx

 

Vll* ây

 

 

P1/ \ dx

 

 

ây

j '

Az,^

 

Po

 

 

Az,

 

 

 

Фі/„—Ф_і/г

 

у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Azn

 

 

5__ rp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R T 2

 

0 >

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5Го

+ (T a -7 )^ o = °;

 

 

 

 

 

 

 

 

gt

 

 

 

при к

=

1,2, . .

n — 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5u

 

 

 

 

-f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5г

 

 

 

 

5z

 

 

 

 

 

öy,*4»/.

 

 

 

 

m 0Ф*+І/,

= 0,

 

 

 

dt

 

■luh+'U ~T

ду

 

 

 

 

Фft+'/я

*Pft—*/»

 

-ET1k>

 

 

 

 

 

 

 

А2*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R T

2

 

 

 

 

 

 

duh h'/2

^vh V112\

I

Pfe+l^fe+l

 

 

Pfeife _а

 

 

Pft+v*

dx

 

 

 

% У"1'

 

Azft+1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÖTfe

(7a — Т)ы>* = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

и при

к

= n — 1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

öu„ 1,

 

 

 

 

—ö®„

,,

 

 

 

 

 

— ^ 2- -

 

+ ДГ -

dx

h = 0,

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du„ j/

 

 

 

 

Td 0Ф«--Л

 

■О,

 

 

 

 

 

+ &«-•/,+ ЯГ

»У

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5u„

,,

I

öy„ ,,

Pn-lU'n-l

 

 

PЯ-’/і

n-ll2

П-1/2

 

 

dx

'

ду

 

 

 

1/2

=0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ф я -Ѵ ,~ Ф я -» /,

 

 

 

n-V

 

 

 

 

 

 

 

Az/i-x

 

 

R T 2

 

 

 

 

 

öTn-i

 

ІУа ~ У) wn-l —0-

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

(4.14)

(4.15)

(4.16)

226

Введем в рассмотрение вектор-функции и, ѵ и <р, компонентами которых будут Uft+«/2, ffe+</2, фь+‘/г соответственно. Тогда после исклю­ чения величин wk и Tk приходим к векторно-матричным уравнениям:

^ -

 

b + R f ^

= 0,

 

дѵ

 

lu-\- RT —

= 0,

 

~ді

 

 

 

1

 

ду

 

 

 

dx

г

I

л І£. = /

'

(4.17)

‘

äy

‘

dt

 

 

где матрица А имеет вид, соответствующий уравнению (4.9), а

Ро

P'UAz4,

О

f =

О

О

Решение задачи (4.17) будем искать с помощью рядов

 

 

\

 

„

/ “A

 

 

(4.18)

 

 

r

2

 

r «

k

 

 

 

 

1

 

 

 

и

 

/

 

ѴфJ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ =

2 / Л ,

 

 

(4.19)

где

 

 

 

«

 

 

 

 

 

 

fq =

(/- %)■

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя ряды (4.18)

и

(4.19)

в (4.17), приходим

к системе

уравнений для коэффициентов Фурье:

 

 

 

duq

 

■1,,+ r t S i .

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дѵЧ

I

Іц

 

■R T ^ 1 =

О,

 

dt

^

шч

 

 

ду

 

 

 

duq

,

dvq

 

^

d(fq

_

4

(4-2r)

~д Г д у

 

 

 

dt

- J r

15*

 

 

 

 

 

 

 

 

227

Решение этой системы проведем следующим образом. Выделим ту часть решения, которая соответствует собственному числу Яо = О (баротропная составляющая океана)

ди°

- lvn + R

T ^

= О,

dt

 

 

дх

 

дѵр

luo + R T ^ - = 0,

dt

 

 

ду

 

 

ди0

дѵп _f

(4.21)

 

дх

1 ду

•'o*

Решение системы (4.21) представим в виде

''О!

 

Фо ~ Фо*

(4.22)

Предположим, что и о и ѵ0

выбраны таким образом,

что

ди0

дѵр

(4.23)

дх

ду /о (*- У)-

Например,

где х0 — произвольно выбранная точка, или

Vо

и0 = 0.

Тогда, подставляя (4.23) в (4.21), приходим к уравнениям для отклонений:

ди»

M

+ R T ^ -

lv0,

dt

 

 

 

+ lu’ + R T ^ L ^ - l u 0,

 

dug

I dl;o _n

(4.24)

 

d x

d y

Последнее из уравнений (4.24) позволяет ввести в рассмотрение функцию тока с учетом соотношений:

ио

сД|)

, _

(4.25)

~ w

Ѵ о - І Г 1

и задача (4.24) сводится к задаче для функции тока (после исклю­ чения ф).

228

Что

касается остальных

уравнений

системы (4.20), то для q =

= 1,2,

. . п — 1

можно использовать метод расщепления. Тогда

получим:

 

 

 

 

 

 

Я

М +,/г

 

 

и>+Чг — и>

 

1 „/+*/I

 

 

 

 

Ч

 

 

 

 

 

 

— -тгѴ,

 

 

= —RT

дх

 

 

 

ѵа+Чг — ѵо ,

I

 

иІ+'Іг —0,

 

 

 

 

. <рГ '/2-ФІ

 

duT U _

Л

 

(4.26)

 

 

Ал------ :-----

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,;/+! _

О

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 4

~

’

 

 

 

¥

—

 

7

•

1

 

-

W

+1

 

 

Я

 

I J , J +

 

 

D T 1

* ¥

 

 

 

------ i ------+ 2 “*

 

 

= - R T ~ d T '

 

 

 

ф£+1-

 

фІ+,/*

 

 

Ч +1/г

/<7

 

(4.27)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В результате решения задач (4.23), (4.24), (4.26) и (4.27)решение находится в виде (4.1;8).

7.5. РАЗНОСТНАЯ СХЕМА Д Л Я У РА В Н ЕН И Й АДАПТАЦИИ Д В И Ж ЕН И Й В О КЕА Н Е

Переходим к формулировке разностной системы уравнений динамики океана. С этой целью рассмотрим систему основных уравне­ ний адаптации:

ди

т

I

1

öp

Л

т г - ь +

у

&

0'

 

 

 

1

др

 

% + Ы + + ^ = 0.

dt

 

 

 

ду

 

 

др_ = - о Т ,

 

 

dz

 

 

 

ди

,

дѵ

I

dw __л

’

дх

'

ду

‘

d z

 

^ r + Tw = 0,

(5.1)

где er = aTg = const, T — отклонение температуры от некоторой

То = const, принятой за стандартную температуру при z = 0. Для построения разностных уравнений будем использовать ту же сетку по z, что и выше при рассмотрении аппроксимации нестационарных

229

Смотрите также файлы