Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 165
Скачиваний: 0
Рассмотрим теперь для условий разомкнутой системы МО с од ним прибором обслуживания обратную задачу, связанную с опти мальным выбором средства погрузки при заданных характеристи ках потока автомобилей, прибывающих на погрузку.
|
П р и м е р |
2. |
Для |
|
работы в |
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 23 |
||||
карьере по добыче камня требует |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ся выбрать |
экскаватор, |
если име |
Емкость |
Стоимость |
Производи |
|
Л о |
||||||||
ется |
возможность |
использовать |
ковша |
1 |
|||||||||||
1 |
маш.- |
тельность, |
- |
||||||||||||
для этой цели любой из трех ти |
экскавато |
смены, руб. |
м 3/смену |
|
Qrp |
||||||||||
пов |
экскаваторов, |
охарактеризоч |
ра, м3 |
|
|
|
|
|
|||||||
ванных в табл. 23. |
В |
среднем в |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
карьер на |
погрузку |
прибывают |
0,65 |
|
20 |
60 |
|
20 |
|||||||
14 |
автомобилей |
в |
час |
(1=14). |
|
|
|||||||||
Объем материала, вывозимого за |
1,00 |
|
40 |
90 |
|
30 |
|||||||||
один рейс автомобилем-самосва |
1,50 |
|
60 |
135 |
|
45 |
|||||||||
лом, |
QTp=3 |
м 3. |
Стоимость маши- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
но-смены автомобиля-самосвала — |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
15 руб. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Из условий задачи ясно, что требуется найти |
р 0пт |
при заданном |
1. Тогда |
|||||||||||
на основе (VII.31) |
можно записать |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ГОР) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° м с |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Ропт |
|
г Ор) |
! |
Vf<- |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^»*<> |
I |
|
|
|||
|
|
Н-оит — |
Фонт 1'Л1 ^ОПТ: |
- V |
|
|
Г < ТР) |
|
(VI 1.39) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° м с _______ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Г < ТР) -I- Г (пР) |
|
|
|||||
По формуле (VII.39) нужно вычислить р 0Пт для экскаваторов, охарактеризо ванных в табл. 23. Экскаватор, у которого р 0Пт совпадает со значением р, со держащимся в этой таблице, и будет оптимальным для работы в карьере.
Для экскаватора с ковшом 0,65 м3 получим:
|
14 |
|
14 |
РопГ --- |
|
|
= 41. |
|
|
15 |
: 0,345 |
- |
/ |
и + 20 |
|
•Для экскаватора с ковшом 1,00 м3:
|
14 |
14 |
29. |
Р о п т --- |
|
= |
|
1- |
15 |
: 0,477 |
|
|
|
||
15 + |
40 |
|
|
|
|
||
Для экскаватора с ковшом ,1,50 м3: |
|
|
|
Н-опт : |
14 |
14 |
25. |
|
^ |
||
V |
15 |
0,533 |
|
|
|
||
15 + |
60 |
|
|
Таким образом, в карьер следует поставить экскаватор с ковшом емкостью 1 м3, так как только для него величина р0пт=29 близка к р=30.
123
4. Определим с помощью зависимости (VI1.28) суммарные потери от про стоя автомобилей-самосвалов и экскаватора:
Для экскаватора с ковшом 0,65 м3 41= = 0>70: ' тогда С а = (1 —
0 702
— 0,70) 20 |
+ - — 1--------15 = 30,5 руб. |
|
|
|
|||
|
|
1 — 0,70 |
|
14 |
|
|
|
|
Для экскаватора с |
ковшом |
0,467; |
С а = |
(1 — 0,467)40 4- |
||
|
1,00 м3 1 ; = — = |
||||||
|
0,4672 |
|
|
oU |
|
|
|
|
15 = 27,45 |
руб. |
|
|
|
|
|
+ |
1 — 0,467 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
Для экскаватора с ковшом |
1,50 м ъ <1/ = — = |
0,311; |
Са = |
(1 — 0,311)60 + |
||
+ |
0,3112 |
_ |
^ |
|
|
|
|
-------------- 1о = 43,45 |
руб. |
|
|
|
|
||
|
1 — 0,311 |
|
|
|
|
|
|
Все приведенные формулы для числовых характеристик процес сов массового обслуживания относились, как уже отмечалось, к случаю с одним каналом (прибором) обслуживания. Если число та ких каналов с одинаковой интенсивностью обслуживания равно S, тогда
1,5+1 |
|
(VII. 40) |
|
Лй |
|
5S!,1- T |
|
|
|
|
(VII.41) |
*/ — ' |
• А)- |
(VII.42) |
|
||
ss Ы1 — |
|
|
В формулы (VII.40) и (VII.42) |
входит величина |
р0 — вероят |
ность того, что в системе нет ни одного требования (п = 0); ро опре деляется из зависимости
|
1 |
|
|
Ро= ----------- ------------ 5ГТ------- ' • |
|||
|
ф5 |
^ |
iin |
S! |
( - + ) |
~L |
..Z j |
|
п = 0 |
||
|
|
||
В частности, для системы с одним |
каналом |
||
( S = l ) из формулы (VII.43) получим |
|
|
|
Лг |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4- |
1 |
|
|
1 — 4 |
|
|
т. е. соотношение (VII.19).
(VII.43)
обслуживания
124
Следует иметь в виду, что в системе с несколькими одинаковы ми приборами X есть плотность всего потока. Поэтому условие, при котором исключается бесконечное возрастание очереди, заключает
ся в том, что —-— <С 1 или ф<Д5.
Su
Для облегчения расчетов в задачах с 5 приборами могут ис пользоваться номограммы рис. 22 23.
Рис. 22. Номограмма для определения средней длительности ожидания в очереди. Система разомкнутая с S одинаковыми приборами; поток пуас соновский с интенсивностью Я; время обслуживания распределено по пока зательному закону; общая интенсив
ность обслуживания гр (интенсивность
,S)
на прибор— )
Рис. 23. Номограмма для оп ределения средней длитель ности ожидания в очереди при постоянном времени об служивания каждого требо
вания
На основе формул (VII.40) и (VII.43), пользуясь тем же мето дом, что и при выводе зависимости (VII.31), найдем, в частности, фопт для 5 = 2 (два одинаковых по своей пропускной способности прибора обслуживания).
125
Из (VI 1.43) при S = 2 получим
„ _ 2 - Ф Ро 2 + ф '
Соотношение (VII.40) при S = 2 даст
^фз 2 —Ф
—(2 — i)2 '2 + 4 ’
фз
или |
Г = |
(2 — 4) (2 + 4)
Экономическая функция в данном случае имеет вид:
Cs= (5 —4) CLcP)+ l'CLcP),
(VII.44)
(VII.45)
(VII.46)
(VII.47)
где S—ф — среднее число незанятых приборов обслуживания |
(см. |
|||||
аналогию с формулой VII.19). |
|
|
|
|
||
Внеся (VII.46) |
в (VI 1.47), будем иметь при S = 2 |
|
||||
CS = ( 2 - 4 ) C (мспр) ' |
|
|
~тр |
|
||
|
|
’ v-* МС |
|
|||
|
|
(2 —4) (2 + 4) |
|
|
||
Значение ф 0пт |
найдем |
методами |
экстремального анализа, |
т. е. |
||
dCа |
|
|
|
|
|
|
из соотношения-------“ 0; |
|
|
|
|
|
|
d4 |
|
|
|
|
|
|
йС% |
/4пр) |
З ф 2 (4 _ ф2) + |
ф3.24 |
cLcp)=o, |
|
|
|
--- О мс |
( 2 - 4 ) 2 |
(2 + |
4)2 |
|
|
|
|
|
|
|||
откуда
- С(мпср)(4 - f f - С(мтср) ( 12 f - 44)= 0
и далее после простейших преобразований приходим к биквадрат ному уравнению
ф4 _ |
ЗС<тр) + 2<+пр) |
'■'мс |
• = 0, |
|
4 4 2 -----НЕ---------*!!_ + 16. |
с'-/ (тр) |
|||
|
^ МС ' |
^ мс |
МС |
|
|
/ ^ ( ТР) 1 |
Г*(ПР) |
\4С |
г ( пр) |
|
|
|
|
|
откуда, учитывая условие ф <2, будем иметь
зС(,тср) + 2С(,"+ -
Т О П Т :
V 9 (C L TcP)) 2 + 8 С ^ ТсР)С<,сР) |
. (VII.48) |
||
c Lcp) |
. р (п р ) |
||
|
|||
° мс |
|
||
Зависимость (VII.48) целесообразно для расчетов привести к виду:
126
г (пр)
° м с
/ + ТР)
ь мс
Фопт= 2
г ( пР)
Г<ТР)
и МС
т . е . фопт— f
<+пр)
2мс
Г< тР) ^ мс.
(VII.49)
С'ТсР) ) '
На рис. 24 представлен график, облегчающий отыскание фонт на основе зависимости (VII.49).
П р и м е р 3. Для условий ранее рассмотренного примера 1 найти оптималь ное число автомобилей-самосвалов ЗИЛ-ММЗ-555, которое следует выделить для работы с двумя экскаваторами Э-302А.
|
|
4 с р) |
19,4 |
|
|
|
Вычислим |
|
S 1,24. |
|
|
г ( тР) |
15,6 |
|
|
|
'■'мс |
|
|
|
|
3 ^ 1 - j / " 1 4- |
- 1 ,2 4 ) + 2 - 1 , 2 4 |
|
Тогда |
ФТ 2 |
= |
|
=1,012, что дает фопт = |
|
О П Т |
1 + |
1,24 |
|
|
|
|
||
|
|
= 1,006 s |
1,01. |
|
Найдем полное время рейса автомобиля-самосвала tv. Предварительно из за висимости (VII.42) определим среднее время ожидания в очереди г):
|
1,0V______ |
2— 1,01 |
^ 0,025 |
ч. |
|||
2-21 |
14 I |
\2 |
' 2 + 1,01 |
||||
1,01V |
|
|
|
|
|
||
|
|
‘ - - Г |
|
|
|
|
|
Тогда |
-- "ту • 1,5 + 1,0 + |
0,025 |
= |
1,13 ч. |
|
||
|
14 |
|
|
|
|
|
|
С помощью формулы (.VI1.35) найдем п0пт'- |
|
|
|
|
|||
лопт = <р|Аф0Пт = |
1,13-14-1,01 = |
16 автомобилей. |
|
||||
Сравнивая полученный результат с решением примера 1, легко заметить не- |
|||||||
тривиальность результата. |
Казалось бы, |
при |
5 = 2 |
(в |
карьер |
выделяются два |
|
экскаватора Э-302А) оптимальное количество самосвалов, |
прикрепляемых к ним, |
должно увеличиться вдвое, т. е. составить 5,3• 2 = 10,6 =11 |
автомобилей. Решение |
задачи привело нас к «опт = 16 автомобилей. |
при |
«0пт = 16 составит: |
||
Производительность автомобиля-самосвала |
||||
= |
<мс-<Этр-*в |
7- 2,5- 0,85 |
13,2 |
м3 в смену. |
-------------------= |
--------------------= |
|||
ТР‘® |
t р |
1,13 |
|
|
127
|
Объем вывозимого из карьера гравий |
||||||
|
ного материала автомобилями-самосвалами |
||||||
|
составит 13,246=211 м3/смену, т. |
е. |
значи |
||||
|
тельно больше, чем будет вывезено пои |
ра |
|||||
|
боте одного экскаватора и 18 автомобилей- |
||||||
|
самосвалов |
(18 • 10= 180 м3/смену) |
(см. при |
||||
|
мер 1 на стр. 121). |
|
|
|
|
|
|
|
Определим условную себестоимость 1м3 |
||||||
|
материала |
|
|
|
|
|
|
|
|
SC<“P) |
г Г (тр) |
|
|
|
|
|
|
‘опт^мс |
|
|
|
||
|
^ед16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
г О П Т '^ т р 1 в |
|
|
|
|
|
|
2-19,4 |
+ 16-15-60 |
|
|
|
|
|
|
16-13,2 |
1,37 руб/м3. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
Таким |
образом, |
выделение |
в каоьер |
|||
|
двух экскаваторов Э-302А и 16 автомобилей |
||||||
|
ЗИЛ-ММЗ-555 обеспечивает повышение |
||||||
|
производительности транспорта на |
|
32% |
и |
|||
Рис. 24. График для отыскания |
снижение условной себестоимости материала |
||||||
(по заготовительно-транспортным |
работам) |
||||||
•Тощ на основе формулы |
1,67 — 1,37 |
т. е. на |
18%. |
Сопо- |
|||
(VII.49) |
на ---------—------100%, |
||||||
|
1,67 |
|
|
|
|
|
|
ставляя решение примеров 1 и 3, легко уяснить, что выделяемые (16 |
автомобилей- |
||||||
самосвалов не должны раскрепляться по экскаваторам, что |
обусловит |
меньшее |
|||||
время ожидания в очереди tf перед погрузкой. |
|
|
|
|
|
|
|
В ТМО доказывается, что если пропускные способности прибо ров обслуживания pi отличаются друг от друга не более чем на 30%, то такую реальную систему МО можно в анализе заменить моделью, в которой для каждого прибора обслуживания принимает ся средняя пропускная способность по соотношению
s
V |
|
/«=1 |
(VII.50) |
"ср- |
|
Этот прием дает возможность решать конкретные задачи с по мощью приведенных выше формул (VI 1.40) — (VII.49) и номограмм рис. 22—24.
§ 18. Замкнутые системы массового обслуживания
Рассмотрим замкнутую СМО (число клиентов ограничено и постоянно) с S одинаковыми приборами при условии равновероят ного выбора свободного прибора и пуассоновском потоке требова ний на обслуживание. Будем при этом применять следующие обоз начения:
р— возможная суммарная пропускная способность S приборов;
р'— пропускная способность одного прибора. Очевидно, что при
одинаковой пропускной способности приборов р '= - j - ; т — об
щее число требований, участвующих в процессе МО; п — число тре бований в системе (в очереди и обслуживании); К— общая интен
128