Файл: Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 177
Скачиваний: 0
99 |
|
|
рнтргльным моментом К |
г*о порядка случайной величины.# |
|
разываетея математичеокое |
ожидание |
К -ой степени центри |
рованной случайной величины |
К |
|
М к(Х)*М(х‘). м[(к-ш,}‘] •
Центральные моменты вычисляются по формулам
W * ( x ) » Z |
n«< |
“ |
I»T |
MK(x) * 5
Математическое ожидание случайной величины X есть ее
первый начальный момент,и дисперсия - второй центральный.
14 (х)®<4Дх) , Д 0 0 в М2(х)
Центральные момрнты выражается через начальные по формулам
a |
|
|
4 |
</«3~ 8 |
+ £ ^ • л. |
Л |
"* ^ |
^ S' ^ j i | |
Асимметрией (отклонением |
от симметричного распределения) на- |
|
зывается |
♦ |
|
отношение центрального момента третьего попдка к кубу |
||
среднего |
квадратичного отклонения |
* |
|
|
|
|
100 |
|
|
3 |
|
|
б* |
|
Если асимметрия положительна, то максимальная ордината кривой |
|||||
в плотности (с |
одним максимумом) |
смещена влево от математичес- |
|||
|
|
|
|
|
* о |
кого ожидания и смещена тем больше,чем больше аси’'иетрия.При |
|||||
отрицательной асимметрии кривая плотности смещена вправо от |
|||||
математического ожиданий. |
|
|
|||
йссцеесом |
<2 х |
называется характеристика,которая опре |
|||
деляется ^равенством: |
|
|
|
|
|
|
9 |
_ |
Jill |
х |
|
|
|
“ |
~ |
¥ |
3 - |
Для Нормального распределения |
асимметрия и эксцесс равны нулю. |
||||
|
|
|
о |
0 |
|
«Ксцесс служит для оценки "крутости" кривой плотности,т.е.
большего или меньшего подъема кривой распределения случайной величины
24.381. Вычислить центральный |
момент 4-го порядка для нормаль- |
|
|
|
О |
ного распределения N |
^ й |
) . Определить эксцесс. |
24.382. Производится три независимых выстрела по мишени.Беро-
ятнщеть попадания при кавдом выстреле равпа 0, б,Случайная ве-*
личина- Я - число попаданий.Определить асимые^рИА.
о
24.383. Непрерывная случайная величина |
й |
подчинена |
закону |
|||||
распределения с пйшюстыо |
f |
W - |
i r |
* 4 |
(распределе- |
|||
г |
* |
О |
|
|
эксцесс. |
-■ |
“ |
|
ние Лапласа)»»Определить асимметрию м |
’ |
|
||||||
& |
|
О |
, |
' |
|
|
|
|
IOI
24.384. Случайная величина |
К |
подчинена |
закону распределе- |
||
'ния с плотностью,которая |
задана формулой |
х 4 |
о |
||
' |
Q |
|
прм |
||
иПри 0 < х 4 1
|
|
1 0 |
|
при |
X> * |
|
Найти асимметрию распределения. |
|
|
|
|||
24.385. Случайная величина |
X |
распределена |
равномерно в |
|||
промежутке ( |
U. t h |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
X < Q , |
X > Й |
|
|
^ £ -а |
|
при |
О. < X < & |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти асимметрию и эксцесс. |
|
|
|
|
||
24>386* Найти начальный момент |
К |
-го порядка для нормаль-, |
||||
ного распределения |
( 0 , 4 ) |
|
|
|
||
24.387. определить математическое |
ожидание и дисперсию случай |
|||||
ной величины |
X |
распределенной по закону Пуассона |
||||
о
24.388л Определить коэффициенты асимметрии и эксцесса случай ной величины X .распределенной по закону Пуассона
24.389. Найти коэффициент асимметрии биномиального распределе ния.
Указание, для нахождения начальных моментов использовать функцию
* f |
~ Л \ 0 |
mt т |
m n-m |
nt).=(!>en} =21. е |
c n р |
% |
|
пч = О
Ответы и решения
- газ -
|
агдаы |
и евш им |
|
§1 . Основные понятия. |
9 |
вероятности. <?'. |
|
Определение |
|||
I . I . Лампочка оканотся дефектной,если |
возьмем одну из 9 де- |
||
фектных лампочек. |
|
rt |
|
|
|
|
|
т = 9, |
0=225 |
|
|
Р= |
9 |
|
|
225 |
|
|
|
1 .2 . Выпишем номера страниц,оканчивающихся на 5: 5,15,25,
3 5 , 235.Число благоприятных случаев 24.Поэтому
Р=25524
1.3. Всех возможных случаев 7! =*- 5040.Случаев благоприят
ствующих 2. Поэтому
_ J ___
Р= 252С
1 .4 . Общее число случаев равно числу размещений из 4-ех
элементов,т.е. 4! = 24.Благоприятствующих 2 случая.Поэтому
P ^ J L
Ш
1 .5 . & ) Всего в комплекте домино 28 костей.Вын :мается одна
кость.Вероятность того,что она будет 5 |
: 5 равна 1/2 8 ,т .к . |
|||
событию благоприятствует только один случай. |
|
|||
. |
5:5 |
|
gctaaesk. |
|
б) После извлечения кости |
в комплект®^" костей с |
|||
пятью очками 0 :5 , 1:5, 3:5, |
3:5, |
4 :5 , |
6 :5 .Благоприятствую- |
|
щих случаев 6. а всего костей |
27. |
** |
С |
о |
Поэтому^а— = -г- |
||||
О |
|
<• |
|
|
|
- |
т |
|
- '* |
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
кетонов |
|
|
|
0 |
||||
1.6. |
По условию всего |
' О.Из них 27 не содержат |
|||||||||||
цифры 2. Если |
Я |
- |
искомое. событие,то Р ( А ) -- щ |
= 0,675. |
|||||||||
1.7. |
Пусть |
А |
- событие,заключающееся в том,что |
премий вы |
|||||||||
ждана или ученому или рабочему. Всего их будет 5 + 3 |
= 8 чело- |
||||||||||||
век.Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
“ |
||
|
|
|
|
Р '( А } - 4 |
= 0' 8 |
|
|
|
|
||||
1 . 8. |
Пусть |
|
А |
- |
событие,состоящее |
в том,что первая извле |
|||||||
ченная монета будет достоинством IG копеек.Очередность извле |
|||||||||||||
чения не имеет |
значения.Это |
з н а ч и т , что если вторую М о н е т у |
|||||||||||
считать первой,а первую - второй,то росле того,как будет |
|||||||||||||
вынута 2-я |
монета (по начальной нумерации) монет останется |
||||||||||||
13-1=12,в том числе |
С |
|
|
|
|
* |
|
|
|||||
3 монеты по 10 копеек и вероятность еще . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
раз вынуть 10-копеечную монету равна: |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
P ( A ) - T T - o . i 5 |
|
|
|
|
|||||
1 .9 . |
Количество возможных случаев (сопряжений валика и втул |
||||||||||||
ки) |
равно |
п |
|
=15.30=450. Узел имеет |
нормальное качество |
||||||||
при сопряжении нормальных валиков с нормальными втулками |
|||||||||||||
m |
= 11.26 = 286.Сопряжений с |
пониженным качеством всего |
|||||||||||
450-286 = 164.Пусть |
.А |
- событие,состоящее |
в том,что со |
||||||||||
бранный узел |
пониженного качества. Тогда |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
Р(А)“ J64I4 5 0 |
о |
|
|
|
|
||||
1.10. |
Если первую кость |
удалить,останется 27 |
костей,Пусть |
||||||||||
первая |
вынутая кость имеет |
X |
очков^на одной половине. |
||||||||||
Тогда найдется еще 6 костей,на |
которых будет |
по ас |
бчков |
||||||||||
на одной.; половине «Аналогично, у очков |
в». |
половины по |
|||||||||||
вторяется "еше на /дести костях.Следовательно,из 27 случаен ° |
|||||||||||||
благоприятными |
будут 12,^сли |
Л - искомое событие,то |
|||||||||||
* Р(А) = |
9 |