Файл: Кулесский, Р. А. электропривод постоянного тока с цифровым управлением.pdf

мехи аналоговых элементов и датчиков, то целесообраз­ но в качестве эталонной выбрать такую, которая при высоком качестве отработки полезного сигнала обеспе­ чивала бы II хорошую фильтрацию помех. Известно [Л. 12], что передаточная функция системы с конечной памятью Т, обеспечивающей минимальное значение среднего квадрата ошибки воспроизведения ступенчато­ го сигнала x ( t ) —Uо на фоне белого шума интенсивности 2я50, имеет вид:

Такая система через время, равное Т, после начала действия полезного сигнала обеспечивает воспроизведе­ ние его с минимальной среднеквадратичной ошибкой. Следовательно, целесообразно принять W3(p) =D( p) . Отметим, что отклонение спектра помех от белого шума требует, вообще говоря, выбора иного вида W3(p). Однако точное выполнение условия конечности памяти невозможно, так как автоматическая система с дробнорациональной передаточной функцией всегда имеет бес­ конечную память. Поэтому искомый регулятор может обеспечить лишь приближение к процессу, протекающе­ му за конечное время.

Аппроксимируем е~Тр степенным рядом и предста­ вим (3-45) следующим приближенным выражением:

(3-46)

Подставляя Аш(р), Н{р), D(p) из (3-1), (3-12) и (3-46) в (3-32), после преобразований получаем:

(3-47)

где ß, (р) — ß4 (р) — некоторые полиномы р.

Тогда

4

ill

Разлагая (3-48) на простые дроби и учитывая только члены с полюсами в левой полуплоскости, находим:

Далее, подставив (3-43), (3-49) и (3-50) в (3-34), находим искомое выражение для передаточной функции оптимальной системы:

'а

зависят от величин коэффициентов г2—г4. Выше было отмечено, что определение г2—г4 не представляет.труда при условии, что заданы Л2—Л4. Однако в подавляющем большинстве случаев значения Ѵз, Vt, не лимитируются по заданию на проектирование. Кроме того, величины Л2—Л4 зависят от значений действующих сигналов. Так,

хотя и было принято, что шз(0 = Ч 0 и іс(0 = Ч0> од­ нако за единичное может быть принято любое воздей­ ствие, отработка которого не приведет к выходу коор­ динат объекта за допустимые согласно (1-14) — (1-17) значения, при которых можно считать объект линейным. Таким образом, в процессе эксплуатации различным значениям u>3(t), іс{() будут соответствовать определен­ ные различные Л2— совокупность которых образует некоторую область значений. Будем считать последнюю допустимой областью значений.

Если учесть, что увеличению Ѵз, К4 соответствует уменьшение коэффициентов 1 /Ь2, а/2Ь2, то верхняя гра­ ница Ѵз, Vk фактически ограничена безусловно имеющи­ мися минимально возможными значениями указанных коэффициентов. В то же время по соображениям умень­ шения значений Ѵі, Ѵ2 желательно выбирать А 3, Л4 рав­ ными верхним граничным значениям соответственно Ѵз, К4. Исходя из этого целесообразно считать параметры а и b независимыми от г2—г4, осуществляя их выбор та­ ким образом, чтобы коэффициенты 1/2Ь2 и а/2Ьг приобре­ тали минимально допустимые значения. Последние мо-

112

гут быть ограничены, например, сохранением работо­ способности системы в условиях действия помех, степенью сложности реализации регулятора и другими причинами подобного рода. В этом случае можно дать несколько иную формулировку критерия оптимальности, а именно: наилучшее приближение процесса отработки полезного сигнала к процессу в эталонной системе при любых из допустимой области значениях степени влия­ ния возмущения на установившееся значение скорости и количестве энергии, потребляемой двигателем в пере­ ходных процессах отработки управляющего и возму­ щающего воздействий.

Итак, считаем в (3-51) а и b независимыми от г2—/'/, величинами. Остается выбрать соотношение между а и Ь. Выберем это соотношение из условия получения

коэффициента демпфирования y = a Y 2/4b, равного 0,707. Это значение считается наилучшим с точки зрения прак­ тических рекомендаций [Л. 23]. Вводя обозначение

Передаточная функция (3-52) зависит от значения лишь одного параметра т, величину которого с целью получения наилучшего приближения к желаемому про­ цессу следует выбирать по возможности меньшей.

Определим необходимую для дальнейшего исследо­ вания полученной структуры передаточную функцию разомкнутой системы:

Согласно (3-53) оптимальная система является си­ стемой с астатизмом второго порядка по управляюще­ му воздействию и отрабатывает ш3(£) = 1(0 с нулевой статической ошибкой. Определим изображение Подставляя G(p) и Ьш(р) из (3-52) и (3-1) в (3-6),

получаем:

Всоответствии с теоремой операционного исчисления

оконечном значении из (3-54) находим:

lim ijf (t) == lim pYf (p) = 0.

/->oo p —>0

Таким образом, оптимальная система обеспечивает нулевую статическую ошибку при действии возмущения ic(t) = 1(/). Передаточная функция регулятора скорости №р.с(д) оптимальной системы согласно структурной схеме рис. 3-2 определяется из выражения

Согласно (3-56) оптимальный регулятор является ин­ тегрально-пропорционально-дифференциальным (ПИД) регулятором. Статическая ошибка определяется инте­ гральной составляющей закона регулирования и в соот­ ветствии с изложенным в § 2-1 должна вычисляться в цифровой форліе. Что касается пропорциональной и дифференциальной составляющих закона регулирова­ ния, то они принципиально могут вырабатываться в ана­ логовой форме соответствующим аналоговым регулято­ ром. Так как аналоговый регулятор с передаточной функцией \Ѵа (р) =тлр+ с чувствителен к помехам, по­

строение его лучше осуществлять согласно выражению

В (3-57) /г< 1 и выбирается таким образом, чтобы значение частоты со = с/Л7’д соответствовало высокоча­ стотной части частотной характеристики Ф(іш). Тогда динамические свойства системы, определяемые средне­ частотной частью Ф(іш), будут мало отличаться от свойств оптимальной системы, а помехи существенно ослабляются. Обычно бывает достаточным принять *<(0,1-5-0,2).

При высоком уровне помех аналоговых датчиков скорости может оказаться целесообразным и пропорцио­ нальную и дифференциальную составляющие закона

114

времени запаздывания. В этом случае допустимо рас­ смотрение двух самостоятельных задач: оптимальной отработки управляющего и оптимальной отработки воз­ мущающего воздействий. Подход к решению этих задач аналогичен рассмотренному при одновременном дейст­

Согласно (3-60) критерием оптимальности является наилучшее приближение процесса отработки полезного сигнала к процессу в эталонной системе при равном А3 количестве энергии, подводимой к двигателю за пере­ ходный процесс, вызванный отработкой ю3{(). При этом А3 может иметь либо фиксированное значение, задавае­ мое по техническим условиям на проектирование, либо любое из допустимой области. В зависимости от этого будут иметь место два указанных выше подхода к вы­ бору г3 после получения принципиального решения для G(p).

Для режима действия возмущения при затухшем переходном процессе по управлению, аналогично изло­ женному, принимаем г2=1, гі = г3 = 0, а г/, считаем неоп­ ределенным множителем. В этом случае критерием оптимальности будет наименьшее влияние возмущения на установившееся значение скорости при равном А/, количестве энергии, подводимой к двигателю, за пере­ ходный процесс, вызванный действием возмущения:

либо заданным по техническим условиям, либо любым числом из допустимой области.

116

боткп управляющего п возмущающего воздействий:

0 И = , у і л ; 0 ( р ) = 1 .

Нетрудно убедиться, что полученным передаточным функциям оптимальных систем соответствуют физически нереализуемые регуляторы. В связи с этим необходимо найти решение, приближенно удовлетворяющее крите­ риям (3-60) и (3-61). Если видоизменить критерий ка­ чества [Л. 39], приняв за энергетические оценки

где ц(и)ял-, ц(и)я/ — установившиеся после окончания пере­ ходных процессов по управлению и возмущению значе­ ния напряжения на якоре, то могут быть получены вы­ ражения для G(p), приближенно удовлетворяющие кри­ териям оптимальности (3-60) и (3-61).

При этом для случая отработки управляющего сиг­ нала

а для возмущающего воздействия передаточная функция оптимальной системы определяется выражением (3-52).

Как отмечено выше, третий режим является комби­ нацией двух: процесса отработки управляющего и воз­ мущающего сигналов в отдельности. Так как регуля­ тор (3-56) можно считать близким к оптимальному в ре­ жиме отработки возмущения, управление в соответствии с (3-62) необходимо осуществить также на основе регу­ лятора (3-56). Для этого управляющий сигнал должен подаваться через фильтр, изображенный на рис. 3-2 штриховой линией, с передаточной функцией '

Определим значения ѴД Ѵг, характеризующие каче­ ство отработки управляющего воздействия в системе с G(p) по (3-52). При этом предполагаем, что управ­ ляющий сигнал задается через фильтр (3-63), так что структура системы по управлению определяется (3-62).

117

Приведем (3-4) и (3-7) на основании теоремы Парсеваля к виду

іоо •

”2. J Ая («о) Л» (-/» ) й '

—со

где

h„(x) = а 0х п + аіХп- 1+ ' . . . + ап\

при n= 1, 2, 3 и 4.

118