Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

пульсы, случайно распределенные во времени. В качестве датчика таких импульсов могут применяться, например, радиосхемы, уро­ вень шумов в которых подчинен вероятностным закономерностям, а также устройства с распадом радиоактивных веществ.

Методы математического генерирования случайных чисел осно­ вываются на использовании следующего фундаментального соотно­ шения теории вероятностей:

/ f { x ) d x = R i, (IX.3)

где Ri — случайные числа с равномерным их распределением в ин­ тервале от 0 до 1; Xi — случайные числа с законом распределения, соответствующим плотности распределения.

Если нам необходимы только положительные случайные числа Xi, то нижний предел интеграла (IX.3) равен нулю.

Сравнивая (ШЛО) и (IX.3) легко уяснить смысл последнего со­ отношения. Ясно, что величина Ri представляет собой интегральную вероятность значений случайной величины, меньших х\. Эта вероят­ ность может находиться в пределах от 0 до 1. Поэтому если в этом интервале выбрать наугад какое-то число Ri, то Xi будет представ­ лять собой случайное значение аргумента плотности распределения с законом f(x). Это наглядно иллюстрирует рис. 8. Следовательно, для получения случайных чисел с любым законом распределения f(x) нужно разрешить интеграл (IX.3) относительно верхнего пре­ дела Xi, что, к сожалению, далеко не всегда возможно в конечном виде, но всегда осуществимо с любой требуемой точностью на осно­ ве численных методов интегрирования и применения ЭВМ.

Рассмотрим применение соотношения (IX.3) для получения слу­ чайных чисел с показательным законом распределения.

В гл. IV было показано, что для Пуассоновского потока вероят­ ность интервалов между смежными событиями, больших 0, дается

Но, как ясно из гл. III, соотношение (IX.4) по своему смыслу представляет собой интегральную функцию распределения Е(0). Следовательно, в силу (III.7) мы можем записать выражение для плотности вероятности f(0) в следующем виде:

Внесем теперь (IX.5) и (IX.3) и произведем интегрирование в пределах от 0 до х{, так как интервалы между смежными события­ ми могут быть только положительными:

153

Так как Ri есть равномерно распределенное случайное число, то и (1—R i ) является таковым.

Возьмем логарифм (по основанию е) от обеих частей соотноше­

Ясно, что х ,^ 0 , так как In R / ^ 0.

Таким образом, зная среднюю плотность Пуассоновского потока к с помощью равномерно распределенных случайных чисел R i, мы

легко будем получать случайные числа X; с показательным законом распределения. Рассмотрим, как же генерируются необходимые для этого равномерно распределенные случайные числа Ri.

Одним из способов получения таких чисел является способ Ней­ мана, состоящий в том, что берется некоторое произвольное число и возводится в квадрат; в полученном результате отбрасываются цифры с обоих концов и середина квадрата вновь возводится в квадрат и т. д.

Если повторять эту процедуру достаточное количество раз, то середины квадратов Ri2 дают равномерно распределенную после­ довательность так называемых псевдослучайных чисел. Имеются и другие способы генерирования случайных чисел. Ниже приведены 50 случайных чисел:

Рассмотрим теперь методику получения случайных чисел с нор­ мальным законом распределения. Как было показано в гл. III, для

математического ожидания х = 0 и а2=1 функция f(x) принимает вид:

154

или F ( x i ) = R i.

Так как интеграл в левой части (IX.10) не разрешается в квад­ ратурах, то возможен следующий путь получения нормально рас­ пределенных случайных чисел: из таблицы равномерно распреде­ ленных случайных чисел извлекаем число Rf, по таблице функции F (х) из приложения 1 находим соответствующее Ri нормально рас­ пределенное число Xi. Так, если воспользоваться для этого данными первой строки табл. 25, то получим Ri = 0,22719. Из приложения 1 найдем:

х 1= —0,75

Подобным образом составлена таблица нормально, распределен­ ных случайных чисел, приведенная в приложении 8. Охарактеризо­ ванная методика наглядно иллюстрируется рис. 8.

Рассмотрим еще один способ получения нормально распределен­ ных чисел. В соответствии с центральной предельной теоремой тео-

Vn

155

Запишем выражение для нормированного отклонения случайной величины Хг от ее математического ожидания ша:

Величина Xj и будет нормально распределенным случайным чис­ лом, выраженным в виде нормированного отклонения. Таким обра­ зом, данная методика получения нормально распределенных слу­ чайных чисел характеризуется такой последовательностью дей­

основе равномерно распределенные случайные числа также могут генерироваться машиной как на основе физических, так и аналити­ ческих методов (например, по методу Нейманна). Процесс легко поддается контролю хотя бы повторным счетом величин х,-, и поэто­ му широко применяется при решении практических задач. Имеются достаточно обширные готовые таблицы нормально распределенных случайных чисел, одна из которых приведена в приложении 8.

§ 22. Оценка точности результатов, полученных методом Монте-Карло

Для любых законов распределения случайной величины с по­ мощью неравенства Чебышева можно получить верхнюю оценку ошибки, т. е. ошибка не может быть больше результата, получен­ ного методом Монте-Карло.

Если т — математическое ожидание результата процесса, L — число благоприятных его исходов при N испытаниях, то неравен­ ство Чебышева принимает вид:

L

где р > — вероятность расхождения не меньшего

N

чем а между результатом испытаний по методу Монте-Карло и не­

известным математическим ожиданием т результата процесса; ц — экспериментальное среднеквадратичное отклонение.

156

Определим с помощью (IX. 12) вероятность ошибки не мень­ шей За.

При нормальном законе распределения результата, получен­ ного методом Монте-Карло, ошибка будет значительно меньше. В самом деле, на основе правила «трех сигм» можно записать:

Как было показано в гл. IV

V N

Неравенство (IX. 13) дает точную оценку возможной ошибки. Таким образом, для определения ошибки результата моделирова­ ния случайной величины необходимо вначале по данным N испы­ таний вычислить среднее статистическое х, статистическое средне­

квадратичное отклонение а и лишь затем оценить ошибку результа­ та на основе неравенства (IX.13). Если ошибка окажется большей, чем допустимая в решении задачи, то, как ясно из (IX.13), потре­ буется увеличение числа испытаний N.

Из этого следует, что точность результата может быть оценена лишь в ходе эксперимента и нельзя заранее точно определить необ­ ходимое число испытаний N. В начале априорно назначается число

х с требуемой точностью.

Вид зависимости (IX. 13) позволяет легко уяснить, что так как

ошибка пропорциональна ~ , то для уменьшения ошибки, скажем,

VN

в10 раз требуется увеличить число испытаний примерно в 100 раз.

Вот почему получение результатов высокой точности методом Монте-Карло возможно лишь с помощью быстродействующих ЭВМ.

§23. Примеры применения метода статистических испытаний

вэкономическом анализе

Рассмотрим несколько примеров реализации методики, охарак­ теризованной в предшествующих разделах главы.

157