Файл: Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие.pdf

W (/со). Поэтому между годографом вектора 1 + W (/со) и годографом вектора W (ja) может быть установлено следующее однозначное соот­

правила критерия устойчивости Найквиста, более наглядная и про­

при выполнении следующего необходимого и достаточного условия: годограф амплитудно-фазовой характеристики

Только что приведенная вторая формулировка правила критерия для случая неустойчивой разомкнутой САУ нередко видоизменяется на следующую: замкнутая линейная САУ устойчива, если разность между числом положительных и числом отрицательных переходов го­ дографа W (ja) через вещественную полуось слева от точки с коорди­

Положительным считается переход годографа W (ja) при изме­ нении со от 0 до + оо с верхней полуплоскости в нижнюю через веще­ ственную полуось слева от точки (— 1, /0).

Отрицательным считается переход того же годографа в обратном направлении и тоже слева от той же точки.

Эта разновидность формулировки критерия устойчивости Найк­ виста действительна и для частного случая / = 0, т. е. когда годограф W (ja) принадлежит устойчивой или даже нейтральной разомкнутой

137

дограф W (jсо) дополняют в отрицательном направлении дугой бес­ конечного радиуса (R-+oо) с центром в начале координат (0, /0), на­ чинающейся на вещественной положительной полуоси (рис. 58) и

опирающейся на центральный угол = —s рад. При s = 1,2, ...

эта дуга будет состоять соответственно из одной, двух и большего

Чтобы замкнутая астатическая система, неустойчивая в разомкну­ том состоянии (когда система имеет I корней справа от мнимой оси на комплексной плоскости), была устойчивой, необходимо и достаточно выполнение условия: годограф одноименной разомкнутой системы с его дополнением в бесконечности должен охватывать в положитель­

ном направлении у раз точку с координатами — 1, /0 (кривая /).

Рис. 59. Годографы устойчивой (а), неустойчивых (б, г), нейтраль­ ной (е) разомкнутых статических САУ

Следовательно, обоим годографам I и I I на рис. 58 соответствуют однотипные замкнутые астатические САУ с порядком астатизма s = l .

На рис. 59 показаны годографы некоторых статических разомкну­ тых САУ, которым, согласно правилам критерия Найквиста, соответ­ ствуют устойчивые замкнутые САУ: устойчивая (а), неустойчивые

139

(б иг), находящиеся на границе устойчивости (б). Характеристическое уравнение для неустойчивой разомкнутой САУ второго порядка, годо­ граф которой показан на рис. 59, г, имеет два корня, расположенных направо от мнимой оси (1 — 2).

Подсчитывая число переходов этого годографа через вещественную ось левее точки с координатами ( — 1, j0), имеем: два положительных перехода (стрелки вниз) и один отрицательный переход (стрелки вверх). Так как в данном случае разность числа переходов равна единице

= , то согласно третьему правилу критерия Найквиста соответствующая замкнутая САУ будет устойчивой.

§ 5. ВЫЯВЛЕНИЕ ЗАПАСА УСТОЙЧИВОСТИ САУ

Знание только одного факта, что исследуемая или проектируемая система электрорадиоавтоматики в замкнутом состоянии является устойчивой само по себе недостаточно. Наряду с этим необходимо, чтобы эта САУ работала устойчиво при возможных изменениях управ­ ляющего или возмущающего воздействия в допустимых разумных пре­ делах. Для этого необходимо иметь некоторые количественные кри­ терии, на основе которых можно было бы оценивать качество работы САУ.

Принципиально оценивать работу данной САУ можно непосредст­ венно или косвенным образом.

Непосредственно оценивают на основе так называемых кривых про­ цесса управления (регулирования), которые либо снимают по точкам экспериментальным путем, либо получают из аналитических расчетов. Данный путь представляется в большинстве случаев весьма нелегким из-за большой трудоемкости процессов расчета (для САУ с порядком п ^ 2 -ь 3) и сложности в ряде случае проведения качественного экс­ перимента.

Косвенным образом оценивают по относительно просто определяе­ мым частотным и временным характеристикам исследуемой САУ.

Первые оценки известны под названием прямых оценок качества работы САУ, вторые — косвенных оценок.

В эксплуатации систем электрорадиоавтоматики наиболее распро­ странены полезные косвенные оценки запаса устойчивости.

Одним из удобных понятий запаса устойчивости САУ может быть определение на основе критерия Найквиста. Замкнутая САУ обладает требуемым запасом устойчивости, если выполняются следующие тре­ бования:

САУ удовлетворяет условиям устойчивости согласно критерия Найквиста; годограф АФХ соответствующей разомкнутой САУ W (/со) не подходит к точке с коэффициентами — 1, /0 на комплексной плос­ кости достаточно близко. Последнее требование предполагает, что модуль вектора АФХ разомкнутой САУ | W (/со) | отличается от еди­ ницы не меньше чем на заданную величину ± ЛЯ, называемую запа­ сом устойчивости замкнутой САУ по модулю, и вместе с тем аргумент (фаза) этого вектора отличается от я радиан = 180° не менее чем на

140

величину у (рис. 60), называемую запасом устойчивости той же САУ по углу или по фазе [3].

Аналитически эти условия могут быть сформулированы так: в ин­ тервале, где модуль W (/со) удовлетворяет неравенству: 1 — АЯг^С |ИР (/со) |< : 1 + ДЯ аргумент (фаза) должен в свою очередь подчи­

няться требованию: — я — у ^ arg W (/со) ^ — я + у.

Графически оба эти неравенства выражаются в том, что годограф АФХ, соответствующий замкнутой САУ, которая обладает требуемым

В связи с тем, что построение годографа АФХ разомкнутых САУ по точкам оказывается трудоемким процессом, в практике применения критерия Найквиста для определения устойчивости замкнутых САУ очень часто используются логарифмические частотные характеристи­ ки разомкнутых систем, построение которых, как правило, осущест­ вляется достаточно просто (см. гл. Ill, § 3, 4 и гл. IV, § 1).

Принципиальная возможность выявления факта: устойчива или нет замкнутая САУ на основе критерия Найквиста по ЛАХ и ЛФХ ра­

той САУ с тем, чтобы замкнутая система была устойчивой, вытекают из следующих положений:

фазовая характеристика обязательно должна удовлетворять условию

141