Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Сложение и вычитание

матриц,

умножение матрицы на число и

матрицы на матрицу выполняются по следующим правилам:

а п

±

Ьи

а ы ±

Ьы \

А + В —

( a ij — b ij)'

а

ч~

b

ппJ

а п\ ±

Ь т

пп —

Хаи

•Ха1л

= (Ч)’

Х-Л =

Ха

п\

•Ха.

пп,

а

a i A i

2

\

2

й =1

й = 1

А -В =

Л

”

,

\ 2

..............................2 a n k bkn

/

\ft=l

*=1

/

Матрица Л умножается на вектор л: так:

/ « и ................а ’л

'

х -

Лх --

2

X k ’ " * ’ ^ a n k X k Г

Й =1

й = 1

Матрица

£ = ( 8у), 8у = 1, oif = 0,

г 4= j ,

называется

единич­

ной. Определитель матрицы Л

будем

обозначать через

det Л.

Очевидно,

det (ХЛ) = Xя det Л, det (АВ)

= det {ВА) = det Л •det В.

Если det А=£ 0, то матрица Л называется неособенной.

Матрица

А~1 называется обратной данной матрице

Л,

если

Л-1 Л = ЛЛ-1 = Е.

Ясно,

что

det А~' = (det Л)- 1 ,

(А В )-'

=

В~' А~' .

Если

матрица

Л такова, что а а ^=0, а.;. =

0,

i =f=jy то она

назы­

вается диагональной и обозначается так:

Л = diag { а и ,

а 22, ... ,

а йя] .

Уравнение (относительно параметра X) вида

det (Л — УЕ) — 0

Введем

теперь

норму матрицы

А. Под

нормой

матрицы

А = ( а [.)

понимается

неотрицательное

число

||Л||, удовлетворяю­

щее следующим требованиям:

а) |( А |= 0 тогда и только

тогда,

когда

А = 0;

б) ||ХЛ|| = |Х|||Л||;

В) Н

+ В||<||Л|| +

||В||;

г) ||ЛВ||<|И||||В||.

Как правило, в качестве нормы матрицы А используется

какая-

либо одна из следующих трех

норм:

п

II А !|,

1

I, j2=

1К 1

п

IIА ||,, = max ^

| а,/1

’

/=1

Для вектора столбца х эти нормы

переходят

в нормы | ]|j ,

||jc||n и ||лг||ш соответственно.

В дальнейшем

значки

у норм

берется, например, норма [|

, то и для

нормы матрицы

должна быть взята норма |А ||г .

11.

Если

(р (х) — скалярная функция

векторного аргумента x

то

д<р ( х )

/ ду

д<?

— grad ср(х).

дх

I

дх^

дх 2

’ дхп

Если / ( х )

— вектор-функция от

векторного аргумента х, то

df/dx — матрица

.

/ Л ..........

дЛ

df(x)

/

д х г

д х п

•Vi_

_

дх

V fn

dfn

dxi

' д х г

д х п

dx(t)

( d x x(t)

dxi(t)

^х п( ON

dt

dt

dt

dt

j x ( / ) d / =

^ J x l (/) dt,

j x 2 (t)d t,

... , | х л(/) d t y

t

t

\ х (т) dx < 1 1|х (х) |d i

J

и

аргумента x e D c z R n -

Пусть / (x ) — вектор-функция

векторного

Если выполняется

неравенство

x 'e D ,

x"eD, X

const,

то говорят, что функция f

(x)

удовлетворяет условию Липшица

в области D, что

можно кратко записать

так:

f { x ) бЫрх (Х,

D).

/(/, x )eL ip x (X(/),

D ) .

Запись вида

f ( t , ^ )eC *;'(Q ), Q =

/ X D

f ( x ) = f ( x о )+

дЧ

(х — х 0)2+

/ X—-Xq

\ / X—Xо

\

где

д х 2

-

A

(AL X

X,

дх

I дх

_д_

дЧ

9

X

дх * ~

дх

дх 2

X 2

лы

О и о.

Напомним их определение.

Пусть заданы две функции

J (s)

и ср(е), определенные на множестве 5 (se5),

и пусть а —пре­

дельная точка множества S (а может

и не принадлежать мно­

жеству 5).

Определение 1. Запись вида

/(е) = 0(ф (е)), eeS

(1.2.1)

означает,

что найдется постоянная Л4 > 0 такая,

что будет вы­

полняться

неравенство

|/(s)|<yW|cp(e)| ,

sgS.

(1.2 2 )

Определение 2. Запись

вида

/(О =

0(<р(е)), е - а , e6S

(1.2.3)

означает, что существуют

постоянная

М > 0 и

окрестность U

точки а такие, что будет выполняться неравенство

|/(в)|<Ж|ср(е)|, seUf]S.

(1.2.4)

Если функция ср(в) не принимает нулевых значений на

S, то

запись (1.2.4) означает, очевидно, что

отношение /(е)/<р (е)

огра­

ничено при в -> а.

Определение 3. Запись

вида

/(О = о (ср (в)), в -> а, ве5

(1.2.5)

означает, что для любого

8 > 0 можно указать

такую окрест­

ность U~ точки а , что будет выполняться

неравенство

|/(£) |<

51<Р(s) |,

П$.

(1.2.6)

Если ср(в) не принимает нулевых

значений

на 5,

то (1.2.6)

озна­

чает, по существу, что

2 < lL

о,

6 -* а.

(1.2.7)

/(в)~ ср (е), в a, egS

(1.2 .8)