Файл: Дракин, И. И. Основы проектирования беспилотных летательных аппаратов с учетом экономической эффективности.pdf

ности вероятности эксплуатационных нагрузок и несущей спо­ собности конструкции. В практике проектирования могут быть случаи других законов распределения. В этих случаях общая ме­ тодика определения надежности не изменится однако приве­ денные выше формулы (5.63), (5.64) и (5.65) изменятся.

Следует заметить, что математические выражения для функ­ ции распределения ф(А^н. э), являющейся композицией различных законов распределения, могут быть весьма сложными. В связи с этим рационально приводить решение к нормальному закону.

В связи со сложностью и ненаглядностью аналитического ана­ лиза поставленной проблемы приведения, проводим геометриче­ ский анализ. На левой стороне рис. 5. 8 приведены кривые функ­ ции ф(Л/э) и ф(А^н), аналогичные приведенным на рис. 5.7. Так как нас интересует функция q>(NH, э), где

N —N —N

то, очевидно, что на вероятность отказа конструкции влияют те области приведенных кривых, где могут быть значения

^ „ < л г э.

Нетрудно видеть, что указанное неравенство может иметь ме­ сто только внутри площади acdeb,,rjie точки а и b соответствуют таким значениям функций ф, что ими можно пренебречь, пли которые стоят на границе приемлемой точности измерений. Вне указанной площади везде значения

л ^н> ааэ.

Так как вероятность отказа конструкции определяется значе­ ниями функции <р(Л^н.э) при Nnc N 3, то очевидно, что эта веро­ ятность будет практически определяться совокупностью значений

213

за конструкции определяется формой и относительным положе­ нием кривых cdb и ade. Поэтому, если провести кривые нормаль­ ного распределения, близко подходящие к кривым cdb и ade, то определение надежности конструкции можно произвести приве­ денным выше методом. Следует заметить, что координаты точек

а и Ь довольно неопределенны, поэтому целесообразно проводить кривые нормального распределения соответственно через точки с и d или ей d.

При приведении возможных законов распределения к нор­ мальному полагаем, что в области cdb или eda кривые распреде­ ления по своей закономерности близки к кривым нормального распределения. Это в большинстве случаев соответствует реаль­ ным закономерностям при R > 0,99, так как кривые распределе­ ния ф в том и другом случаях идут с монотонным уменьшением

С помощью логарифмирования из этих выражений можно исклю­ чить величину M(N) и получить

Определение значения а из этого уравнения возможно методом последовательных приближений или с помощью графического решения уравнения.

Зная значение а, из выражений для фі и фг находим

2 1 4

плотности вероятности к нормальному закону с приемлемой для рассматриваемой дели точностью. Если какая-нибудь из функций ф(А^н) или <p(N3) в области их пересечения по своему характеру существенно отличается от нормального закона, то определение величины Яот можно сделать с помощью численного интегриро­ вания выражения (5.64), ограничиваясь конечной областью.

5.4. Расчетные формулы и примеры расчетов

Расчетную формулу для определения оптимальной надежно­ сти, или оптимального коэффициента безопасности можно полу­ чить из уравнения (5.55), найдя предварительно зависимость от оптимизируемой величины производной, входящей в это урав­ нение.

Как видно из выражения (5.57), коэффициент безопасности является в известной мере неопределенной величиной. Действи­ тельно, принятый при определении максимальной эксплуатаци­ онной нагрузки и минимальной несущей способности коэффици­ ент 3 является условным. Хотя он в среднем, действительно ра­ вен приблизительно 3, однако, например, для временного сопро­ тивления некоторых материалов он может достигать по ГОСТу 5 и даже выше, а для некоторых материалов до 2 и да­ же ниже.

Поэтому при стохастическом подходе более целесообразно ввести коэффициент безопасности по средним значениям (мате­ матическим ожиданиям)

В этом случае вес детали также следует представить через fM, тогда формула (5. 56) должна быть представлена в виде

отсюда

d Q ^ B Md f м.

Дифференцируя выражение (5. 63) и учитывая, что в правой части переменное z, получим

‘W'=7 k exp( - H ‘,z-

Следовательно,

Из выражений (5.68), (5.58), (5.59) и (5.62) следует

Используя выражения (5.68), (5.70) и (5.71), находим

3-го приближения. В качестве начального значения можно при­ нять 2 = 3. Задавшись 2 , определяют по формуле (5.71) величину

fm и затем по формуле (5.70)—ан.э; после чего по формуле (5.73) находят 2 . Результативное значение fM 0Пт определяется по фор­ муле (5. 71).

Переход к условному коэффициенту безопасности можно сделать по формулам (5.57) и (5.68). Величина оптимальной

216

надежности определится последовательно по формулам (5.65) и (5.60).

На рис. 5. 9 в иллюстративных целях приведен пример рас­ чета изменения затрат на поражение цели AQn. ц. За исходный вариант принят соответствующий условному коэффициенту без­ опасности /= 1,3. Оптимум получается довольно острый.

На величину /0пт влияет коэффициент вариации для эксплуа­

тационных нагрузок оэ. На рис. 5.9 даны два значения, отлича­ ющиеся в два раза: кривые Л и В. Из графика следует, что ко­

эффициент вариации сгэ может быть взят приближенно.

ность при этом получается У?0пт = 0,9988.

Стохастический метод оптимизации надежности и соответст­ венно коэффициента безопасности предусматривает наличие до­ статочного статистического материала по стохастическим харак­ теристикам эксплуатационных нагрузок и несущей способности. В этих целях является необходимым соответствующая обработка эмпирических данных'. В этой связи следует отметить работу А. А. Кузнецова и др. («Вероятностные характеристики прочно­ сти авиационных материалов и размеров сортамента», «Машино­ строение», 1970). Заслуживает также внимания теоретический

217