Файл: Богданов, В. Н. Теория вероятностей (учебное пособие).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.10.2024
Просмотров: 51
Скачиваний: 0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
I |
|
|
(4.5.1) |
|
|
^ ( u • ) - — 1— |
|
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
№l |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все |
измерения |
делаются |
в |
одинаковых |
условиях |
с одинаковой точное1* |
||||||||||||
тью^ |
новтому |
всегда |
одинаково. |
Так |
как |
|
|
|
|
/ Г |
||||||||
измерения делаются |
||||||||||||||||||
приближенно, результат |
измерения |
% |
следует рассматривать как |
|||||||||||||||
попадание |
случайной |
величины |
^ |
в |
малый интервал |
Л tj |
; содержа |
|||||||||||
щий точку |
<j; |
0 Отсюда |
j p i ^ C ^ U ^ u ) * ^ |
• |
|
|
|
|
' |
|||||||||
Вероятность того , что при |
|
^ |
результаты |
измерений |
соответ- |
|||||||||||||
ственно будут н. ЧЛ. . . . |
, * |
определится |
как |
вероятность произве- |
||||||||||||||
дения независимых событии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■И/ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определяя |
|
по |
формуле (4 .5 .1 ) |
и помня, |
ч'то |
^ |
неизменно |
|||||||||||
пол |
учим: |
|
|
* |
‘ |
/ |
|
ciyu |
|
|
|
|
|
- I |
|
|||
|
|
|
|
|
|
г |
|
с‘1*и |
|
|
|
|
|
|
||||
Параметры C0j...C№ $адо |
найти, из |
того0условия, |
чтобы |
вероятность |
||||||||||||||
% |
Ь |
’ 1 |
4 |
П0Лученн°й совокупности |
измерений |
была |
наибольшей* |
|||||||||||
Идя |
этого |
надо |
положить |
|
|
|
|
|
“ %f |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
£•> »v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т ве„ |
сумма |
квадратов |
отклонений |
|
от ((Хб,^^*-С^}должна |
^ыть ми |
||||||||||||
нимальной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
• ‘ |
|
■ |
|
|
|
|
|||
Необходимое условие существования минимума: * |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
О W |
|
|
|
|
( Щ - . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
СМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,o i \ . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
См kJ |
|
|
|
|
|
^•v |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
** |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
» |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С*.н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
TvT |
fto |
*' |
Решив |
систему , |
найдемрнеиззестныс |
параметры |
• - . С№ , а |
||
затем |
запишем |
функцию |
|
|
|
|
Функций ^(х t e. • |
удобно принять |
в виде алгебраического много |
||||
члена:- |
|
' |
|
|
|
|
|
Ц х р с Л>г • t „ ) - С.И « tX ♦ti.'X1** ••+ c mx"'- |
|
|
|||
Чтобы выполнить.условие, всаженное равенством |
(4 .5 ,2 ), |
необхо |
||||
димо его леву г |
часть продифференцировать, по параметрам |
Со |
||||
и результат:! приравнять нулю. Принтом получается следующая систе
ма уравнений: |
' |
|
■ |
|
|
4 |
Г С о м г ы -с :^ х . + --.- 1 -С т £ .З г <.'4 - |
2 |
. Hi. |
||||
ччг> ’ |
&. |
< : |
*** |
|
('4.5.3) |
|
t o y Х-1- t b , / fr. + ••- К т у X , |
= у |
|
||||
W А о |
CD С» ^ м |
в |
|
«9 |
О |
•* |
ГГ* |
* |
. |
i |
|
|
• |
Р@®ая ©ио?ему0 здоедиш йва®ш@ |
Со |
0 |
Ск |
Q |
0 0 . с |
|
§ б 0 &8рр@,швд®йешЙ аэаляэ
Корреляционный анализ имеет целью установить тесноту связи между двумя величинами на основе результатов измерений,
Пусть‘имеем таблицу. результатов |
измерений, в которой содержатся |
||||||||
|
пар значений |
|
kw L x » |
* И |
) % |
||||
|
|
|
|
|
|||||
Взяв |
систему |
координат |
(& ,^ }и |
, |
|
1 > ■ -• • ’ - j * |
|||
нанеся |
на чертеж |
все точки |
|||||||
получаем та:* |
называемое |
корреляционное |
поле (рис. 4 .6 01). |
||||||
|
Примечаний. 3 таблица может |
быть |
несколько |
одинаковых ззаче- |
|||||
' V I |
|
|
|
* |
|
|
• |
|
|
ний |
, |
которым.соответствуют |
|
одинаковые |
значения ^ h Поэтому |
||||
на чертеже |
несколько точек могут |
сливаться |
в одну. |
||||||
Поскольку результат каждого измерения зависит от множества случай
ных факторов, имеем |
систему случайных |
величин \Л)15| . |
Требуется |
|||||
установить |
тесноту |
|
связи между X |
и |
У |
Ранее*было |
показано, |
|
что |
теснота |
связи |
характеризуется |
ковариацией, которая |
выражает |
|||
ся |
формулой; |
. |
чв0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С вв'(Х ^)- jj (г-Е х ) ( у и Ш х ^ |
|
|
х - М (* . б л ) |
||||||
|
|
|
|
|
- с о |
|
J |
|
|
|
^ |
|
С другой стороны, если взять функцию случайных аргументов |
|
|||||||||||
|
|
|
|
{(х^Их^мн,,) |
.. |
|
|
|
( 4 . 5.p ) |
|||
и найти её математическое ожидание,' то по |
формуле |
(2 .1 3 ,6 ) |
полу |
|||||||||
чим; _ |
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( „ . е л ) |
Сопоставляя формулы (4 .6 .1 ) и (4 .6 .3 ) , |
видим, что |
у |
них одинако |
|||||||||
вые правые части. Следовательно, левые части тоже одинаковы. Это |
||||||||||||
значитв |
что |
ковариация есть математическое |
ожидание |
функции ( 4. 6, 2) |
||||||||
|
- |
|
И З Д = Е [ 1 Х - е * Н М ^ |
’ |
|
|
V - |
|||||
Отсюда,•чтобы найти ковариацию по результатам измерений, надо; |
||||||||||||
Хе |
Найти |
оценку |
математического |
ожидания |
(её |
здесь принято |
||||||
-обозначить |
X ) |
_ __ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
х _ |
ц |
|
|
|
|
|
|
|
2 в |
Найти |
оценку |
математического |
ожидания |
(обозначаемую- |
) |
||||||
|
|
|
|
Г |
& |
|
_ |
- ч |
|
|
|
4 |
Зо |
Найти |
среднее |
|
|
|
. т .в . |
|
|||||
всех |
значений |
^Xi " ь Н |
Ч о ) |
|
|
|
||||||
|
|
С ой -(Х ,У ) |
|
|
|
|
|
|
|
(4.‘6.-4) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
й ^ я н а - ч а а я е ? |
'ая&8«ряча« т@уу0 ка$с бинв |
для |
диепв^ейя, |
|||||||||
д«ка«£®а95еяв чяв.аря |
т ш ^лт ш п «дойки ковариации |
делись |
над© |
|||||||||
к в 'в а а |
о |
& |
уь-1 |
0 Для удобства |
в качестве |
характеристи |
||||||
ки теснота |
оъ&ш надо |
взять безразмерную |
величину0 |
|
|
|||||||
т
т
Так@й в@«шйчйе©8 явдяевдя кдоффвдяев? квррвдоадш, ив&дра? &©^®р©«
г®, ©яределявадя р&ввядозем:
|
.... |
t . |
m . |
4 ) |
|
|
' ' |
» ш |
Ж Ч ) |
*б05) |
|
|
|
|
|
|
|
Вмест® дмсиерск^. %[%■) |
Ш ^ 1 ^ ) |
над© ВЭЯДЬдЯЯ @$$©Ы1Ш$ |
|
||
. |
Ш ) - ^ 2 1 Х ь - Х ) Ь , |
С%~ |
|
||
|
L-'i |
|
|
|
|
При |
этом Формула (4 .6 .5 ) |
принимает |
вид: |
|
|
(4 .6 .6 )
Выполним следующие преобразования-.
Li*b |
|
Счл. |
|
|
|
\ |
|
г :* |
|
|
|
|
|
|
|
С'-w |
|
|
|
|
|
|
|
;€'-Л |
|
v.'. |
|
|
|
|
|
С - .» |
C - I |
w |
t * . , |
• |
. |
U |
|
Су» |
-kxJ^ |
|
|
|
|
|
|
■ 2 |
^ |
|
|
" M j i 2 * ^ * ' i i |
|
||
Cv\ |
i -л |
|
v |
С я |
Vi |
|
|
|
|
|
|
|
и* и |
|
|
Поскольку |
т ? * |
- |
* |
• |
- f c |
l v - - » |
, получим: |
|
bV\ |
л. .. |
|
|
v<i |
О |
|
Аналогично этому получаем:
2 ч * й - £ ) r ^ _ x c1 - i % ^ x 0 t - h , x 1 - ^ ) c c - . к > х 1
С'Л . , |
i*.\ |
V. » I |
C ' < |
i •.Uy |
C ■- |
v; |
|
i '. t |
i » i |
. |