Файл: Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие.pdf

§ 3. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ САУ А. В. МИХАЙЛОВА

Частотный критерий устойчивости советского ученого А. В. Ми­ хайлова, предложенный им в 1936 г. [38], позволяет с помощью срав­ нительно несложных графо-аналитических средств проверить удовлет­ воряет или нет данная линейная замкнутая САУ (САР) необходимым

чивой замкнутой САУ п-го порядка последовательно обходит против часовой стрелки 2п квадрантов комплексной плоскости. При этом он поочередно пересекает вещественную и мнимую оси.

Так как Ср (со) является нечетной функцией от со, то годограф Михайлова симметричен относительно вещественной оси Поэтому

при исследовании устойчивости замкнутой САУ (САР) достаточно по­ строить только одну ветвь годографа Михайлова для положительных значений со (0 ^ © =sC+оо). При этом характеристическая кривая Михайлова устойчивой замкнутой САУ обходит против часовой стрел­ ки (т. е. в положительном направлении) последовательно п квадрантов комплексной плоскости. Отсюда вытекает формулировка критерия устойчивости Михайлова: чтобы замкнутая, линейная САУ (САР) п-го порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова для этой САУ при монотонном изменении со от 0 до + оо последовательно обошел в положительном направлении (против часо­ вой стрелки) п квадрантов комплексной плоскости. При этом годограф должен начинаться от точки со = 0 на вещественной полуоси и нигде не проходить через начало координат.

Если годограф обходит меньше, чем п квадрантов, или при обходе нарушается последовательность его перехода из квадранта в квад­

они последовательно переходят из квадранта в квадрант в положитель­ ном направлении. При этом аргумент каждого годографа получает приращение

т. е. вектор С (/со) поворачивается на угол п

На рис. 56, б представлены годографы для двух замкнутых неустой­ чивых САУ (САР) третьего и седьмого порядков. В них нарушены условия последовательного обхода в положительном направлении п квадрантов.

Годограф С (/со) удобно строить по уравнению (249), задаваясь значениями со и вычисляя Са (со) и Ср (со).

Применение критерия Михайлова оказывается целесообразным при исследовании замкнутых многоконтурных САУ.

§ 4. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА

Этот критерий позволяет выявить устойчива или нет замкнутая САУ (САР) по виду графика (годографа) ее амплитудно-фазовый ха­ рактеристики (ККП) в разомкнутом состоянии.

Научно-методические преимущества критерия устойчивости Най­ квиста :

значительная наглядность как графо-аналитического метода; снижение трудоемкости при исследовании автоматических систем,

так как нахождение АФХ для разомкнутых САУ, как правило, менее сложно, чем для тех же САУ в замкнутом состоянии;

134

возможность использования аппарата логарифмических частотных

характеристик (ЛАХ, ЛФХ); возможность оценки с количественной стороны запасов устой­

чивости в замкнутых САУ; применимость к многоконтурным сложным САУ.

Пусть передаточная функция разомкнутой САУ согласно выра­ жению (ПО) будет

\Ѵ(р) R ( P )

D (р) '

Тогда передаточную функцию САУ с замкнутой цепью главной ОС на основании формул (122) и (123) можно представить в виде

в знаменателе выражения Ф (р) р на j со, получим частотную функцию М (/со), которая на единицу отличается от уравнения АФХ разомкну­

При изменении частоты со от 0 до + со полное приращение аргумента (фазы) частотной функции М (ja) составит

Как следует из критерия Михайлова, замкнутая САУ окажется устой­

Для получения универсального выражения предположим, что ра­ зомкнутая САУ в общем случае неустойчива, т. е. характеристический полином D (р) имеет, например, I корней справа от мнимой оси (счи­ таем, что на мнимой оси полином D (р) корней не имеет).

Тогда на основании того же критерия Михайлова приращение аргу­

Следовательно, полное приращение аргумента для функции М (/со) в общем случае применительно к (253) будет

Полученное выражение (255) позволяет судить об устойчивости замкнутой САУ по характеру изменения годографа функции М (/со). При соблюдении равенства (255) характеристическое уравнение зам­ кнутой САУ С (р) — 0 не имеет корней справа от мнимой оси, т. е. замкнутая САУ в этом случае устойчива. Поэтому реализация выраже­ ния (255) адэкватна соблюдению необходимого и достаточного условия устойчивости исследуемой замкнутой САУ. Вследствие этого равенство (255) может рассматриваться как математическое выражение критерия устойчивости Найквиста.

Если полное приращение аргумента для функции М (ja) будет

AM (ja) < 2 /^ , то и соответствующая замкнутая САУ окажется не­

устойчивой (разомкнутая САУ в данном случае также неустойчива). Отсюда вытекает первая возможная формулировка правила крите­ рия устойчивости Найквиста: замкнутая линейная САУ устойчива, если приращение аргумента (фазы) вспомогательной функции М (ja) — 1 + W (ja) при изменении частоты и от 0 до + оо будет

равно 2/^- = /л, где/— число корней характеристического уравнения

неустойчивой разомкнутой системы, лежащих на комплексной плос­ кости справа от мнимой оси.

В данном случае годограф вектора М (ja) = 1 + W (ja) на комп­ лексной плоскости охватывает в положительном направлении (про­

тив часовой стрелки) начало координат (0, /0) раз.

Распространим выражение (255) и на случай, когда разомкнутая САУ устойчива, т. е. на комплексной плоскости правее мнимой оси нет ни одного корня (I = 0) характеристического уравнения этой САУ D (р) — 0. Подставив I — 0 в (255), имеем

A a r g M O ' c o ) | ; = o = 0,

О^со^оо

т. е. годограф вектора М (ja) = 1 + W (ja) в этом случае не охваты­ вает начало координат (0, /0). Поэтому в данном случае и замкнутая САУ будет также устойчива.

Выявленные условия устойчивости замкнутой САУ с привлече­ нием вспомогательного вектора М (ja) = 1 + W (ja) могут быть рас­ пространены непосредственно на плоскость АФХ разомкнутой САУ

136