Файл: Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие.pdf

Эксплуатационными достоинствами ЭМУ являются высокий коэф­ фициент усиления по мощности и относительно значительное быстро­ действие. Полезные сведения об ЭМУ учащиеся могут найти в [23, 26].

Преобразовательные элементы. Значительное число ФЭ данной группы имеют прямое или косвенное отношение к автоматическим регу­ лировкам усиления (АРУ) в радиоприемных устройствах [11]; под­ стройки частоты гетеродинов там же и задающих генераторов в радио­ передатчиках [27]; в системах определения угловых координат мор­ ских судов (АСН) и системах автоматического сопровождения по дальности (АСД) их же. Основные виды этих ФЭ: модуляторы; демодуляторы; оптикоэлектрические преобразователи. С этими ФЭ можно подробно ознакомиться в [23, 30, 33, 34].

Исполнительные элементы

Всистемах электрорадиоавтоматики находят значительное при­ менение электрические исполнительные элементы с вращающимся ротором (якорем). В своем большинстве они относятся к электри­ ческим микродвигателям [26] постоянного тока, переменного тока, универсальным. По принципу действия и особенностям конструкции применяемые исполнительные микроэлектродвигатели наиболее часто бывают коллекторными и асинхронными.

Вкачестве замещающего звена для подобных микроэлектродвига­ телей приближенно может быть принято интегрирующее с замедле­ нием звено (см. п. 2, табл. 4) с передаточной функцией

Когда необходимо иметь значительные мощности на выходах сис­ тем электрорадиоавтоматики, в этих системах применяют гидравли­ ческие приводы и порошковые магнитные муфты [8 ].

Глава V

МЕТОДЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ САУ

ИОЦЕНКИ ЗАПАСА ИХ УСТОЙЧИВОСТИ

§1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ САУ

Устойчивость — необходимое условие работоспособности каждой САУ (САР). Неустойчивые САУ (САР) сами по себе, без наличия в их составе дополнительных приспособлений искусственной устойчивости, не могут найти применения на практике.

128

Элементарное определение понятия устойчивости линейной САУ было дано выше, понятия устойчивости замкнутых (с обратной связью) систем четырехполюсников известны из [37]. Поэтому рассмотрение устойчивой работы САУ (САР) удобно начать с обзора условий устой­ чивости типового составного элемента линейной САУ (САР) — линей­ ного звена.

Линейное звено — устойчиво, если после прекращения внешнего воздействия, приложенного к входу звена, последнее с течением вре­ мени возвращается к исходному устойчивому состоянию равновесия.

Если в качестве кратковременного воздействия принять единичную ступенчатую функцию (6 ), то об устойчивости линейного звена можно

Применяемые в настоящее время прикладные методы определения устойчивости САУ (САР) основываются на положениях математиче­ ской теории устойчивости движения выдающегося русского ученого академика А. М. Ляпунова [36].

Эти положения А. М. Ляпунова и исследования, проведенные рядом авторов, позволили установить, что линейное звено устойчиво, если вещественные части всех корней его характеристического уравнения D (р) = 0 отрицательны.

Расположение корней этого уравнения на комплексной плоскости

для данного случая представлено на рис. 55, где корни Рі и рх лежат левее мнимой оси или в левой комплексной полуплоскости.

Линейное звено неустойчиво, если хотя бы один из корней этого

характеристического уравнения р 2 или р2 имеет положительную вещественную часть а 2, т. е. если этот корень располагается в правой комплексной полуплоскости или правее мнимой оси.

Линейное звено нейтрально, если хотя бы один из корней харак­ теристического уравнения будет чисто мнимым, т. е. будет лежать на мнимой оси. В данном случае звено может находиться, в частности, на границе устойчивости в режиме незатухающих колебаний. Последнему

соответствует нахождение обоих корней уравнения р3 и р3 на мнимой оси. К нейтральным относятся и те звенья, характеристические урав-

нения которых имеют хотя бы по одному нулевому корню. Физически это означает, что выходная величина x DbIX в таких звеньях может иметь неограниченное множество установившихся значений.

Представленное на рис. 55 расположение корней характеристи­ ческого уравнения соответствует переходным режимам в колебатель­ ном звене.

Таким образом, для линейного звена необходимым и достаточным условием его устойчивости является отрицательное значение вещест­ венной части всех полюсов передаточной функции данного звена. Этот вывод, как и положения для условий устойчивости линейных звеньев, справедлив, также для разомкнутых и замкнутых линейных САУ (САР).

Если для разомкнутой линейной САУ передаточная функция опреде­ ляется через выражение (1 1 0 ), то характеристическое уравнение для данной САУ — на основании (128) примет вид:

D (р) = апр п + а„_, рп-» + ... + агр + а0 = 0.

При определении устойчивости замкнутой САУ удобно использо­ вать выражение передаточной функции последней по управляющему воздействию (1 2 2 ):

1 Ѵ ( Р )

Ф(Р) = l +W( p ) ’

где W (р) — передаточная функция для разомкнутой САУ.

На основании (127) характеристическое уравнение для данной замкнутой САУ имеет вид:

С (р) = Спр п + С п - 1 Рп~ 1 + ... + CjP + Со = 0.

Согласно положений теории А. М. Ляпунова можно сделать следующие выводы.

1.Для устойчивости линейной САУ (САР) необходимо и достаточ­ но выполнение условия: вещественные части всех корней характеристи­ ческого уравнения этой САУ (САР) (127) или (128) должны быть отри­ цательными.

2.Если хотя бы один корень характеристического уравнения САУ

(САР) (127) или (128) имеет положительную вещественную часть, то соответствующая система будет неустойчива.

3. Если решение характеристического уравнения САУ содержит хотя бы один чисто мнимый корень, то эта система совершает незату­ хающие колебания с постоянной амплитудой и находится на грани устойчивости.

4. При наличии в решении того же уравнения хотя бы одного нулевого корня, уравляемая (регулируемая) величина на выходе систе­ мы принимает бесчисленное множество установившихся значений.

Приведенные условия устойчивости для линейных САУ (САР) распространяются и на системы, дифференциальные уравнения кото-

130

рых поддаются линеаризации. Таким образом, заслуживающие дове­ рия объективные исследования устойчивости САУ (САР) сводятся в первую очередь к определению знаков вещественной части корней характеристических уравнений соответствующих САУ (127), (128). Но корни обыкновенных алгебраических рациональных уравнений сравнительно просто могут быть найдены лишь в тех случаях, когда степень уравнения оказывается не выше третьей. Для решения пол­ ных уравнений четвертой и более высоких степеней не существует готовых расчетных формул. Поэтому на практике устойчивость систем автоматического управления (регулирования) выявляется специаль­ ными правилами, которые позволяют, не вычисляя самих корней характеристических уравнений для этих систем ответить, на вопрос: как распределяются эти корни на комплексной плоскости относитель­ но мнимой оси. Подобные правила, позволяющие косвенными методами

риев устойчивости. С позиций их математических основ они взаим­ но эквивалентны, так как позволяют косвенным образом установить, лежат ли все корни характеристического уравнения для данной САУ (САР) в левой комплексной полуплоскости или нет.

Были разработаны в разное время и нашли применение при практи­ ческих исследованиях следующие критерии устойчивости: алгебраи­ ческий (аналитический) Рауса — Гурвица; частотный критерий устой­ чивости САУ А. В. Михайлова и частотный критерий устойчивости Найквиста.

Так как эти критерии были изучены ранее [37], в настоящей книге ограничимся лишь напоминаниями об основных чертах названных критериев в разрезе применения к выявлению устойчивости исследуе­ мых САУ (САР).

§ 2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ РАУСА — ГУРВИЦА

Математическая сторона данного критерия основывается на ис­ следовании коэффициентов характеристического уравнения замкнутой САУ (128).

Замкнутая линейная САУ (САР) устойчива, если в характеристи­ ческом уравнении (128) при старшем коэффициенте сп > 0 все диаго­ нальные определители из некоторой матрицы, составленные, как и сама диагональная матрица, из коэффициентов этого уравнения по опреде­ ленной схеме, положительны.

В качестве иллюстрации ниже приводятся диагональные опреде­ лители для САУ четвертого порядка (п = 4). Данное ограничение вызвано тем, что применение критерия Рауса — Гурвица, связанного с необходимостью раскрытия диагональных определителей, для САУ (САР) выше четвертого порядка оказывается малоэффективным.

Вот эти диагональные определители для САУ (САР) четвертого порядка:

o'? На основе критерия Рауса — Гурвица запишем в готовом виде необходимые и достаточные условия устойчивости для замкнутых САУ (САР) первого, второго, третьего и четвертого порядков.

Для п = 1: схр + с0 = О условия устойчивости:

При л ^ 5 число подобных дополнительных неравенств возрастает и тем самым резко увеличивается трудоемкость, связанная с раскрытием определителей Гурвица. Именно поэтому критерий Рауса — Гурвица целесообразно применять при л ^ 4 .

Если оказывается, что старший определитель Гурвица для неко­ торой замкнутой САУ Дп равен нулю, то эта система находится на гра­ ни устойчивости: апериодической, если одновременно с0 = 0; колеба­ тельной, если следующий более младший определитель Д„_і = 0.

В практике радиотехнических САУ обычно Со^О. Это означает, что если САУ этого ряда находится на границе устойчивости, то по­ следняя будет границей колебательного режима устойчивости.

Заметим, что применение критерия Рауса — Гурвица в тех случа­ ях, когда неизвестны коэффициенты характеристического уравнения замкнутой САУ, не представляется возможным. Это является вторым существенным недостатком данного критерия.

132