Файл: Филатов, А. Н. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений.pdf

С

— г =

{

Р

{ Ь )в( С..+

|

С >

2

)

+ +

т

+ (

Д „ А

+

л

о

}

«

„

+

- f

{(b)1

( -4

,

к tm+

2

) )

+ f « „

+ Тля( b )

( С + С')]—А п„А п } ■’»)

Сг =-- г {(*—РЛл) [ "и (*) ( Ci + Сг) + Т„„ (*)( С +

+

+

С

)

]

-

С

д { Ья) я ( *

) ?

Я 1

)

+

пп W Т

(

В .+

N+)

}41п2

]

(п, т — 1, 2;

а ф т )

(V.3.22)

здесь

введены

обозначения:

Ч

аат (пЗат (

+2 л

тЩЧ ]

+

*

32V

_

/

*л

_

°пп'и>—

8рп [1 — а2 (Ь) ]

т

(h\ —

3

( а2 — а2

а4 (6)^

Д

(Ь )

а

— а

а2 (6)

. (V.3.23)

— —1__ Т.___ML

= — 5____ Ш____—

'пп\и>

\bpn [\—^ ( b ) \ ,

nn^uf

[1 — а2 (6) ]

Ап =

J (о (5) cos р п sds >

О,

В п =

J о) (s) sinр п sds >

0

+

1 п

а л Я

*

( ® )

(

(

C

l2

+

С

г

4rii

—

2

п (

)

С

+

С

)

\

____ __

- K n ( b ) A ny

M - ^

[ \

n (b)B n +

N ] i n2

(я, /я = 1, 2,

п ф т )

(V.3.24)

Легко

видеть,

что для

любого

г^> 0

имеются

интегралы систе­

мы (V.3.24)

С

+

С =

(

С +

^п2 )еХР { “

8 [Лл«^ В

п +

r }

^

(V.3.25)

Cl + С2 =

( Cl + С2)еХР {~ 8 [^ г п т Ф ) В т +

Щ

Г}

Следовательно,

используя

(V.3.25),

решение

системы

(V.3.24)

можно

представить

в виде

Кх (г ) =

[ С cos 0 +

4

Sin О] exp ( -

гп г )

'

(V.3.26)

е,й (г) = [ -

С

sin G + l° 2cos О] exp (— 8яг )

]

где

G -

Inn

(

С

+ С

)

+

пп (Ь) (

X+^л2

~ X J b y B ~ ^ N ~

Дгага (*) Bm + N

W ( £ ,

+ $

)

Г4

,

-

A

-

(b)B n + N

е

Х Р

\|

п -( Ь £) В »[

+

N ]

'

•

}

+

+

'»„<»)(& + € 2)

гл

"

Дmm'

),B( m*

+ N

e

x

P

l _

e

[

i

m i Vm ]

(

r

*

l ) +B

m +

+ -^m ( b ) A a r

6 = £, А„л (Ь ) B n + N

п

(

^°t;- (у, у =

1,

2)

— произвольные

постоянные,

определяемые из

начальных

условий j.

Из решений (V.3.26) видно, что оно будет асимптотически

устойчивым

при любых

начальных

условиях,

если

только

Д

{р)

>

N

1, 2),

и неограниченно

возрастающим,

если

-----б— (я =

Д ь х -

В i,

\

N

N

Соотношения

(V.3.23)

показывают,

что

Д22 (b ) >

—

при

Ь < Ъ *\

Дц(&)> —

при b <

( а 2 -

а х) =

-у^*-

Ъ*

где

а ( 0 - < а < ;

1) — корень многочлена

{ах— а2а2)2

_

TV^

clx—{—л2с^2

(1 _

а2)2

—

- Щ J

1+а2

Так как Дп (b ) = 0 при b =

6 * :: =

Я2—й х

У а ха 2 <

6*,

то

для

критической скорости флаттера пластинки находим

Vкр =

ас0 D%z (m4 — и4) (m2 — л2)

4(1 + а2)

"*-13 т п

ванию

ряда нелинейных задач

теории вязко-упругости [80—85].

Б. И.

Моргунов исследовал

стационарные резонансные ре­

ЛИТЕРАТУРА

1.

Б а й н о в

Д.

Д.

Об усреднении в некоторых системах обыкновенных

дифференциальных уравнений, „Математически весник“, 1968, т. 5, № 1.

2.

Б а р б а шин Е.

А.

Введение

в теорию

устойчивости,

М.,

„Наука",

3.

1967.

X.

Об

одном свойстве

системы

нелинейных

интегро-диффе-

Б е г н а е в

ренциальных уравнений стандартного вида,

„Изв.

АН УзССР“, сер.

физ’-мат., 1970,

№ 6.

4. Б е г н а е в

X.

Об

одном свойстве интегро-дифференциальных уравнений

5.

типа Фредгольма

стандартного вида,

ДАН УзССР, 1971, № 2.

Б е г н а е в

X. .

Ф и л а т о в

А. Н.

Об

одном

свойстве интегро-диффе­

ренциальных уравнений, ДАН УзССР,

1970, №

12.

трубы при

6. Б е г н а е в

X. ,

Э ш м а т о в

X.

Колебания

вязко-упругой

протекании через нее жидкости, Труды ордена Трудового

Красного Зна­

мени Института кибернетики с ВЦ АН УзССР,

„Еопросы

вычислитель­

7.

ной и прикладной

математики", вып. 16, Ташкент, 1973.

Б о г о л ю б о в

Н.

Н.

О некоторых статистических методах в математи­

ческой физике, Киев, Изд во АН

УССР,

1945.

механике, Сб.

8. Б о г о л ю б о в

Н.

Н.

Теория

возмущения в нелинейной

9.

трудов ин-та строит, механ. АН УССР,

№ 4,

Киев, 1950.

приб­

Б о г о л ю б о в

Н.

Н., З у б а р е в

Д. Н. Метод асимптотического

лижения для систем с быстро вращающейся

фазой и его

применение к

10.

движению заряженных частиц в магнитном поле, УМЖ. 1955. № 7.

Б о г о л ю б о в

Н.

Н., М и т р о п о л ь с к и й

Ю. А. Асимптотические

методы в теории нелинейных колебаний, М .,

„Наука",

1963.

11.

Б о л о т и н

В.

В.

Динамическая

устойчивость

упругих

систем,

М .,

12.

ГИТТЛ,

1956.

В а с и л ь е в а

А. Б. ,

Ф е д о р ю к

М.

В.

Асимпто­

Б у т у з о в

В. Ф. ,

тические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений,

В кн. „Итоги науки. Математический анализ,

1967", М.,

ВИНИТИ АН

СССР, 1969.

13.

Б ы к о в

Я. В.

О некоторых задачах теории

интегро дифференциальных

14.

уравнений, Фрунзе, изд. Кирг. гос. ун-та, 1957.

дифференциальных урав­

В а с и л ь е в а

А.

Б.

Асимптотические методы

нений с малым параметром при старшей производной, В кн.

„Пятая лет­

15.

няя математическая школа", Киев, „Наукова

думка",

1968.

разложения

В а с и л ь е в а

А.

Б.

Б у т у з о в

В. Ф. Асимптотические

16.

решений сингулярно Еозмущенных уравнений,

М., „Наука",

1973.

интегро-

В а х а б о в

Г.

К вопросу

обоснования

метода

усреднения

для

17.

дифференциальных уравнений, УМЖ, т. 21, вып. 6, 1969.

точек

у ин­

В е д ь Ю.

А. Достаточные признаки

отсутствия особенных

тегро-дифференциальных уравнений, В сб.

„Исследования

по

интегро-

дифференциальным

уравнениям

в Киргизии",

вып. 3,

Фрунзе,

Изд-во-

18.

„Илим",

1965.

Метод

осреднения

в

теории

нелинейных

колебаний,.

В о л о с о в

В. М.

В кн. „Механика

в

СССР

за

50 лет",

т.

I, М.,

„Наука",

1968.

14-217

209