Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 162

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Для того чтобы воспользоваться соотношением (VII.69) приме­ нительно к уравнениям (VII.58) и (VI 1.59), приходится записать бо­ лее сложное произведение, учитывающее различный вид зависимо­ стей для Wn при различных п (см. формулы VII.66 и VII.67). Тогда имеем:

 

r s -i

 

-л—1

 

 

 

Рп

П

 

 

г)<|/

m\Sb

d/n =

Ра

г -b 1

 

(m — n)!S!

 

-i -О

 

L(=S

 

 

 

 

 

n'Ss

Y n ( S < /i< m ) .

 

(VII.70)

 

 

= Cnm-—

I

 

 

 

 

 

 

 

 

Просуммируем теперь по n уравнения

(VII.69) и

(VII.70). При

 

 

т

 

 

 

т

 

этом следует учесть, что 2

Рп— 1 и, следовательно,

2 / ^ — 1—Ро-

 

 

л = 0

 

 

 

л = 1

 

Тогда получаем

 

 

 

 

 

 

 

т

 

т

 

 

 

 

 

Рп

1

V

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

JaU Ро

Ро

2 и

 

 

 

 

 

Л —1

 

п = 1

 

 

 

Последнее соотношение можно записать в виде:

т

 

S —1

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V ''

Рп

1 — Ро

(VII.71)

Jaek

Ро

Jmek

Ро

n=S

Ро

Ро

 

п —\

 

л =1

 

 

 

 

 

 

Внося теперь в (VII.71)

 

вместо сумм соответствующие им выра­

жения, получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S - 1

 

 

 

 

 

 

 

1 — Ро __ £ П £ П ' у п |

 

 

S!

л , п

Ро

 

л—1

 

 

 

 

л«5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■>п

 

»т

= 1 , то

получаем следующее выра­

Так как при п = 0 CmS ф'

жение для р0:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ро=-

 

1

 

 

 

1

 

I cS

(VII.72)

S

ОЛ1

/П I

т

ПП

 

ХИ

г>п

XI

П\С) ,\.гП

 

 

2 j

 

 

7

+

2 j

ь т

---v

 

 

л =0

 

 

 

n = S

 

о !

 

В связи со сложным характером зависимости (VII.72) получение формул для основных количественных характеристик (й; У; tf и др.) для замкнутой СМО с S приборами достаточно затрудни­ тельно.

133

Задача значительно упрощается

при 5 = 1. Тогда

на основе

(VII.72) и (VII.70) получаем:

1

 

 

 

 

 

 

 

А> =

 

 

 

( V I I . 7 3 )

 

 

 

 

 

ml

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

■г

 

 

 

 

 

 

 

~ о ^

 

 

 

 

 

 

 

 

~ ")!

 

 

 

 

Р„ =

Ст?' П\р0 ИЛИ

рп--

(т — п)\

Ро-

( V I I . 7 4 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим теперь среднее число

требований в системе п. Со-

гласно (VI 1.2)

—

т

Если внести в данное соотношение за-

п = 2

пРп-

 

 

л = 0

 

 

 

 

 

висимость (VII.74), то после преобразований получим:

 

 

 

 

 

п = т —

l. - P P — ,

 

( V I I . 7 5 )

В соответствии с

 

(VII.5)

имеем У = и —гр. Так как г|э= (т —га)^',

т. е.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

1 — Ро

 

( V I I . 7 6 )

 

 

 

 

т — п = ------—

 

то будем иметь У =

т — 5—^ — (1 — р0], что

после преобразовав

нии дает

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

У = т — (1 — Ро) 1 + Ф'

 

( V I I . 7 7 )

Так как

t t = ---- ,

то получаем

t f = ---------------- .

 

 

'

х

 

 

 

*

(т — п)1

 

Используя (VII.76),

будем иметь

 

 

 

 

 

 

у

 

 

 

у

 

У

 

tf — -------------------=

------------------- --------------------

 

>

 

1 — Ро

; ,

1 — Ро

У

Р-(1— Ро)

 

 

 

У

 

'

_А/_

 

 

 

 

 

 

 

 

р

 

 

 

 

Используя выражение для У, придем к зависимости

 

 

 

 

 

Р-

\ 1 — РО

 

 

( V I I . 7 8 )

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим теперь решение примера на замкнутую СМ.О.

П р и м е р

4.

Требуется определить

оптимальное

количество

автомобилей-

самосвалов, необходимых для работы с экскаватором. Количество материала, пе­ ревозимого за один рейс автомобилем-самосвалом, Qa= 3 м3. Техническая произ­ водительность экскаватора Л э= 30 м3/ч. Продолжительность рейса автомобилясамосвала при отсутствии ожидания в очереди перед погрузкой (£/= 0, что соот­ ветствует рассмотрению «изолированного» требования) составляет £ри= 1 ч. Стон-

134

мость простоя

автомобиля-самосвала Сс = 2

руб/'ч. Стоимость простоя экскаватора

Сэ= 3 руб/ч.

 

X'

 

1

1

Яэ

Найдем Ф '=

 

— . Очевидно, что X' =

——

= — = 1 .

Так как р. = —— =

30

 

 

1

tри

 

Va

то

Ф =

 

 

 

= ------= 10,

— = 0,1 .

 

 

 

3,0

 

т

10

 

 

 

Составим теперь выражение для суммарных полных потерь за единицу вре­ мени. Потери от простоя экскаватора будут равны СэроПотери от простоя авто­

мобилей в очереди перед погрузкой определятся величиной vCc. Суммарные полные потери за единицу времени составят

 

 

 

СЕ = СэРо +

Сс" .

(V II.79)

Если внести в равенство

(VI 1.79) приведенные выше выражения для Ро и v,

то получим зависимость

 

 

 

Cs —

Сэ

1

+ Ф'

1

 

т\ Ф'

 

1 + У

т\ ф'л

1 + У

 

 

 

( о т — л ) !

 

(т — л)!

П—1

 

 

П—\

 

(VII. 80)

Необходимо определить значение т, при котором суммарные потери С s будут

минимальны. В данном случае нахождение экстремума методами дифференциаль­ ного исчисления невозможно. Поэтому установим значения C s , задаваясь по­

следовательно различными величинами т. Отметим, что величины Сэ и Сс могут быть выражены и в л. с. ч.).

 

Вычислим величину р0 при т = 1:

 

 

 

 

 

 

Ро =

-------Н-

--------= ---------

1-

0,1

1- 0,1

 

 

 

1!■0,1

 

1 +

 

- ' ~

= ----------

- = 0 ,9 0 9 .

 

 

 

1

 

 

 

0!

1 +

1

 

 

 

■ 2 ( i — i)i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П—1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

0,1

 

 

 

 

Тогда CSi =

3-0,909 + 2

 

0-у ^ (1

— 0,909)J = 3-0,909 -h 2 (1—110,091) =

=

3-0,909 +

0 =

2,73.

 

 

 

 

 

 

 

 

При т = 2 получим

р0 =

■

 

 

 

 

 

1

 

 

0,1Л

/0,1

0,12,

 

 

 

 

 

 

1 + 2! У

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 2 1! + 0! ,

 

 

 

 

 

 

2

- л

)

!

 

 

 

 

 

 

 

^ (

 

 

 

1

 

 

 

1

=

0,82;

 

 

 

1 + 2 (0 , 1 +

0 ,01)

1 +

0,22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С„

= 3 - 0 ,8 2

+

2

 

1 + 0,1

 

 

 

= 2 ,5 0 .

 

 

 

1

(1 — 0,82)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Принимая т = 3, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р о = ---------

 

 

1

 

 

- =

0,732;

 

 

 

 

0,1

0,12

 

 

 

 

 

1 + 3!

0,13

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

1!

01 у

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С2

= 3 -0 ,7 3 2 +

2

1 + 0,1

 

 

 

 

2,30.

 

3 - -

j y

- ( 1 - 0 ,7 3 2 ) =

 

135

1

При т — 4

р0 =

 

/0,1

0,12

0,13

 

0,14

■= 0,647;

 

 

 

1 —1—41 ( ■~j—

2!

—р-

1!

—1~ ■

 

 

 

 

 

 

I 3!

 

 

 

0!

 

 

 

 

С 2< = 3 -0 ,6 4 7

+ 2

 

 

1 +

0,1

 

=

2,18.

 

 

4 — ------“ -(1 — 0,647)

 

 

 

 

 

 

 

0,1

v

’

 

 

При т = 5

р0 =

—

 

 

 

1

 

 

 

=

0,564;

,0 ,1

0,12

 

0,13

 

0,14

0,15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + 5! — + - 1— +

2!

 

1!

+ —L-

 

 

 

 

 

1 4!

 

3!

 

 

0!

 

 

 

 

=

3-0,564 + 2 | 5 — ~ 4 ~ T L"(1 — 0,564)

=

2,13.

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

 

 

 

При m — 6

p0 =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

= 0,484;

 

,0 ,1

0,12

o,13

0,14

0,15

 

 

 

 

 

0,16

 

 

1 +

1 5!

+

4!

+

3!

+

2!

+ 1!

+

0!

 

C Se = 3 -0 ,4 8 4

+ 2

6 —

1 +

0,1

 

 

2 , 10.

 

1 .

(1 — 0,484)

=

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

 

 

 

При m = 7

'p0 =

—

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

,0 ,1

0,12

0,13

0 ,H

0,15

 

0,16 0,H

 

 

 

 

 

 

1+ 7 l + + T5!T + T4!T + +3! - + + - +

0!

 

 

 

 

 

 

=

0,409;

 

 

 

 

 

C S7 =

3-0,409 +

2

 

1 + 0,1

 

:2,23.

 

7 — ———— (1 — 409)

 

 

 

 

 

 

 

0,1

v

’

 

 

Таким образом, минимальное значение суммарные потери Сг имеют при

т = 6.

Определим для т = 6 величину Тр.

1

6

1 +0,1

t i ■ 10

\1 — 0,484

= 0,062 ч.

0,1

Тогда полное время рейса автомобиля-самосвала с учетом ожидания в оче­ реди перед погрузкой составит

t .= /ри + /у — 1,0 + 0,062 = 1,062 .

Как уже отмечалось выше, в производственных условиях для определения ко­ личества автомобилей-самосвалов, прикрепляемых к экскаватору, часто пользу­

ются формулой (VII.36).

, 1 , 0 6

Для условий нашей задачи по формуле (VI 1.36) получимш' = у - у = 11

автомобилей, т. е. m?>tn. Таким образом, во многих случаях определение т' из формулы (VII.36) обусловит повышенную стоимость 1 м3 материала франкотрасса.

В задачах, подобных только что рассмотренной, обычно вычисляют два ко­ эффициента:

R\ = — =

среднее число машин в очереди

----------------------------------------------------, называемый коэффициентом про-

т

общее число машин

136

стоя машин, и Ro =

р

среднее число незанятых приборов

 

 

—

=

 

• коэффициент про-

2

5

 

общее

число приборов

 

 

стоя приборов обслуживания.

 

 

 

1 + 0,1

 

 

В нашей задаче

при т =

6 ч = 6

0,324

и R\ =

(1 — 0,484) =

0,324

 

 

 

0,1

 

 

При

одном

приборе

обслуживания ( S = l )

р = />0.

Значит,

= 0,054.

^2 — Ро = 0,484.

Как видно из этого примера, вычисления в задачах для замкну­ той СМО достаточно громоздки. Поэтому при достаточно больших значениях т можно проводить расчеты по приближенной методике А. С. Егоровой, определяя ро из зависимости:

Ро=

1

где h

 

Ф'

Верхняя граница относительной ошибки £ определения ро может быть оценена на основе соотношения:

т +

1

т + 2 — h

т +

2

pQh

Рассмотрим теперь решение примера для СМО с приоритетом.

П р и м е р 5. Требуется определить срок окупаемости капиталовложений на устройство путепровода в районе пересечения автомобильных дорог при сле­ дующих данных: стоимость путепровода 100 тыс. руб.; на пересекающихся доро­

гах

с двухполосными проезжими частями и интенсивностью движения 300 и

150

авт/ч на каждой полосе с преобладанием грузовых автомобилей потоки дви­

жущихся автомобилей являются пуассоновскими; движение по основной дороге, имеющей капитальное покрытие, пользуется в районе пересечения правом абсо­ лютного приоритета, т. е. пропускается беспрепятственно; автомобили, движу­ щиеся по вспомогательной дороге, перед пересечением делают обязательную остановку и проходят через пересечение со средней скоростью 20 км/ч только при отсутствии автомобилей на основной дороге.

В данном случае можно рассматривать перекресток дорог как прибор мас­ сового обслуживания двух пуассоновских потоков, один из которых имеет абсо­ лютный приоритет. Для подобной системы при экспоненциальном распределении времени обслуживания расчетные зависимости для определения основных число­

вых

характеристик отличаются

от

соотношений

(VII.21) и

(VII.23), а именно:

 

 

т 2 =

h

1 +

U2

Ф1

(VII.81)

 

 

i - Ф

 

ш’

1 — Ф1 .

 

и

 

 

1

' +

Ф1

(VII.82)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ц2

ш (1— Фт)

 

где

т2 и tf

— числовые характеристики

для второго потока, не пользующегося

 

2

приоритетом;

 

 

 

 

 

фг = — ; ф2 = — и ф = 4ч + <Ь> причем ф < 1,0.

ШР-2

137

Смотрите также файлы