Файл: Дьярмати, И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы.pdf

Введение

С точки зрения физики материя, непрерывно запол­ няющая Вселенную в макроскопических масштабах, об­ ладает механическими, электромагнитными и термиче­ скими свойствами и формами движения. Одновременное описание всех этих свойств и их изменения в простран­ стве и времени имеет существенное значение в теорети­ ческом и практическом отношении. Поэтому ученый, исследующий закономерности разнообразных изменений состояния материи, не может целиком полагаться на знание законов, относящихся к приближенным моделям системы, поскольку они связаны лишь с одной из пере­ численных форм движения макроскопического вещества. Действительно, некоторыми свойствами или формами движения материальных систем можно пренебрегать только в исключительных случаях или в таких условиях, которые практически трудно осуществимы. Сегодня ма­ кроскопическая физика, ограниченная рамками меха­ ники, электродинамики и термодинамики, едва ли в состоянии справиться с проблемами, возникающими в различных областях быстро развивающихся технических наук. В настоящее время в развитии единой теории, по­ зволяющей одновременно описать все физические, хими­ ческие и тому подобные формы движения макроскопи­ ческой материи, нуждаются главным образом техниче­ ские науки и промышленность. С точки зрения физика, это практическое требование означает необходимость развития единой классической теории поля, основанной на аксиомах непрерывности.

Между тем в настоящее время, как известно, нельзя дать единого представления классических теорий по­ ля — механики сплошных сред, электродинамики и тер­ модинамики, — поскольку в нашем распоряжении до сих пор нет достаточно ясной и точной формулировки

26 В ведение

системы аксиом термодинамики. Таким образом, для соз­ дания модели, охватывающей все упомянутые явления с помощью классических теорий поля, необходимо, что­ бы термодинамика была приведена в соответствие с принципами теории поля; кроме того, необходимо, чтобы полученную таким образом теорию можно было вывести из нескольких аксиом или из одного вариацион­ ного принципа.

Некоторые авторы уже подчеркивали, что термоди­ намику (подобно механике и электродинамике сплош­ ных сред) можно рассматривать как типичную теорию поля. Используя подобную концепцию, необходимо (по­ мимо хорошо известных постулатов классической теории поля) предположить, что элементы объема или массы (целлы) сплошных сред можно рассматривать как рав­ новесные системы, а их состояния описывать при по­ мощи параметров равновесного состояния, не учитывая различные процессы, происходящие между соседними элементами. Как следствие этого условия, называемого локальным или целлулярным равновесием, неравновес­ ные состояния непрерывных сред могут быть описаны скалярным, векторным или тензорным полями макроско­ пических параметров состояния, которые, вообще го­ воря, зависят от пространственных координат и от вре­ мени. Таким образом, в термодинамике, подобно гидро-и электродинамике, изменения состояния описываются диф­ ференциальными уравнениями в частных производных.

Чтобы пользоваться параметрами термостатики как полевыми величинами, нужно переписать основные зако­ ны равновесной теории в форме локальных уравнений. Однако эти локальные уравнения содержат также пере­ менные механического и электродинамического харак­ тера, для которых справедливы хорошо известные из механики и термодинамики уравнения поля. Поэтому довольно трудно дать строгое введение в общую теорию поля термодинамических переменных, встречающихся в основных нелокальных законах равновесной теории тепла. Во всяком случае, в настоящее время развитие термодинамики на основе теории поля как единой тео­ рии континуума является актуальной и далеко не ре­ шенной проблемой физики.

Цель данной работы, помимо ее обзорного характе­ ра, — способствовать решению многих фундаментальных проблем. Эту цель можно достигнуть, однако, только изложив термодинамику с точки зрения основных по­ стулатов классической теории поля. Поэтому в гл. I из­ ложены наиболее существенные основные положения классических теорий поля.

Вгл. II рассматривается полная система уравнений баланса классической теории поля как в локальной, так

ив субстанциональной форме. В этой главе особое вни­ мание уделено выводу уравнений баланса для много­ компонентных систем.

Вгл. Ill дается наиболее общее изложение неравно­ весной термодинамики Онсагера (термодинамики необ­ ратимых процессов) для многокомпонентных и реагирую­ щих гидротермодинамических систем. После локальной формулировки первого и второго законов выводится уравнение баланса энтропии, играющее центральную роль в теории необратимых процессов. Затем следует полный вывод и анализ линейных законов и соотноше­ ний взаимности Онсагера для случая произвольных анизотропных и изотропных сред.

Гл. IV посвящена основным принципам и логическим основам общей теории. Обсуждаются основные свойства

неравновесных потенциалов (функций рассеяния). Дается общая формулировка в духе теории поля вариа­ ционного принципа (принципа наименьшего рассеяния энергии), эквивалентного полной теории Онсагера. При­ водятся альтернативные формы вариационного принци­ па, которые оказались весьма плодотворными как в тео­ ретическом, так и в практическом отношении.

В гл. V рассматривается принцип минимального производства энтропии и разъясняется его отношение к принципу Онсагера. Показано, что принцип минималь­ ного производства энтропии не является новым вариа­ ционным принципом, не зависящим от принципа Онса­ гера, а представляет собой лишь его альтернативную формулировку, справедливую для стационарных состоя­ ний. При помощи различных форм вариационного принципа, справедливых для стационарных состояний, дается общая теория стационарных состояний, а также

классификация стационарных систем. Определяются об­ щие условия стационарности для случаев теплопровод­ ности, диффузии в многокомпонентных системах, хими­ ческих реакций и т. д. и исследуется устойчивость таких состояний.

В гл. VI из вариационного принципа наименьшего рассеяния энергии, представленного через силы, выво­ дится уравнение Фурье для теплопроводности (во всех возможных видах), полная система уравнений Фика для многокомпонентной изотермической диффузии и обоб­ щенное уравнение Навье — Стокса для вязких течений. Вывод этих уравнений из нового, «силового», представ­ ления принципа наименьшего рассеяния энергии дока­ зывает, что такое представление является более полез­ ным, нежели первоначальное. Кроме того, опираясь на это новое представление, мы имеем возможность сфор­ мулировать новый интегральный принцип термодина­ мики. После общей формулировки интегрального прин­ ципа и введения функции Лагранжа для термодинамики показано, что уравнения Эйлера — Лагранжа, относя­ щиеся к интегральному принципу, эквивалентны полной системе уравнений переноса. Как непосредственная иллюстрация применения интегрального принципа про­ водится вывод уравнений переноса, описывающих раз­ личные неизотермические явления с учетом перекрест­ ных эффектов. Обсуждается связь между интегральным принципом термодинамики и принципом Гамильтона для полей. Наконец, после вывода канонических полевых уравнений, соответствующих интегральному принципу термодинамики, рассматривается преобразование Ле­ жандра диссипативных плотностей лагранжиана и га­ мильтониана и приводится каноническая форма инте­ грала рассеяния.

В приложении содержится краткая сводка используе­ мых в книге математических соотношений. Это, как мы надеемся, облегчит понимание встречающихся в тексте векторных, тензорных и других обозначений.

Часть 1

Теория поля и термодинамика

ГЛАВА I

Основные понятия теории поля

Наша основная задача состоит в том, чтобы дать формулировку основ термодинамики, соответствующую непрерывной модели физических систем. Поэтому нам необходимо овладеть основными понятиями теории поля, используемой для описания таких систем. В этой главе кратко рассматриваются основные понятия и теоремы классической теории поля, которые существенны для усвоения материала последующих глав. Хотя, с нашей точки зрения, в настоящей главе содержатся все основ­ ные сведения, необходимые для полного понимания пред­ мета, мы считаем нужным обратить внимание читателя на превосходные монографии Трусделла и Тоупина [1] и Седова [2], в которых дается систематическое и стро­ гое изложение классической теории поля.

§ 1. Задача классической теории поля. Деформация

Основная задача классической теории поля состоит в разработке механики, электродинамики и термодина­ мики непрерывных сред в трехмерном эвклидовом пространстве1). Более конкретно, главной задачей)*

*) Конечно, более общая задача классической теории поля со­ стоит еще и в том, чтобы дать инвариантную формулировку упо­ мянутых выше теорий, удовлетворяющую также требованиям тео­ рии относительности в пространстве Минковского или в римановом пространстве. Однако в настоящей книге мы не будем заниматься Приведением уравнений к инвариантной форме,

классической теории поля является исследование диффе­ ренциальных уравнений в частных производных, которые справедливы в эвклидовом пространстве для механиче­ ских, термических и электромагнитных параметров со­ стояния, зависящих от пространственных координат и времени, причем вид соответствующих функций опреде­ ляется нашими уравнениями. Для классической теории

Фиг. 1.

поля характерно использование гипотезы, согласно ко­ торой реальное пространство является эвклидовым. Та­ ким образом, всегда возможно введение декартовой си­ стемы координат.

Если і, і и ft — единичные ортогональные векторы в прямоугольной декартовой системе координат, то по­ ложение двух произвольных точек в этой системе дается

где Xu Xi, X3 и xu Xi, x3— координаты точек в рассма­ триваемой прямоугольной общей для них системе коор­ динат.

Построим теперь математические выражения, описы­ вающие деформацию (в физическом смысле) материаль­