Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

Соотношения порядка типа

sin 2s = О (s), е

О,

1 — cos s =

о (е),

£

-> О,

_

i_

е

Е — 0 ( £т ),

£-> О,

/71

1

е Е=

о

1 \

+

оо, 777>

1,

8 = 0

1

,

£ -> О,

777>

1,

ч (1п е)"1 /

.

sins = 0 (l),

0 < £ <

+ оо

дящие в соотношения порядка, зависят не только от s,

но и от

некоторых

переменных,

например от t, т. е.

имеют

вид f ( t , s),

<р (t, е ),

где

t

принадлежит

некоторой

области. Тогда

постоянная

М и окрестности

U, Ub , указанные

в определениях

1—3, могут

зависеть от этих переменных.

Если М,

U и Ub можно

выбрать

независимо

от

указанных

переменных,

то

говорят,

что соотношения порядка

выполняются

р а в н о м е р н о

относительно этих переменных.

Соотношения порядка обладают рядом простых

свойств.

Укажем некоторые из них

[144] (в

перечисляемых ниже соот­

ношениях символ О можно заменить на о):

1)

если / (е )

=

О (<? (s)),

£ -> a, seS, то

|/(е)|-=

0(| 9 (e) Г),

а > 0 ;

(1.2.9)

2)

если f t (в) =

О

(е) ), i = 1,

п, в

a,

seS,

то

a i f t (е) = о

(

2

|‘3Р !'р.-<*)[

а.

= const;

( 1.2. 10)

7=1

\ 7=1

3)

если f t (е) =

О ( cpz

(г)),

i — 1,

/г, в

a,

sg5,

то

П Л ( е ) = ° ( f l

Ь (£))l

{12Л\)

7=1

\ 7=1

/

4) соотношения порядка

в общем

случае

нельзя дифферен­

5)

соотношения

порядка

можно

интегрировать: пусть S —ин­

тервал

а < е < (3

и f ( e )

— OQo (е)) при е ->

Тогда

j/CO d i

=

j I ср(т) |rfxj,

(1.2.12)

6) соотношения порядка можно интегрировать и по пере­

менному, а именно: пусть

f ( t , z)

= 0 ( y ( t , е))

равномерно

по

(с, d )

при

е

a,

eeS.

Тогда

|ср(х, e)\di ^j, г ->■ a,

seS.

(1.2.13)

Наконец, отметим, что соотношения

порядка

можно комбиниро­

вать следующим

образом:

0 ( Q f ) = 0 ( f ),

0 ( / ) 0 (ср) = 0 (/ср),

о (Of) = 0 ( f ) ,

0 ( f ) 0 ( ' ? ) = о(/ср),

0 (/) + 0 (/) = 0 (/),

о (/ ) + о (/ ) = о ( Л ,

0 ( / ) + 0 { Л = 0 ( П .

2.

Асимптотические

последовательности

и асимптотические

разложения.

Определение

6.

Последовательность функций

{ <рл (е)},

задан­

ных

на множестве 5,

называется а с и м п т о т и ч е с к о й ,

если

?лИ(е) = 0(<ря(е)),

е - а , eeS

(1.2.14)

Если условия

(1.2.14)

выполняются

равномерно относительно я,

то мы имеем

асимптотическую последовательность, р а в н о м е р ­

н у ю

по п.

Если

функции

<?п зависят от t

и условия

(1.2.14)

ностью, р а в н о м е р н о й

по

О пределение

7. Последовательности

{ <рл (е)} и {фл(в)}, обла­

дающие свойствами

?„(е) = ° ( W £))’

'Ы®) =

°(ср л (£))>

е -> a,

eeS,

называют

э к в и в а л е н т н ы м и .

Из свойств соотношений порядка, перечисленных в предыду­

щем параграфе,

легко получить следующие утверждения:

1)

если { <рп } — асимптотическая

последовательность, то по­

следовательность

{|?л|“ },

а > 0,

будет также асимптотической;

2) пусть

5 — интервал а <

е < (3

и {

(е)} — асимптотическая

последовательность при е ->-

р.

Тогда

последовательность

' М £) =

| | < Р „ ( т)|<*т

е

будет также

асимптотической

при в

(3

(естественно,

предпола­

гается, что все интегралы сходятся);

3)

пусть

c<Ct<Cd,

и

при в -> a,

eeS последовательность

|срл(£,

е)) является асимптотической,

равномерной по

t.

Тогда

последовательность

d

Фя(е) =

£)|^т,

вс5

также

С

будет асимптотической;

4)

пусть

|<р (е)} и

(

(в)] — эквивалентные последователь­

ности,

а { ?„(в)} — асимптотическая

последовательность.

Тогда

где срл (е) — асимптотическая последовательность, т. е. срл + 1(в)

=

= о ( срл(е)], п = 1 , 2 , ... , называется а с и м п т о т и ч е с к и м

ря­

2 а п

(е)

п = 1

/ (О при

называется асимптотическим

разложением

функции

в —>•cl

до N -го члена включительно,

если

N

(о + °(<М))>£ а’

/(£) = 2 ап

/7=1

т. е. если

N

/(0 - 2 а п <рл(о

а.

------- ^

---------- ►о. £

<РлАО

Если

асимптотическая последовательность

{©„(©)}, по

которой

k - \

а х = lim

a k =

lim

/ со - 2

^ (o

<p*(0

(1. 2. 15)

1

<М0 ’

£-a

/ (и £) — 2

Ф* (*>е)

= о,

lim

________ ft=j_______

в-*-а

Фдг (*i е)

/(*> £) = 2

е) + ° ( М * » Е) )

равномерно по t e l .

k = \

З ам ечани е. В практических

задачах,

особенно в области

функция-решение f ( t , в), как правило,

неизвестна, не задана также

и асимптотическая

последовательность

в)}, по которой

сле­

дует искать асимптотическое

представление

функции-решения

f \t, в). В этих случаях часто в качестве

асимптотических

после­

довательностей используются

последовательности вида

п V, £) =

a n(t) Л

Ф„(*. £)

а п (* ) +

Ь п

У

причем функции

a n(t) и

bn

подлежат

определению

из

асимптотических

разложений

решений

дифференциальных урав­

нений представляет большие трудности.

Таким образом, если заданы асимптотическая

последователь­

ность {о>л (в)} и функция /(в),

то

из формул (1.2.15)

вытекает,

что асимптотическое разложение, содержащее

заданное

число

членов, о д н о з н а ч н о

о п р е д е л е н о .

Однако

одна и та же

функция может

иметь асимптотические

разложения

по

разным

неэквивалентным

асимптотическим

последовательностям.

Напри­

мер, разложив функцию sin

2 г при в -> 0 по неэквивалентным,

асимптотическим

последовательностям

? „ ( * ) = in (1

+ »*), М £) =

( 3 + 2.2

)

>

получим согласно формулам

(1.2.15)

sin 2 в =

2 In (1 +

в) -f In (1

+ в2)

— 2 In (1

+ в 3)

-f