Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 49
Скачиваний: 0
Вероятность произведения |
независимых |
событий |
равна |
произведению |
||||||||||||||||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
их в ер оя тн остей . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 3 . Сложение вероятностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Суммой |
событии называется |
|
событие, |
состоящее |
в |
появлении |
хотя |
бы |
||||||||||||||
одного |
из |
них. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
П р и м е р . Извлекается |
одна |
из |
десяти |
заномерованных |
карто |
||||||||||||||||
чек. |
Событие Л - |
номер |
карточки четный, |
событие |
£> |
- |
номер |
крат |
||||||||||||||
ный трем. |
Тогда |
событие |
jH lb |
- |
номер |
четный |
или |
кратный |
трем |
или |
||||||||||||
совм естн о |
четный |
и |
кратный |
трем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Т |
е о р е м а. |
Пусть |
в |
результате |
опыта |
возможноv\j |
случаев. |
|
|||||||||||||
Из них |
благоприятствуют: |
событиюJ I - случаев,событию |
6 - п и |
|
|
|||||||||||||||||
случаев , |
совместному появлению |
событий |
\Ь-иГод6 |
случаев. |
|
|
|
|||||||||||||||
На основании |
класси ческог о |
определения |
вероятности |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Случаи, |
благоприятствующие |
событию JW й>, |
- |
это |
случаи, |
которые |
бл |
|||||||||||||||
гоприятствую т |
или событию |
|
Д , |
|
или |
событиюQ)j |
или совместному |
появ |
||||||||||||||
лению |
событий |
Л |
и |
lb |
, |
число |
их |
равно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
/ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(смрис‘ 1вЗЛ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О О ( О 0 0 0 0 0 0 , 0 0 |
|
О Ч» о о , « 9 |
С О |
о О о J о ® |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м м |
|
^ч/ |
|
|
|
|
-I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"•V-* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
и Ап |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Pvac.IA I. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно: p ( ^ - j |
|
|
|
|
|
ю- |
1А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пь |
|
|
pi * |
|
|
|
Выполняя |
почленно |
деление. |
|
и |
помня, |
что |
|
' |
|
|
-'ji- u- |
|
|
|||||||||
|
|
Р ^ ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
получин
15
(Х .З Л )
Вероятность суммы двух событий равна сумме их вероятностей
без вероятности их произведения.
С л е д с т в и е .
Если события Л и Ь несовместны0 то среди случаев нет
таких, которые благоприятствуют совместному наступлению событий
Л- и |
Ь |
о Отсюда |
IfYijvc-O , |
и формула (1 .3 Л ) |
при |
||
нимает |
вид? р (Л Ц ф )-р 1Л )*р 1&)» |
|
|
|
|
||
Если |
имеем три |
несовместные события |
Л, |
, Л г й Л $* |
то, |
||
обозначив |
|
, получим р (Д * ^ г-+Л-*) - |
рф + Л Ч ) |
и, так как |
|||
события |
9) |
и чДъ |
несовместны 0 то |
|
|
|
|
В общем случае |
имеем |
|
|
*-ч |
|
|
|
|
.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РС ^У ^РЫ М ’’* |
Р(.Лк) |
(1 .3 .2 ) |
||||
Вероятность |
суммы несовместных |
событий |
равна суш е |
их ве |
||
роятностей,. |
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
Если события |
Л |в. . Лк несовместны |
и |
образуют полную груп |
|||
пу, то среди всех |
уъ |
возможных случаев |
нет |
ни единого |
такого, |
|
который бы благоприятствовал совместному появлению нескольких событий или не благоприятствовал ни одному из них. Поэтому
м .)+ к а о + " + р ^ - ^ + п ^ ^ - - , + T if - i J r ' 1 •
Сумма вероятностей песовместных событий, образующих полную группу, равна единице.
Если два события ^совместны и образуют полную группу, то они называются противоположными ,
ч
16
Вели «да© из шге обозначив J?- , то другое принято обозна чать А (нан&ступдвние события iA ), Пусть р(чЛ)-р ■>piJ})-<у 9
то jp - ty - | .
Сумма вероятностей противоположных событий равна Хв
§Полная вероятность
Пусть ообытш И* „ Ни. образуют подкую группу и
несовместныр будем называть их гшютезамво %оме тог^ рассмотрим
событие |
J\ , |
про которое известно9 что |
оно -может произойти толь» |
||
ко лншь совместно с одной из зтвш. гипотез* |
|||||
Найдем вероятность |
события Л |
р (Л ), |
|||
Из условия видно,, |
что событие |
Л |
состоит в появлении одно |
||
го из событий |
Л и , „ |
, ..оЛ -Н ц, |
$ следователь ко; |
||
Л - ЛИ,? |
Л-К^* * * - ? АИ*,. |
|
|
||
Так как |
И, , |
|
ш еовмеетш , |
то событая Л-Н, *Л ’Н1в*. |
|
Л-Н^ тоже кесовместШо |
отсюда р ^ Л ^ рО Д -к ^ Л -и ^ '*■+ Л Н * )- |
||||
~(ЧЛн,)* р(,Лн*,)* • * * * piЛ-Н^.}
Следователь ко
P W s l 4 n 1)-p u /H .)+ P ln 1y jp U /H O f - - » 'P lM p ^ | H H ,)
Вероятность события Л называется полной вероятноегод0
§ 5» Формула Бейеса
Пусть имеем урну й в вей |
дз& ззарас Известно, |
что каждый из |
нше может быть белым или черным0 Нас ннтереоувтс |
сколько белых |
|
е сколько черных шаров в урне. |
|
|
17
Здесь возможны такие гипотезы: |
И, |
- 2 белых и |
О |
черных, |
|||
I белый и I черный, |
Нь - О белых |
и 2 черных. |
|
|
|||
Гипотезы несовместны и образуют полную группу, |
следовательно, |
||||||
сумма их вероятностей равна 1. 3 данном |
примере |
все |
гипотезы |
||||
равновозможна, поэтому |
р (Ц J 1 р [\‘\Л " |
|
’ |
|
|
||
Производится |
опыт - |
извлекается шар* Он оказался |
белым - |
||||
произошло событие J1 . Стало очевидным, |
что гипотеза |
|
невоз |
||||
можна и ее вероятность, вычисленная при условии, что событие |
|||||||
произошло, равна |
|
|
|
|
|
|
|
Суша вероятностей |
гипотез после опыта должна остаться |
равной I . |
|||||
И поскольку после |
опыта вероятность |
третьей гипотезы |
стала равна |
||||
О, то |
и вероятности первых двух необходимо пересмотреть, то ость |
найти |
1. 1*4) . |
Выведем формулу, по которой производится вычисление вероят ностей гипотез после того , как становится известным результат опы та.
Пусть событие |
может |
наступить лишь только совместно с од |
|||||
ной из |
гипотез |
Н, } |
и 1 # ». |
И*. , которые несовместны и образуют |
|||
полную группу, |
тогда |
jplvA) |
найдется |
по формуле |
полной вероятнос |
||
ти |
|
|
|
|
|
|
|
!п л > -р '.н .) р ^ /n ,) t P i H tv p u * /K t V |
" " r PlHn.) |
н |
|||||
Появление |
события |
Л |
совместно о Hj, озьачает наступление |
||||
события |
уЬ Hi, |
и |
|
|
|
|
|
P U 'M |
- P I M |
p U M 'u 'l - p U V p O u liiO , |
|
||||
отсюда получаем формулу |
Бейеса |
|
|
||||
4? |
'блк Н.дл |
|
г |
6W! ?:ческря |
|
I |
v КОЛ'Ю «ка с а с р |
|
■о ИлИГ;• |
'/Ф |
|
•-г |
r \ I |
‘ : * \ |
' t_'•. |
|
|
18 |
B,u |
|
------------------------------------------------- |
|
ЩЛ) |
К И.У Р Р /«.Ь Р 1‘-Ч ')Р И Ч ’)+ — p (M |
|
В рассмотренном выше примере условные вероятности |
|
PWH |
PU|rt^-Y |
pL-Д! къ) - О |
Следовательно: |
|
|
^ .M r.-rrT -fe V n f T
-Jl
“Ъ
l |
l |
( |
|
_ |
Hi)
§6, Повторение опытов ( формула Бернулли )
|
Производится |
уь |
независимых опытов, в каждом из которых мо |
|||||||||||
жет наступить |
или |
не |
наступить |
событие |
Л |
, вероятность наступле |
||||||||
ния |
события |
Л |
в каждом опыте |
постоянна |
и равна |
р С ^ )-р |
* |
тог |
||||||
да |
IH J O -i-p -i |
су |
|
. Найти вероятность того, |
что |
событие |
\Л |
|||||||
в этих уь опытах наступит |
m |
раз, |
обозначим ее |
|
. |
|
|
|||||||
|
Будем все |
уь |
опытов рассматривать |
как один |
сложный |
опыт. В |
||||||||
результате его может произойти событие S^c, состоящее в том, что |
||||||||||||||
при произвольном |
с ^ |
порядке |
следования событий |
Л- и |
Л |
первое |
||||||||
из |
них произойдет |
м |
раз. Иными словами, событие |
£>i |
состоит в |
|||||||||
совместном |
появлении |
т |
событий- Л |
и |
|
событий |
Л |
. |
Его |
|||||
вероятность находим по правилу умножения вероятностей независимых
событий. Получим произведение, в |
которое сомасгадтели р и су вхо |
|
дят соответственно в количествах |
w> и a -w w Таким образом, |
|
£>{$>•,)'-f ' ’V |
m |
( t . b. O |