Файл: Философия и физика [сборник статей]..pdf

никакой опыт не может продемонстрировать нам не только

несчетно-бесконечное собрание физических объектов, но даже

и счетно-бесконечное множество их. Утверждение эмпириков infinitum actu non datur является справедливым. Однако, как

мы увидим дальше, понятие несчетности может быть приме­

нено для описания определенных конечных совокупностей

физических объектов.

Перейдем теперь к обсуждению оснований утверждения

об относительности непрерывного и дискретного. Будем исхо­

дить из математического описания непрерывности и дискрет­

ности. Поскольку для понятия дискретности в математическом

плане не существует такого точного и полного определения,

как для понятия непрерывности, то примем, что свойства конструкции дискретности определяются через отрицание описанных выше свойств континуальных множеств. Посколь­

ку основным предметом нашего исследования являются ма­

тематические конструкции непрерывности и дискретности (хотя и используемые в физике), нас здесь будут интересо­

вать прежде всего математико-логические основания утверж­

дения об относительности непрерывности и дискретности.

Если непрерывности, в качестве первой группы ее свойств,

соответствуют бесконечная делимость и метрическая аморф­

ность, то, согласно принятому нами подходу к определению

свойств дискретности, последней должны соответствовать

конечная делимость и наличие внутренних метрических мас­ штабов. По отношению к этим, казалось бы, противополож­

ным, никак между собой не связанным характеристикам не­ прерывного и дискретного с первого взгляда возникает сом­

нение в самой возможности утверждения об их относитель­ ности. Вместе с тем, как показывает опыт науки, в природе

не бывает ни чистой дискретности, ни чистой непрерывности.

Поэтому для описания физических процессов и явлений в

одних границах и в определенных целях годятся конструк­

ции с чистой дискретностью, а в других случаях — с чистой

непрерывностью.

Так, например, гидродинамика исходит из посылки о не­ прерывности распределения вещества в пространстве, и это

эмпирически справедливо в рамках макроскопических экспе­ риментов. C другой стороны, допустимое в гидродинамике

отвлечение от атомного строения вещества совершенно не­

приемлемо для атомной и ядерной физики. Таким образом,

в данном случае обнаруживается относительность представ­ лений о структуре вещества к различным физическим теори-

140

ям. Подчеркнем, что эта относительность имеет эмпириче­ ское обоснование в единстве непрерывного и дискретного.

Другим примером относительности конечной и бесконеч­ ной делимости может служить эволюция наших представле­ ний о структуре физических взаимодействий. Квантовая ме­ ханика указала нам на существование минимального физи­

ческого взаимодействия, описываемого физическим действи­

ем, численно равным постоянной Планка, в то время как

классические физические теории исходили из предположения

о бесконечной делимости взаимодействий и движения. В дан­

ном случае, как и в приведенном выше примере, обнаружи­

вается относительность наших представлений (о действитель­

ной структуре физических взаимодействий) к той или иной физической теории.

Когда же речь идет о бесконечной делимости по отноше­ нию к описанию структуры пространства и времени, о суще­

ствовании в некотором роде атомов протяженности и дли­ тельности, то при .этом предполагается физическая недели­

мость этих атомов. Что же касается логической, математиче­

ской возможности подразделения атомов протяженности и длительности, то она не исключается. Очевидно, что на логи­

ческом уровне познания не существует препятствий мыслить

атом протяженности (длительности) как несчетно-бесконеч­ ную совокупность непротяжениых точек.

Если атом протяженности (длительности) достаточно мал, то не исключено, что в рамках некоторых возможных физи­ ческих теорий его можно заменить математической точкой, приравняв его протяженность (длительность) нулю. Сразу

следует оговориться, что высказанное предположение нельзя

сейчас подтвердить какими-либа физическими соображения­

ми. Вместе с тем отметим, что понятие элементарной длины

может найти свое оправдание и в рамках современных физи­

ческих представлений. В связи с этим сошлемся на анализ структуры пространства и времени Р. А. Ароновым [см. 2,151.

Элементарная длина понимается им не как непроходимая

грань в диапазоне длин, меньше которой не бывает, а как граница, условно отделяющая область эффективности одного

вида взаимодействия от области проявления другого. Этот подход идет в русле современных физических представлений.

Действительно, вспомним хотя бы о том, что элементарные

частицы обладают лишь динамической структурой.

Что касается метрической аморфности континуальных множеств, то этим свойством вполне строго характеризуется

141

лишь математический континуум. Если же мы рассмотрим физическое непрерывное пространство-время, тогда, как и в

случае дискретных многообразий, появляется возможность

говорить о метрической структуре, хотя она и обусловливает­

ся дополнительными (внешними) по отношению к характе­ ристикам чисто математической модели обстоятельствами. Эти внешние обстоятельства представляют собой совокуп­ ность физических законов какой-либо физической теории про­

странства и времени [см. послесловие к 7, а также 8].

Таким образом, если эмпирическим основанием относи­

тельности конечной и бесконечной делимости является реаль­ ное единство, взаимосвязь непрерывного и дискретного, то на

уровне теоретического описания эмпирических данных эта

относительность проявляется прежде всего как относитель­ ность отдельных представлений к некоторой замкнутой тео­ ретической схеме. Вместе с тем существует и более глубокое

математико-логическое основание утверждения об относи­ тельности конечной и бесконечной делимости пространствен­

но-временных структур.

Когда мы говорим о бесконечной делимости непрерывных

геометрических образов, мы имеем в виду аксиому Архиме­ да. Как показал Д. Гильберт, аксиома Архимеда независима

от остальных аксиом геометрии. Вследствие этого оказывает­ ся возможным строить геометрические теории, принимающие теоретико-множественную непрерывность, в рамках которых

не выполняется аксиома Архимеда. Объектами изучения та­

ких геометрических теорий являются неархимедовы конти­

нуумы, которые можно охарактеризовать следующим обра­ зом: для любого элемента числового континуума в неархи­

медовом геометрическом пространстве можно указать отре­

зок соответствующей длины, но не для каждого отрезка в

неархимедовом пространстве можно указать соответствующий элемент в числовом континууме. Неархимедов континуум до­ пускает существование актуально бесконечно малых величин.

Система аксиом геометрии, естественно, позволяет также

и такую интерпретацию, результатом которой является дис­

кретное математическое пространство.

Следовательно, математико-логическим обоснованием ут­

верждения об относительности конечной и бесконечной дели­ мости пространственно-временных структур является утверж­

дение о независимости аксиом непрерывности от остальных

аксиом геометрии.

Ко второй группе характеристик непрерывности и дискрет-

142

ности относятся связность и неразличимость й соответст­

венно разорванность и различимость. Если непрерывность

множества свидетельствует о единстве и связности его эле­

ментов, то «множество, состоящее только из изолированных точек, называется дискретным» 110, с. 83].

Одним из эмпирических оснований представлений об отно­ сительности этих характеристик непрерывного и дискретного

является ограниченная чувствительность восприятия человека или технических устройств: то, что на одном уровне чувстви­

тельности оказывается неразличимым и связным, на другом

Уровне становится различимым и разорванным. Так, дискрет­

ный энергетический спектр может восприниматься как не­

прерывный, если плотность энергетических уровней доста­

точно велика. C другой стороны, какая-либо отдельная спектральная линия при использовании более чувствитель­

ных приборов может обнаружить внутреннюю структуру.

Приведенные соображения в пользу относительности по­

нятий связности и неразличимости и соответственно разор­ ванности и различимости выявляют их относительность к

возможностям восприятия и в связи с этим характеризуют,

в основном, субъективные моменты этого вида относительно­

сти. Выявление же объективных оснований требует более

глубокого исследования. Вполне возможно, что одним из та­

ких оснований является взаимопревращаемость элементар­ ных частиц, например, взаимопревращение вещества и излу­

чения. Ведь при этом имеет место взаимопревращение непре­

рывной и дискретной структур организации видов материи.

На математико-логическом уровне относительность раз­

личимости и неразличимости может быть обоснована, по-ви­ димому, в том случае, когда для структур, элементы которых

ранее считались неразличимыми, будут (пусть с помощью дополнительных условий) указаны средства, позволяющие эти

элементы различать. Именно в этом месте мы находим точку

соприкосновения утверждения об относительности неразли­

чимости и различимости и утверждения об относительности несчетности и счетности, т. е. последних характеристик не­ прерывности и дискретности.

В аксиоматической теории множеств хорошо известна

теорема Левенгейма—Сколема. Обычно утверждение этой

теоремы интерпретируется как высказывание об относитель­

ности счетного и несчетного, которая связана с возможно­ стью построения различных аксиоматик для теории множеств.

Множества, несчетные в рамках одних теоретико-множест-

143