Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

комендуемое в ряде отечественных работ, без дополнительного ана­

лиза неправомерно.

Поэтому наиболее правильным является следующий методоло­

гический путь:

1. На основе статистических наблюдений определяем

1=1

К_

2. Вычисляем з2 = 2 (h — ^efPi- i = 1

3. Находим с помощью соотношений (III.33) и (III.34) парамет­ ры формы и размеры у и тр Если у=ть причем р ^ З , то, как ясно из рис. 14, с достаточной достоверностью можно пользоваться зако­ ном нормального распределения длительности работы t.

тр--5 Тр-П

Рис. 41. Сетевой график с показом дисперсий у работ и собы­ тий (составлен по данным рис. 38)

В дальнейшем параметры 1е и а2 для всех работ используются при просчете графика и оценке его надежности.

Просчет графика состоит в определении ранних и поздних дат свершения всех событий вплоть до заключительного, установлении резервов у событий и работ, определении критических путей. Мето­ дология такого просчета ясна из предыдущего параграфа.

Под надежностью графика будем понимать вероятность заверше­ ния его работ в заданный срок Так как длительность выполнения каждой работы есть случайная величина, отклонения ее от матема­ тического ожидания характеризуются величиной дисперсии. Следо­ вательно, случайными величинами в сетевом графике являются и даты Гр свершения всех событий. Поэтому при построении сетевого графика целесообразно указывать на нем не только величины te

иГр, но и величины дисперсий при них (рис. 41).

Вдальнейшем оценка надежности сетевых графиков зависит от того, является ли критический путь неизменным или же он может

меняться в зависимости от успеха выполнения тех или иных работ графика. В первом случае, когда критический путь является неиз­ менным (детерминированным), надежность графика можно оце­ нивать аналитическим путем. Во втором случае, когда критический путь недетерминирован, т. е. может менять свое начертание на гра­ фике, оценка надежности графика может быть произведена статис­ тическим путем (методом Монте-Карло). Рассмотрим последова­ тельно оба эти метода оценки надежности сетевых графиков.

При детерминированном критическом пути оценка надежности графика основывается на следующих положениях. Принимают, что продолжительности выполнения отдельных работ графика являют­ ся вероятностно-независимыми величинами (в подавляющем боль­ шинстве случаев выполнения дорожных работ это предположение вполне оправдано). Это позволяет определить дисперсию Тр любого события, суммируя дисперсии предшествующих работ (см. рис. 41). В итоге, определив длительность критического пути, можно полу­ чить и дисперсию конечного события ок2 по формуле

ваемому пути.

Согласно теореме Ляпунова, сумма достаточно большого числа независимых случайных величин, не слишком резко отличающихся друг от друга по влиянию на нее, имеет распределение, близкое к нормальному, независимо от того, какому распределению следуют суммируемые случайные величины. Выше было отмечено, что про­ должительности отдельных работ характеризуются бета-распреде­ лением. Что же касается срока завершения всех работ графика, то его, по Ляпунову, можно считать распределенным по нормальному закону, плотность вероятности которого описывается зависимостью (III. 17). Кроме того, для конечного события графика величина Тр есть не что иное, как математическое ожидание этого момента. Это вытекает из известной теоремы теории вероятностей, гласящей, что сумма математических ожиданий случайных величин дает матема­ тическое ожидание их суммы. Таким образом, мы знаем, что Тр для конечного события есть математическое ожидание нормально рас­ пределенной случайной величины, дисперсия которой известна и оп­ ределяется формулой (XI. 16). Все это позволяет оценить надеж­ ность графика, т. е. дать вероятностную оценку выполнения работ графика в пределах любого интересующего отрезка времени, чаще всего в заданный на строительство срок.

Для этого может быть использована фундаментальная формула (III.20) теории вероятностей, позволяющая определить вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на за­ данный участок, ограниченный величинами (3 и б. Применительно к рассматриваемому вопросу эту формулу следует записать так:

188

ласа), значения которого приведены в приложении 2.

В качестве примера определим, какова вероятность завершения работ сете­ вого графика (см. рис. 41) в период времени от Г = 23 до Г = 27.

Имеем р = 23; В = 2 7 и Гр = 25; <^ = 2 ,6 — по графику. Тогда

= ^ - [ф(0'878)- ф( — 0,878)].

Так как функция Лапласа является нечетной, т. е. Ф (—U) = —Ф (и ), получим

V

р (23< Г р< 27) = — 2Ф(0,878) — Ф (0,878). Из приложения 2 найдем, что Ф (0,878) =

=0,785, т. е. вероятность окончания работы по сетевому графику в указанный период времени составляет 78,5%. В большинстве случаев имеется заданный срок Гз завершения всех работ, и поэтому может возникнуть вопрос, какова вероятность их завершения не позднее этого срока. Допустим, что для работ графика (см. рис. 41) Г3=25. Какова вероятность завершения работ по графику не позднее указанного срока? Пользуясь формулой (XI.17), примем [3 = 0 и 6=25.

Тогда

2

Этот результат можно было заранее предвидеть, так как если график спла­ нирован с окончанием работ точно в заданный срок, то вероятность окончания их досрочно (ГК<Гэ) равна вероятности завершения работ после назначенного срока и обе они равны 0,5. Рассмотрим еще один пример оценки надежности се­ тевого графика, а именно графика, представленного на рис. 39.

Воспользуемся для этого формулой (XI.17) в виде:

1

(XI. 18), обусловлено тем, что аргумент функции Лапласа -----в практических

I/

V 2

/Г3

Для сетевого графика, представленного на рис. 39, Гр= 133,6 ч. Тогда с учетом данных табл. 32

189

т. е. находить, на какой срок завершения работ должен быть состав­ лен график при заданной его надежности. Рассмотрим решение подобной задачи на следующем примере.

Определить, на какой срок завершения работ должен быть составлен сетевой график, с тем чтобы вероятность завершения работ в заданный срок Г3=19 мес равнялась бы 0,8. Известно, что величина ок = 2 мес. Задача сводится к отыска­ нию р [0 < Т < 19].

Изложенный метод оценки надежности графиков основан на анализе критических путей. Если критический путь (пути) в ходе строительства не меняется, то метод является точным. В случаях

190

когда критический путь может изменяться, метод может давать ошибочные результаты. В этом случае целесообразно использовать второй метод оценки надежности графиков с помощью статисти­ ческого проигрыша. Суть последнего состоит в многократном моде­ лировании сетевого графика. Фактическая продолжительность каж­

дой работы tlVj может принимать любое из множества значений, определяемых из зависимости (IX. 18):

Щ = ^е1] +

где Uj — расчетная продолжительность работы; £— нормированное случайное отклонение для соответствующего закона распределения

(см. гл. IX ).

Извлекая случайным образом значение £, можно каждой работе сетевого графика присвоить случайную оценку ее продолжительно­ сти 4у/, после чего весь график просчитывается и определяется расчетный срок завершения работ Tv. Такое однократное моделиро­ вание называется реализацией графика. Проведя N реализаций, получим N значений Tv, из которых п значений удовлетворяют ус­ ловию Гр^Гз (т. е. работы выполняются в заданный срок). Вероят­ ность завершения работ в установленные сроки определится из

ft

зависимости р(Т < ;Г 3)= Нт — ■.

JV -со N

Отсюда видно, что точность результата зависит от числа реали­ заций,, которое может достигать сотен и даже тысяч. Поэтому, как уже отмечалось, использование данного метода оценки надежности графиков возможно, как правило, с применением ЭВМ.

В настоящее время разработаны также и аналитические мето­ ды, позволяющие учесть влияние на Гр не только критических, но и всех других путей. Однако эти методы еще достаточно сложны для практического использования [10].

Определенный интерес представляет метод оценки надежности, учитывающий своевременность выполнения работ не только на всей дороге, но и на промежуточных участках или объектах.

Строительство дороги протяженностью L км спланировано на Tp = Tvn при заданном сроке Тзп. Строительство разбито на п участ­ ков, которые сдаются в эксплуатацию последовательно. При пла­ нировании установлены сроки окончания работ на участках соот­ ветственно ГР1 , Тр2 , ..., Трп-и Tvn. Если обозначить Тзи Тз2, ..., 73„_и

Тзп — директивные (заданные) сроки сдачи участков, то вероят­ ность своевременной сдачи в эксплуатацию всех участков можно определить из формулы

J91