Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 52
Скачиваний: 0
19
Если |
число |
всех |
возможных порядков следования |
событий |
Я |
и |
||||||||||||||||||||||
-J5 равно У |
|
, |
то |
|
искомая |
вероятность есть |
вероятность |
того , |
что |
|||||||||||||||||||
произойдет какое-либо из несовместимых |
событий |
«D. |
, |
|
5)^ . |
|
|
|||||||||||||||||||||
Используя правило сложения вероятностей, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
О™ |
|
|
|
|
|
|
|
|
) - [ Ч 1 0 Р О |
|
|
•■+ |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
- п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Так как все слагаемые в этой сумме одинаковы и определяются |
||||||||||||||||||||||||||||
формулой |
СIо601 ) , |
имеем: |
|
/* |
W1 Г\- rv\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J 1Л» - У ' р - f y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Найдем число |
|
|
У |
|
|
гь |
опытов можно рассматривать |
как |
1гъ эле |
|||||||||||||||||||
ментов^ гг) опытов, в |
которых |
наступает |
событие |
J\ |
, |
можно рассма |
||||||||||||||||||||||
тривать |
как |
|
сочетания из |
а |
элементов |
по m |
0 й следовательно9 |
|||||||||||||||||||||
число всевозможных |
|
вариантов |
следования |
событий Л |
|
и Л |
равно |
|||||||||||||||||||||
числу |
сочетаний из |
п, |
элементов |
по |
|
no |
, |
|
V |
- |
t vv |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
/ч |
Г) ^ |
|
|
f t ГУ» |
р |
^ . л " ^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда |
J„_ |
|
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
YV1 |
|
|
|
1 |
ГЛ |
Л - VYI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или: |
|
|
|
|
|
J |
w ' |
|
|
|
i |
^ |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( i . 60<0 |
|||||
Равенство |
|
( I 0602) |
|
есть |
Формула Бернулли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Число |
|
по может принимать значения |
от |
|
0 |
до |
уъ |
• |
Если ояо~ |
|||||||||||||||||||
жим вероятности |
О m |
, |
вычисленные |
при всех |
|
m |
9 то |
получим ве |
||||||||||||||||||||
J Л |
|
|||||||||||||||||||||||||||
роятность |
того, |
что |
по |
примет какое-либо значение |
|
от |
|
0 |
до |
уи * |
||||||||||||||||||
Это есть |
вероятность |
достоверного |
события, |
следовательно |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
/г>° |
ч |
J rv |
^ J W |
г |
|
+ |
/О ^ |
- I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
- УЪ 4 |
|
|
|
Л/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вероятность того, что событие |
Л |
|
произойдет хотя |
|
бы один раз |
|||||||||||||||||||||||
равна: |
|
|
™ ^ |
|
о • |
-О - |
u |
О ^ |
- I s-J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
«. */ |
Л, |
I w |
• |
|
* Л |
Л/ |
Vv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-V |
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Наивероятнейшее число наступлений события.
Найдем, какое число появлений события ъА имеет наибольшую
»
|
20 |
вероятность ( обозначим его |
сп ) . Должно быть: |
О*" |
J г- |
J к |
|
п 1m -17,1 |
л. |
«f . |
|
fb |
|
Если левые части этих неравенств выразить с помощью Форму-
лы Бернулли, то , после преобразований, получим:
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
V . p ^ ^ ^ |
р |
|
|
|
|||||
Интервал, |
в |
котором |
лежит |
гп , |
имеет единичную длину, ибо |
||||||
(К р +р) - ^ г р - |
- |
р * ^ |
- |
i |
. |
Следовательно, |
если к у - у |
- число |
|||
дробное, то |
и п у ч р |
- |
число |
дробное |
и между |
ними может |
быть |
||||
единственное |
целое |
число |
гп . |
Если |
^ р - у |
и и у -t р |
числа |
||||
целые, то искомое |
число |
|
\у\ |
имеет два значения: |
|
||||||
9 " ^ |
. -9 |
*“* W |
J Vv |
|
|
|
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ I |
|
|
Капосредетвенное |
вычисление вероятностей |
|
|||
|
( |
к § |
1 ) |
|
|
I . |
В ящик помещены жетоны с |
номерами от 1 до 100. Найти |
|||
роятность того , что номер наудачу извлеченного жетона не содержит |
|
||||
цифры 5. |
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Всего возможных случаев W > 1 0 0 . Событие |
- |
|||
номер извлеченного жетона не содержит |
цифры 5. Ему благоприятству |
||||
ют т ® 61 |
случай |
(число номеров без |
цифры 5 ). |
|
|
21
|
Отсюда |
|
i VJ 1 |
|
a,- - О Л \ |
|
|
|
|||||
|
2c Набирая номер телефона, абонент забыл однуцифру. Най |
||||||||||||
ти |
вероятность |
того , что |
|
набрана нужная |
цифра. |
|
|||||||
|
Р е ш е н и е . |
Всего |
10 |
цифр и число |
возможных случаев |
|
|||||||
■Уь » 10. Событие J |
- |
набрана нужная цифра. Она единственная |
и |
||||||||||
Уг) Я I . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получим: |
p U 'l) - ” |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
IG |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3, |
|
Найти |
вероятность того, что при бросании игральной кос |
|||||||||
ти |
выпадает |
четное |
число |
|
очков. |
|
|
|
|||||
|
Р е ш е н и е . |
Число |
всех граней есть число возможных слу |
||||||||||
чаев Уъ ~ 6. |
Событие |
Si |
|
- |
|
выпало четное |
число очков. Ему благо |
||||||
приятствуют |
m |
= 3 |
случая |
(число граней |
с |
четным числом очков). |
|||||||
|
Получим: |
* |
|
(а |
|
|
х. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4. |
Определить |
вероятность того, что |
серия наудачу выбран- |
|||||||||
|
|
#• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной облигации не содержит одинаковых цифр, если номер серии |
|
||||||||||||
может быть любым пятизначным числом, начиная с 00001. |
|
||||||||||||
|
Р е ш е н и е . |
Число |
всех возможных |
случаев 1гto -1 - |
чис |
||||||||
ло |
всех |
пятизначных |
номерод, кроме одного: |
00000. Событие Л - |
в |
||||||||
номере |
нет одинаковых |
цифр. |
|
|
|
|
|||||||
|
.Число случаев, благоприятствующих событию J\ , равно чис |
||||||||||||
лу |
размещений из 10 |
по |
|
5 |
|
, |
w - J 1C |
|
|
|
|||
|
Искомая |
вероятность |
равна |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
UV) |
- |
|
->'■С |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
\С |
|
|
|
|
||
22
5 0 В кошельке лежат три монеты по 20 коп. и семь монет по
3 коп. Наудачу берется одна, а затем извлекается вторая, оказав шаяся 20 коп. Найти вероятность того , что и первая извлеченная
монета |
была - 20 коп. |
|
|
|
Р е ш е н и е . |
Первой |
монетой ыогла |
быть одна из девяти, |
|
среди которых 2 по 20 коп. |
и 7 по 3 коп. |
Всего возможных^случаев |
||
ru s 9, |
Событие *4 - |
первой |
была монета в |
20 коп. Ему бла^оприят- |
ствуют |
шп « 2 случая. Следовательно, |
• /* |
||
|
||||
6. Наудачу выбираются два произвольных целых числа. Найти
вероятность то го , |
что |
их произведение оканчивается единицей. |
Р е ш е н и е . |
3 |
конце произведения целых чисел стоит такая, |
цифра* которой заканчивается произведение последних цифр е.омножк телей, Событие Я - указанное произведение оканчивается единицей,
оно произойдет, если на концах |
чисел стоят: |
I и I , |
3 |
и 7 -или |
7 |
||||||||
и Зр 9 и 9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
событию |
благоприятствуют пп |
« |
4 |
случая. |
||||||||
В конце каждого из выбранных чисел может стоять любая из |
|
||||||||||||
десяти цифр. |
Поэтому число всех |
возможных |
случаев |
а |
* |
10.МО |
|
||||||
Искомая |
вероятность: |
|
.л |
|
|
|
|
|
|
' |
|||
1 |
г с.& ч . |
|
|
|
|
\ |
|||||||
|
|
|
|
|
В- |
|
■ |
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(*- |
7. Имеются |
пять |
отрезков, |
длины которых |
равны |
соответствен - |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•s |
|
но I ,3 ,5 ,7 |
и 9 |
единицам. |
Найти |
вероятность того , что с |
помощью |
||||||||
трех из них, взятых |
наудачу, можно построить |
треугольник. |
|
||||||||||
Р е ш е н и е , |
Число |
всех |
возможных |
случаев равно |
числу |
с о - |
|||||||
четалий из |
пяти |
элементов |
по три: г .-u . |
-iO . |
Событие j* |
- отрезви |
|||||||
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
взяты так, |
что из них мо&но построить |
треугольник, |
|
|
|
|
|||||||