Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 19.10.2024

Просмотров: 157

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Найдем п0пт, при котором получим min Сл*

 

 

д С *

_

_

N C i

!

6 С 4 _

О,

(VIII.6)

0Л

~

 

Л^

'

2

 

 

откуда

 

 

 

 

 

 

(VIII.7)

Из равенства (VIII.6)

ясно,

что

 

> 0

и, следовательно, при

 

 

 

 

дп2

 

 

/г0пт, определенном из уравнения (VIII.7), имеем minCs.

 

Из зависимости (VIII.6)

следует, что

 

 

 

 

N C i _ _ 9С А

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

или

 

 

 

 

 

 

 

 

N C i

_

6С а

п.

 

(VIII.8)

Левая часть равенства (VII 1.8) выражает общие затраты на со­ здание запаса из г партий по п тяжей в каждой из них. Правая его часть, как это явствует из соотношения (VIII.5), выражает суммар­ ные затраты на хранение запаса в течение всего срока 0. Следова­ тельно, при принятых условиях решения задачи, и, в частности, при Сг= const, приходим к следующему важному выводу: минимум эко­ номической функции задачи управления запасами имеет место тог­ да, когда общие затраты на создание запаса равны общим затра­ там на его хранение.

Найдем теперь значение ТО П Т -

Подставляя формулу (VIII.7) в равенство (VII 1.4), получим

 

 

 

(VIII.9)

или

Т* ОТТ-Г—

26 C i

(VIII.9')

N C a

 

 

‘

Оптимальное число партий тяжей г0-Пт составит

или

(VIII. 10)

143

Наконец, найдем значение экономической функции при опти­ мальном значении п0пт, подставив формулу (VIII.7) в соотношение

(VIII.5):

min Cs=

N Ci

8Сл , /

2N C t

f 2 N C i

2 У

ОСa

 

 

V

 

 

После простейших преобразований получим

 

 

min Cyi= V2N bClCA.

(VIII. 11)

При использовании формул

(VIII.7) — (VIII.11) можно величи­

ны п и N выражать не в количестве деталей,

а в весовых показа­

телях (число тонн тяжей в одной партии и общее). При этом Сг и СА должны показывать постоянные затраты на доставку п тонн тяжей и хранение 1 т их в течение суток.

Доведем решение нашей задачи до числового результата. Примем дополни­ тельно, что доставка тяжей производится на расстояние 50 км при средней ско­ рости движения автомобиля ЗИЛ-130, равной 25 км/ч. Так как по условиям за­ дачи величина Сг не зависит от п, примем ее равной стоимости одного рейса авто­

мобиля от завода-изготовителя до

строительства

и обратно, равной 6 руб.,

т. е.

в данных условиях перевозки С; = 6

руб.

строительства величина

Са

Примем, что в условиях рассматриваемого

составляет 1,33 руб. на 1 т тяжей в течение суток. Вычислим общий расход тя­ жей N. При норме их расхода 130 кг/пог. м моста Л7=500 -0,13=65 т. Тогда с по­ мощью формулы (VIII.7) найдем

^ОПТ--

2■65•6

т.

 

= 3

 

65-1,33

 

При этом грузоподъемность ЗИ Л -130

используется не полностью и величина

Ci действительно не зависит от п.

 

 

 

Из зависимости (VIII.9) определим период пополнения запасов:

Т О П Т -----

65-3

3 сут.

 

65

 

 

 

 

По формуле (VIII.11) найдем общую

стоимость

создания и хранения запасов

min C s = |Г 2 -65-65-6-1 ,3 3 = 260 руб.

 

 

П р и м е р 2. Требуется определить оптимальный размер запаса битума на

заводе по выпуску асфальтобетонных смесей при следующих данных: среднесу-

N

= 25

т;

общие затраты на хранение 1 т битума в би-

точный расход битума —

тумохранилище Сл =0,1

руб./сут;

затраты на

поставку партии битума Сг =

= 1000 руб. На основе формулы

(VIII.7) получаем

 

 

 

„

1000

707 т.

л опт —

 

2 -2 5

------=

V0,1

Врассмотренных задачах нехватка тяжей на складе или биту­ ма в битумохранилище не допускалась и спрос удовлетворялся полностью в течение каждого интервала Т и всего срока 0. В ряде

144

задач управления запасами учитываются убытки от неудовлетво­ ренного спроса, характеризующиеся величиной Ср на единицу (де­ таль, 1 т и т. и.) в единицу времени. В подобных задачах допускает­ ся периодическое отсутствие запаса на складе с возникающими вследствие этого убытками (выплата неустойки и т. п.). Для усло­ вий постоянного спроса графическое изображение подобных задач дано на рис. 28. Как видно из

графика,

в течение

интервала

 

 

Т

т .

 

т

 

т

 

То запас отсутствует.

 

 

 

 

 

 

 

 

\

 

 

Если

т — максимальный

 

 

 

 

 

 

 

 

уровень

запаса

(см.

рис.

28),

 

с Е

 

 

 

 

 

 

 

то для Т\

и Т2 можно получить

 

 

 

 

V

 

 

 

соотношения:

 

 

 

 

 

 

\

т' \

 

 

\

 

 

 

— Т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\

7 \ =

 

 

(VIII. 12)

 

 

J

___

 

 

L_______л ___ i

п

 

 

 

 

 

\

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 28. График управления запасами

Г2=

П~п 'П Т.

(VIII. 13)

 

при

наличии

неудовлетворенного

 

 

 

 

 

спроса

 

 

Будем

считать,

что затраты на создание одной партии деталей

(конструкций и т. п.)

по-прежнему постоянны и равны С(.

 

Затраты на хранение одной партии определятся как - у т7"1С 4.

Убытки от неудовлетворенного спроса для одной партии будут

равны —

(п—т)Т2Ср. Тогда для суммарных затрат получим сле­

дующую зависимость:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СЕ--

 

1

1Сл -\~Ci~1—— (п — т) Т2С

 

 

(VIII. 14)

 

 

 

 

 

 

где г —• число партии;

_

N _

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(VIII.15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Внося формулы

(VIII.12),

(VIII.13)

и (VIII.15)

в выражение

(VIII.14), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 - m — ТС 4 +

Сг + — Пп -

m) Т JtzzHL с

р

 

 

 

. 2

 

п

 

 

2

'

 

 

п

 

 

и после простейших преобразований

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С-%

 

 

/ т г 2 0 С л

 

0 С г (п ,—туьср

 

 

 

 

 

 

 

2п

 

 

 

 

2п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Го

 

9

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1ак как

— = — , то окончательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Съ =

т Ж А

N Ci

(n — m)2 вСр

 

 

(VIII.16)

 

 

 

2n

п

 

2п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

145

Для того чтобы найти минимум Са как функции двух перемен­ ных, приравняем производные нулю >:

дСъ

т 20Сд

 

NCi

, QCp

j

т 2

-j =

0; (VIII. 17)

дл

2л2

 

л2

2

 

л2

 

 

 

 

 

dCs

/лбСд

 

(л — лг) ЬСр

= 0.

 

(VIII.18)

 

дт

 

п

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из равенства (VIII.17) после упрощений найдем

 

 

 

/г2С „ - т 2(Сд+ С )=

2NCi

 

 

(VIII.19)

Упрощая выражение (VIII.18), получим зависимость

 

 

 

т — п ■

С п

 

 

 

(VIII.20)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с А + Ср

 

 

 

 

Решая совместно соотношения (VIII.19) и (VIII.20), получим

 

 

 

 

NCt

Сд + Ср

 

(VIII.21)

 

«опт =

1

/ 2

 

 

 

 

0Сд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т,ОПТ

 

 

 

 

с А +

Ср

 

(VIII.22)

 

с„

 

 

 

 

 

 

Величина

 

носит название плотности убытков из-за

р =

С„

 

С а +

 

 

 

 

 

 

 

неудовлетворенного спроса. Следовательно,

 

 

 

 

 

 

топт

«' ‘'оптР >

 

 

 

(VIII.23)

причем всегда 0^ р < 1,0 .

 

 

задач

дорожного

строительства

При экономическом анализе

лишь в отдельных случаях затраты на создание запаса размером в одну партию деталей С; могут быть независящими от количества деталей в этой партии. Обычно это может иметь место, когда рас­ сматриваются мелкие детали (запасные части и т. п.). Примени­ тельно к мостовым и дорожным конструкциям, сборным дорожным покрытиям затраты на создание запаса в я элементов конструкций будут пропорциональны числу этих элементов в партии (bn).1

1 Вычислив вторые производные, необходимо проверить в соответствии с пра­ вилами экстремального анализа, выполняются ли условия:

(УСЪV

д*С <0;

> 0 и

д^Са >0.

\ дпдт /

drfi дт2

дп2

дт2

„ f

с^ ,

3™ Условия выполняются и при найденных из соотноше­

нии (VIII.1/)

и (VIII. 18) «опт и т 0пт С2 имеет минимум.

 

146

Рассмотрим, как изменятся в этом случае зависимости (VIII.21)

и (VIII.22). Преобразуем

исходное соотношение (VIII.16):

 

Съ= т2вСл

+

— М +

2п

 

 

(VIII.24)

 

 

2n

'

п

 

 

 

 

1

Найдем

частные производные

 

дСъ

dCv

 

и

приравняем их к

----- и

— -

 

нулю

 

 

 

 

 

дп

дт

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дСъ

т2

6СЛ

,

®СР

/ ^

т2

\ q

 

дп

п2

2

^

2

(

«2

 

затем

 

п2Ср — m2(СА-\-С )— 0;

 

 

(VIII.25)

 

 

р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дС1

m

 

 

 

 

 

 

0;

 

^ В С А — ВСр ( 1— ^-) =

 

dm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nCp - m ( C A+ C p) = 0.

 

 

(VIII.26)

Решая

совместно

соотношения

(VI11.25)

и

(VIII.26), получим

n = m и отсутствие минимума функции Сл, кроме формального ми­ нимума при п = 0.

К такому же результату можно прийти, принимая затраты на доставку запасов равными bN в первом рассмотренном ранее слу­ чае, когда неудовлетворенного спроса нет (m — n).

Если же принять, что доставка товаров на склад выражается

линейной функцией

 

CT=C ,- l-bn,

(VIII.27)

то при дифференцировании исходных уравнений и отыскании мини­ мума функции Сц получили бы вновь формулы (VIII.7) — (VIII.11) и (VIII.21) — (VI 11.22). Таким образом, при отсутствии постоянной составляющей стоимости доставки Сг, не зависящей от числа дета­ лей (конструкций) в партии, функция Сц минимума не имеет. Если же функция транспортных издержек принимается в виде (VI 11.27), то функция Се имеет минимум при значениях «опт, даваемых фор­ мулами (VIII.7) и (VIII.21). В эти формулы величина Ь, выражаю­ щая стоимость доставки единицы продукта на склад, не входит. Этот на первый взгляд необычный результат логически можно объ­ яснить следующим образом. Если часть затрат на доставку товаров пропорциональна их объему bn, то сократить ее за счет изменения численности деталей в партии п невозможно. В самом деле при любом п эти расходы всегда составят bN, где N — общее число де­ талей, доставляемых на склад в течение срока 0. Поэтому в итого­ вые формулы (VIII.7) — (VIII.II) и (VIII.21) — (VIII.22) величина b

147

Смотрите также файлы