Файл: Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 175
Скачиваний: 0
88
<*• •
20.343. Случайная переменная распределена в промежутке (-1,1)
нерерывно с плотностью, вероятности ( % ) = j ..
Найти математическое ожидание.дисперсий и среднее квадратичес-
вкое отклонение.
20.344. |
Найти среднее значение |
и дисперсию случайной |
величины |
|
К |
.имеющей в интервале (— |
>тр ) |
плотность раслределе- |
|
*ния |
f (х) = | - Ш гХ |
|
|
|
|
|
|
||
20.345. |
Обнаруживаемый.радиолокатором объект может находиться |
|||
с равной вероятностью в любой точке крупа |
радиуса R |
.Для |
||
|
|
|
С |
|
изучения влияния помех,накладываемых на сигнал локатора,при-
ходится рассматривать оЯклвнения объекта от' вертикального
.диаметра круга.Отклонение объекта от вертикального дааметра
есть случайная величина X .Найти ее плотность,математи
ческое ожид&ние,дисперсию,а также вероятность того,что объект удален от вертикального диаметра меньше,чем на половину ра-
.1
диуса.
20.346. Случайная величина |
X |
задана интегральной |
функцией |
|
|
г о |
|
ши |
|
|
|
F ( « )= i |
х |
яри |
1 1 |
■ |
при |
|
|
о |
|
|
о |
X |
£ |
0 |
0 |
< |
X X 1 |
X |
> |
! |
Найти плотность,математическое- 1ожидание и дисперсию.1*
а з .347. |
'Случайная“величина |
X |
задана функцией распределе- |
|||||
|
|
о' |
. |
~ |
|
• ч. |
|
0 |
1ШЯ |
в |
|
® |
■ |
« |
„ |
■ |
» |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
89 |
|
Q |
при |
Д 4 О |
Ft*)32 s , § H - e o s M j |
при o < x < i |
|
I |
при |
X > I |
Найти плотность .математическое ожидание и среднее квадратичес кое отклонение.
20.348. Модуль вектора скорости молекулы газа есть случайная величина,распределенная по закону Максвелла,т.е. имеет плот
ность |
° |
^ |
|
t |
|
|
|
| { X) * |
|
X |
ПРИ ^ >0 |
и I(х ) = 0 |
|||
при |
X < 0 |
.Найти среднюю скорость и дисперсию величины |
|||||
скорости молекулы. |
|
|
|
|
|||
20.349. Случайная |
величина |
распределена по закону |
|||||
Р елея.т.е. |
имеет |
плотность |
|
|
|
||
|
|
|
О |
* г |
при |
X 4 |
О |
|
'?(*) |
2 ЙНi. - Й Х |
при |
X > О |
|||
Найти коэффициент /1 .математическое ожидание.дисперсий медиану.
§ 2 1 .Нормальное распределение.Правило 3 о |
.Предельная |
теорема. |
• |
I . Если плотность распределения случайной переменной опреде ляется выражением
|
е |
(X-Q.J |
|
♦ |
Т |
б 7 |
|
f (*) tf v T F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
90 |
|
|
|
|
|
|
|
то говорят,что |
X |
|
имеет нормальное распределение с парамет |
||||||||||||
рами |
й |
и |
б |
|
.Вероятностный смысл параметров |
& |
= М (К}, |
||||||||
б |
= У д ( х ) |
. |
Обозначение: |
Х е |
N |
|
) |
|
|
||||||
2. |
Для подсчета вероятности ' p ( H t < X < |
Xg ^ |
|
исполъзу* |
|||||||||||
ется формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
р (*,**<*,)* |
|
|
|
- Ф |
|
|
|
, |
||||||
где |
Ф « - у ^ |
* |
|
- 4 |
« |
• |
|
|
|
|
|||||
|
5 |
/ |
|
|
|
|
|
||||||||
Функция |
ф |
(к) |
табулирована.В частности |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
P ( | X - Q | < 6 ) a 2 ф { - | ) |
|
|
|
|
||||||||
Это соотношение |
называется формулой Лапласа |
|
|
|
|||||||||||
3. |
С вероятностью,очень близкой к единице (равной*2 ф Ш = |
||||||||||||||
= 0,9973) |
нормально распределенная величина |
|
X |
удовлетворяет |
|||||||||||
неравенству (правило 3 6 |
): |
а - З б < |
X < |
й .- И б |
. |
||||||||||
4. |
Если |
X, |
и |
Х4 |
независимы и распределены нормально |
||||||||||
с параметрами |
|
СЦ , |
б , |
и |
|
О-g |
,то |
X j + |
X2 |
также рас |
|||||
пределены по нормальному закону с параметрами |
й |
= (X(4-0g |
|||||||||||||
И б |
Я |
У б ® |
+ |
б У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Если |
X j |
, |
|
|
, Х п |
- |
взаимно независимые одинак во рас |
|||||||
пределенные случайные, величины,имеющие равные г., .тематические |
|||||||||||||||
о.лщания и дисперсии |
|
|
Д ( Х „ ) . в * |
и - 1.2.......*) |
|||||||||||
|
|
|
м { х „ ) - а , |
||||||||||||
то для случайной величины |
X |
= )С |
Ха 4*... -ЬХц |
справед |
|||||||||||
лива аормула (предельная теорема)":
Погрешность этой формулы у.1еньгнется с увеличением fl
Формулой можно пользоваться при |
П |
» |
30. |
|
|
' |
|
Следствием последней формулы являются следующие соотношения |
|||||||
т> |
! Д < х <. | ) « |
Ч (*в' £ ) - Ф ( £ & |
|||||
* |
1 |
||||||
•П £ j x - a j < £ ) = г |
|
|
& V n V |
’ |
|
||
|
|
|
|
6 |
f |
|
|
где |
$ _ |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
ф (| x - r i a [ < £ } « |
2 ф ( |
8 |
) |
|
|
||
б-/г' |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
21.350. При взвешивании тела получен средний вес |
4,36 |
кг,сред |
|||||
нее квадратическое отклонение веса |
© |
= 0,02 кг.Какой про |
|||||
цент всех взвешиваний дает результат |
от 4 , 3 |
до 4,4 кг |
? |
||||
21.351. На станке изготовляются детали,длина которых должна
равняться а * ем.Известно,что 75% деталей отклоняются от
нормы не более,чем на - Змм. Какой |
процент деталей будет от |
|
клоняться от й |
не более,чем на |
, 4 5мм ? |
21.352. Средний вес снаряда равен 12,2 кц.Вес снаряда распре делен, по нормальному закону.Установлено,что отклонения веса от номинала,превосходящие * ЮОг ,в среднем,встречаются 4
раза на каждые 100 снарядов.Найти среднее квадратическое от клонение веса снаряда.
21.353. Стрельба ведется из .начала координат вдоль оси ОХ .
Средняя дальность полета снаряда равна P500g.Дальность полета снарядов распределена по нормальному закону со средним квадра тическим отклонением 45м.Найти процент снарядов,дающих перелет от 10. до чОм. " .