Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 161
Скачиваний: 0
сивность потока заявок на обслуживание; А'— интенсивность потока заявок на обслуживание от одного изолированного требова ния, т. е. в условиях, когда в процессе МО участвовало бы лишь од но требование.
Тогда в любой момент времени число объектов, создающих по ток заявок на обслуживание, т. е. находящихся вне системы, равно т—п. Следовательно, общая интенсивность потока заявок на об
служивание определится соотношением |
|
).= (т —/г)У. |
(VII.51) |
Мы должны получить теперь основные соотношения, характери зующие изменение состояния системы за время dx, т. е. определить вероятности переходов:
Р0,х |
+ Po,z * Pl,x+dx\ Рп,х |
*Pn,x + d‘ Pn, x |
*Pn+ l,x + dxi |
Pn,x *P n —l,x + r f T * |
|
Эти зависимости должны быть получены для различных соотно |
|||
шений между величинами п, S и т. |
(VII.9) и (VII.10) в ус |
|||
|
Следует учитывать, что вместо формул |
|||
ловиях замкнутой системы будем иметь: |
время dx |
одного требо |
||
|
вероятность поступления |
в систему за |
||
вания: |
|
|
|
|
|
р х= |
(т —п) \'dx<, |
|
(VII.52) |
вероятность того, что за время dx систему покинет одно требо вание:
|
P - x— ^ - d x . |
(VII.53) |
|
|
H 1 |
S |
|
Очевидно, что |
Po—* Po= |
I ~ mk'dx |
(VII.54) |
|
p0—>p x = m\'dx. |
(VH.55) |
|
Учитывая методику написания зависимостей для вероятностей перехода, подробно рассмотренную выше для разомкнутой системы,
придем к следующим выражениям. |
|
|
|||
При |
1 ^ п < 5 |
(число требований в системе меньше числа при |
|||
боров) : |
|
|
|
|
|
Р п - |
' P n z +d-. |
|
|
|
|
|
|
X - ^ - d x = 1 — {т —п)Уйх |
-----— Ут; |
||
|
|
|
s |
|
s |
|
Pn- |
n + \ - |
(m — n) I'dx |
щ dx |
— \'dx\ |
|
|
|
|
I T |
|
P n — P „ - . 1= - j - d x [ l - ( m ~ t i ) ) J d x ^ ~ ^ - d x .
5—1092 |
129 |
При < m (число требований в системе не меньше числа
приборов):
/7„—>pn= [ \ —(m —ti)Vdx]{\ — (Aoft) = l — (m —n)t.'ax —\idx;
Рп—>рп + 1 = {т —п) ddx (1 — \xdx)^(m —n)X'dx\
p n—>pn- i — [\ —{m —n'jX'dx^dx^^dx.
При n = m (все объекты находятся либо в обслуживании, либо в очереди):
Рп~* Р п = \ — **Ъ
рп ^ р п + 1= 0;
Р п ^ Pn-\=-^dx.
На основе этих соотношений составим теперь матрицу вероят ностей перехода.
Запишем уравнения состояния системы:
PQ{x-{-dx} = рй{х){\— m'h'dx)^ рг{х) — |
dx |
|
(/1 = 0); |
||||||
pn(x-ydx) = |
pn{x) |
1 —(т — п) Уйх----- dx |
+ |
/7„_i(T:)[m—(/г— 1)]Х |
|||||
|
X X'dx + |
рп+1(х) |
1)|Л dx |
|
|
( 1 < / i < S ); |
|||
pn(x4-dx) = |
p„(x)[\—{m —ti)X'dx — ^dx]-1r pn_ 1(x) |
{m - п -f 1) X |
|||||||
|
|
X |
X ' d x рп+i(t)p-rft |
|
|
|
|
||
Pm(x + |
dx) = pm(x)(\ —v-dx)-\-pmr. 1(x) |
|
X'dx (n = m ). |
||||||
Путем простейших преобразований получим: |
|
|
|||||||
dPo |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n = 0); |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dpn |
|
(.m —n)K -J- |
Щ |
|
|
Pn-l |
00 + |
||
dx |
|
/’«№ + ( ' » - » + |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + + |
T Pn-И 00 |
|
|
< « < 5 ) ; |
|||
= |
[(m — reU'-f [x][ Pn(x)^-(m — n - f |
1 |
) ( |
t) + |
u/Vh (t) |
||||
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5 < |
ra< m); |
d-Pn |
— V-PmW + X'pm-i (t) |
|
|
|
[n = m ) . |
||||
|
|
|
|
||||||
1 d~
no
СЛ
*
Состояние в момент
0
1—m Vdx
<х
— dx
1 5
2
5 —1
S
S+ 1
т—1
т
Состояние в момент х + dz
|
1 |
2 |
. . . |
5 — 1 |
mk'dz |
|
|
|
|
1—(т— \)l'd z — |
(m—1) \'d z |
|
|
|
— |
If* , |
|
|
|
----dz |
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
2 |
jju |
1—(m—2)X'dx— |
|
|
— dz |
|
|
|
|
s йх
1—(m—S + + l)X'rfx— 5 —1
5
]xdz
0
s
(m—S + + l)X'rfx
1—(m—5)X
YX'dz—\xdz
[J-dz
5 + 1 |
. . . m — 1 |
m |
0
(m—S )Vdz
1—(m—5 +
+l)X'atx— —(jdz
1—X'rfx— Vdz
—\idz
pdx 1—{idz
Для установившегося режима уравнения состояния будут иметь вид:
Рйтк' = ^ - р 1 |
|
|
[п -=^0); |
( V I I . 5 6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(т —п)У |
рп = {т—пАг 1)У Л - 1 + |
|
|
|
|
|
+ ( я + 1) - ^ - р л+1 |
( 1 < л < 5 ) ; |
( V I I . 5 7 ) |
|
\ { т — п ) У - \ - ] ъ \ р п = { т — п - \ - \ ) К р п- 1 - \ - 1 ь р п +1 |
( V I I . 5 8 ) |
||||
I W m = Vpm- i |
|
|
(п = т) |
(VIL59) |
|
|
Введем обозначения ф'= - |
|
|
( V I I . 6 0 ) |
|
|
|
|
|
||
|
|
Ря+1 |
|
( V I I . 6 1 ) |
|
|
|
|
Ря |
|
|
|
При этом уравнения (VII.56) — (VII.59) |
примут вид: |
|
||
|
|
W0= m S y |
(л=0); |
( V I I . 6 2 ) |
|
w |
jm - n ) S'b' + |
п______ и - я + 1 |
.. 5 Ф;_ |
( 1 < д < 5 ) ; |
( V H . 6 3 ) |
|
п + 1 |
и + 1 |
1ГЯ_ 1 |
|
|
W n = ( m —/ i ) f + l —(т — га + 1)—| |
я—1 |
— 1); |
(VII.64) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
lVm_ x = f |
(« = «)■ |
) V I I . 6 5 ) |
|
|
|
|
|||
|
Эта система уравнений позволяет получить следующие соотно |
||||
шения: |
|
|
|
|
|
|
|
= « - я |
( 0 < п < 5 ) ; |
( V I I . 6 6 ) |
|
|
|
п -Ь 1 |
|
|
|
|
Wn = {m —n ) y |
( 5 < я < т ) . |
( V I I . 6 7 ) |
||
Учитывая (VII.61), можно записать, что
Тогда
Ря
Ро
~ /--«Я
где С т
|
Pi |
Р2 |
Р.З |
Рп |
. (VII.68) |
|
Ро |
Р 1 |
Р2 |
Ря-1 |
Ро |
л-1 |
я—1 |
т (т - |
1 ) . . .(т - п + 1) |
„ ^ |
|
|
, |
||||
П ^ |
- П у Д 5*' |
|
|
1 • 2 ... п |
|
I=о |
1=0 |
|
|
|
|
|
= CSi5"^'n. |
(0< л < 5), |
( Л Ч 1 . 6 9 ) |
||
/я!
л! (лг — л )!
132