Файл: Крачино, В. В. Электрорадиоавтоматика на морском транспорте учеб. пособие.pdf

Рис. 61. Определение запасов устойчивости по модулю и фазе замк­ нутой САУ:

а — годограф АФХ; б — характеристики ЛАХ и ЛФХ разомкнутой статической САУ

Условимся называть точки характеристики ЛФХ, для которых В (со) > > 0 и в которых она пересекает (при возрастании со->+ оо) прямые—я, —Зя, —5я, ... снизу вверх отрицательными переходами, а сверху

чения устойчивости соответствующей замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрица­ тельных переходов логарифмической фазовой характеристики ф (со) разомкнутой САУ через линию — 180° была равна нулю в тех диапа­ зонах частот, в которых логарифмическая амплитудная характеристи­ ка разомкнутой САУ В (со) положительна [В (со) > 0].

Для случая, когда САУ в разомкнутом состоянии неустойчива, формулировка изменяется на следующую: замкнутая САУ устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных пере­

ходов ЛФХ разомкнутой САУ через линию— 180° равна , где/—чис­

ло корней характеристического уравнения разомкнутой САУ, лежа­ щих на комплексной плоскости направо от мнимой оси, в тех диапазонах частот, в которых ЛАХ разомкнутой САУ положительна [В (со) > 0].

142

На рис. 61, а, б показаны годограф W (ja), характеристики ЛФХ и ЛАХ для устойчивой в разомкнутом состоянии САУ. Соответствую­ щая или замкнутая САУ будет также устойчива (' /= 0 ), как это сле­ дует из приведенных выше формулировок правил устойчивости. При невыполнении одного из этих двух правил соответствующая замкнутая САУ оказывается неустойчивой.

Запасы устойчивости по модулю (В 0) и фазе (у) для замкнутой САУ определяются по рис. 61, б следующим образом: запас устойчивости замкнутой САУ по модулю находится, как величина ординаты Во на графике ЛАХ, соответствующей частоте со = соя, для которой фазо­ вый угол ф (со) = — 180°. В правильно построенных системах электро­ радиоавтоматики Л о > Ю дб. Так как пересечение годографа W (/со)

сотрицательной вещественной полуосью в данном случае имеет место

внескольких точках со^, соя, соя (см. рис. 61, б), то в рабочем диапазоне частот, где В (со) > 0, выбирается та частота соя, для которой ордината

Во наименьшая.

Запас устойчивости замкнутой САУ по фазе у находится из выра­

определяемое для частоты среза соср. В правильно построенных САУ величина у составляет у « 180°— (454-30°) = 135ч150°.

§ 6. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МЕТОДЕ О-РАЗБИЕНИЯ

Постоянные коэффициенты в дифференциальном уравнении линей­ ной САУ, которое описывает неустановившийся режим в ней, зависят от конструктивных данных функциональных элементов этой САУ, их динамических свойств и параметров управляющего (регулирующего) устройства.

Устойчивость той же САУ определяется соотношением коэффициен­ тов этого дифференциального и соответственно характеристического уравнений. Очевидно, что изменение отдельных физико-технических параметров системы может перевести ее из устойчивого состояния в неустойчивый режим. Поэтому при проектировании и компоновке работоспособных САУ полезным оказывается в ряде случаев выяснение степени влияния на ее устойчивость хотя бы одного или двух парамет­ ров в диапазонах возможных их изменений. Для этой цели может ока­ заться удобным построение областей устойчивости этой САУ, т. е. выявление совокупностей таких значений параметров, при которых данная система будет оставаться устойчивой.

На практике находят применение построение областей устойчиво­ сти в плоскости одного параметра и в плоскости двух параметров.

Ниже излагается идея метода построения областей устойчивости на примере замкнутой САУ третьего порядка, характеристическое

143

можно, что при некоторых значениях коэффициентов с0, сх, с2 один или пара корней окажутся на мнимой оси, т. е. корни будут иметь зна­ чение 0 или r t /ЮіОчевидно, соответствующая точка в пространстве коэффициентов будет удовлетворять уравнению (264).

Рис. 62. Выделение областей устойчивости в плоскости одного комплексного параметра для САУ третьего порядка:

пространстве коэффициентов соответствует некоторая криволинейная поверхность 5. Последняя является, таким образом, геометрическим местом точек пространства с0 — сг — с2, корни которых на комплекс­ ной плоскости имеют значение 0 или rt/co, (£ = 1, 2,...) и удовлетво­ ряют уравнению (264).

Если коэффициенты в характеристическом уравнении (264) из­ меняются произвольно, то соответствующие им точки в пространстве будут перемещаться, пересекая поверхность S. На комплексной же плоскости соответственные этим точкам корни уравнения (264) пере­ ходят из одной полуплоскости в другую (рис. 62, в).

Все корни характеристического уравнения замкнутой устойчивой САУ п-го порядка располагаются на комплексной плоскости слева от мнимой оси. Характеристическое же уравнение неустойчивой САУ имеет не менее одного вещественного или двух сопряженных ком­ плексных корней, расположенных справа от мнимой оси. Поэтому вынужденное перемещение корней исследуемого характеристического уравнения (264) можно рассматривать как следствие вынужденного перехода исследуемой САУ из устойчивого состояния в неустойчивое. Аналитической границей этих состояний является условие равенства нулю одного действительного корня (ш = 0) или расположение на мнимой оси двух сопряженных корней (ztja>i)-

Таким образом, поверхность S делит пространство коэффициентов с0 — сг — с2 на области, каждой точке которых соответствует харак-

144

теристическое уравнение третьего порядка, имеющее определенное число корней в правой и левой комплексных полуплоскостях. Обоз­

мого уравнения 3-й степени (п= 3) в общем случае могут быть наме­ чены в пространстве коэффициента четыре области: D (3,0), D (2,1), D (1,2), D (0,3). Только первая из этих областей D (3,0) является об­ ластью устойчивости. Подобное расчленение пространства коэффи­ циента на области с различным значением I называется «D-разбиением».

Если изменяются не все коэффициенты характеристического урав­ нения (264), а только часть из них, например с2, а сг = const и с0 =

ду корней уравнения (264) через мнимую ось, то уравнение границы «Й-разбиения» совпадает с уравнением (264). Поэтому оно может быть

графа Михайлова для данной САУ.

Задаваясь значениями со от — оо до + оо, можно построить гра­ ницу «D-разбиения».

Очевидно, что можно строить «D-разбиение» в пространстве не коэф­ фициентов уравнения, а параметров системы, от которых зависят коэф­ фициенты характеристического уравнения, например в координатах

Т ъ Т 2, К и т. д.

При числе переменных параметров системы больше двух нахожде­ ние областей устойчивости сводится к весьма сложным графическим построениям даже для пространства трех (при п ^ . 3 ) и большего числа подобных построений (при п > 3 ) . По этим причинам на практике ограничиваются построением «D-разбиений» в плоскости не более двух или даже только одного комплексного переменного параметра САУ.

Рассмотрим принцип «D-разбиения» по одному комплексному пара­ метру. Предположим, что некоторый переменный параметр влияние которого на устойчивость данной САУ необходимо выяснить, входит линейно в коэффициенты характеристического уравнения этой САУ (127).

В этом случае последнее может быть представлено в виде:

145