Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл (8,01Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 148

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

48 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ СГЛ. t

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ранг г формы А (х, х) равен количеству отличных от нуля ее собственных значений с учетом их кратностей (§ 5, предложение 2°). Пусть при не которых фиксированных значениях коэффициентов фор мы среди ее собственных значений л положительны, v

отрицательны (г =	л -j- v, а = л — v), а	остальные
d ( = n —г ) равны	нулю. Так как собственные	значения

формы непрерывно зависят от ее коэффициентов (и. 4.1), то при достаточно малых изменениях последних отличные от нуля собственные значения сохранят свои знаки, а ни одно из равных нулю собственных значений не станет от личным от нуля, ибо это сопровождалось бы увеличением ранга формы, что противоречит условию леммы.

Таким образом, в малой окрестности любого набора ко эффициентов сигнатура формы остается неизменной. От


сюда (с	помощью	леммы Гейне — Бореля) следует, что
она вообще не изменяется при любом непрерывном изме
нении коэффициентов, упомянутом в условии леммы.
6.3.	Возвращаясь к		усеченным формам,			мы можем
теперь, используя леммы 6.1 и 6.2, уточнить характер из
менения сигнатуры при переходе				от формы		(х, х)
к усеченной форме A h (х, х)			и обратно.
Ответ на этот вопрос дается следующими тремя теоре
мами.		6.1. Если	в соотношении		(6.2)	справа
Т е о р е м а
имеет место знак равенства, т. е.				rk+1 = rh -f- 2, то сиг
натуры ak+1u ah форм A fe+1 {х, х)				и A k (х, х)	совпадают'.
ah+l =	°V		Предположим,		что	в	пра
Д о к а з а т е л ь с т в о .
вой части основного тождества (6.1) форма А к (х,						х)	пред
ставлена в виде		суммы rk независимых квадратов					(§ 5,

предложение 1°). Тогда (6.1) перейдет в представление формы А к+1 (х, х) в виде суммы rh + 2 квадратов. А так как по условию rk -j- 2 = гй+1, то, согласно предложению 3° из § 4, эти квадраты линейно независимы. Обращаясь снова к тождеству (6.1), видим, что форма A ft+1 (х,х) при обрела по сравнению с А к (х, х) один положительный и один отрицательный квадрат, откуда, согласно закону инерции, и следует равенство ak+1 — ah.

Т е о р е м а		6.	2. Если равны ранги форм А к+1 (х, х)
и A k	(х, х), т.	е.	rh+1 = r h, то равны и их сигнатуры'.
ah+1	=

I 6]

УСЕЧЕННЫЕ! ФОРМЫ

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Представим форму A к+1 (х, х)
в виде суммы	гк
	гк	(6.3)
А +1 (ж, х )=	2 Щ\Ц (х) \|г	(6.3)
	i=i

rk независимых квадратов (§ 5, предложение 1°), а затем

положим в этом равенстве £fe+1 = 0.	Тогда слева форма
А к+1 (х, х) перейдет (см., например,	(6.1)) в A h (х, х), а

справа в (6.3) ни один из квадратов не аннулируется, в противном случае форма А к (х, х) ранга гк была бы пред ставлена в виде суммы меньшего, чем гк, числа квадратов, что невозможно (§ 5, предложение 4°).

Итак, мы получили представление А к (х, х) в виде сум мы гк независимых (§ 5, предложение 3°) квадратов с теми же коэффициентами а; (/ = 1 , 2 , . . . , гк), что и в (6.3). Отсюда следует равенство а /1+1 = о к.

В теоремах 6.1 и 6.2 рассмотрены два «крайних» слу

чая в неравенствах (6.2).			Оставшийся	«промежуточный»
случай, когда rft+1	=	гк +	1, исчерпывает
Т е о р е м а 6.	3.	Если ранг гк+1		формы А к+1 (х , х)

превышает ранг гк усеченной формы А к (х, х) на одну еди

ницу, т. е.	rft+1 = гк + 1, то для соответствующих сиг
натур о к+1	и о к имеем \|0 ь+1	— сть\| = 1,т. е. либоок+1 =
= 0& 1,	Либо 0 fe+i = 0 к — 1.		снова к
Д о к а з а т е л ь с т в о .		Обратимся
основному	тождеству (6.1).	Отбросив в правой его части
последнее	(неположительное) слагаемое,		рассмотрим

форму

Вт (х, х) = Ак (х, х) +

+ 4 ®i, fc+ili+ •••+ ая-,mifc +		^ ал-+1, ji-+i + l j £fi+l
от к 1 переменных	\|2, •••, lk>	ift+i- Напомним, что

форма А к {х, х) зависит только от первых к из этих пере менных, и потому фигурирующие в ее каноническом пред ставлении (см. § 5, предложение 1°)

гн

Ак(х, х) = 2 ai\Li(x)\*

3=1

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ

[ГЛ. I

линейно независимые формы Lj (х) (/ = 1, ..., гй) можно считать содержащими только эти переменные. Стало

быть, если ^ аш , k+i + 1 ф 0, то формы Lr(х),.. ,,LTji{x) и

Р (х) = alt k+l£l +•••+%•, k+1?к+ ( у ак+1, к+1 + 1j £k+l

линейно независимы. Следовательно, ранг формы В&Цх, х) равен rk -f- 1, а сигнатура ее равна o h + 1-

Заметим теперь, что в силу тождества (6.1)

В11) (х, х) = Д.+1(х, х) +

+ у [а1, m il + ■••+ k+iSk + ( у ак+1,k+1 — 11 Ek+i •

По условию ранг формы А к+1 (х, х) равен rh -)- 1, а по скольку таков же ранг и всей формы ВW (х, х), то форма

■[

N (х) = ai, fe+iii + •. • + a-k, п+Лк + ( у aim, h+i — 1) lfc+i

линейно зависит от линейных форм, фигурирующих в пред ставлении для Лй+1 (х, х) в виде суммы rh -f- 1 независи мых квадратов (это представление мы здесь не выписыва ем). Но тогда это же можно сказать и о форме tN(x) при любом t. Таким образом, при любом t форма

Bw (x, х) = Ак+1(х, х) + у |f Щх) |2

(6.4)

имеет один и тот же ранг rk + 1, а значит, по лемме 6.2, — одну и ту же сигнатуру. Но, положив в (6.4) t = 1, мы воз

вращаемся к форме В ^(х, х),	сигнатура	которой	равна
ak + 1, а при t = 0 получаем	(х, х)	== Ль+1	(х,х),
т. е. ah+1 = a h + 1.
Если же у ак+1, k+i + 1 = 0,	то у а л+1, к+1— 1 4= °, и,

поменяв ролями формы Р (ж) и N (ж), мы с помощью ана логичных рассуждений получим п,1+1 = a,, — 1.

Теорема 6.3 доказана *).

*) Употребленный нами при доказательстве теоремы 6.3 прием построения «промежуточной» формы (6.4) называют гомотопией, а

формы В^ (х, х) и В'1^ (.г, .т) — гомотопными.

§ 6]	УСЕЧЕННЫЕ ФОРМЫ	51
З а м е ч а н и е .	Теоремы 6.1 — 6.3 можно рассматри

вать как частные случаи общих фактов (вариационной) тео рии собственных значений линейных пучков эрмитовых форм (см., например, [4], гл. X, §§ 7, 9). Однако, с одной стороны, ни в одном из известных нам изложений этой тео рии мы не нашли прямо сформулированных теорем 6.1 — 6.3, которые необходимы для получения основных ре зультатов глав II и III, а с другой стороны, представля лось заманчивым привести непосредственные доказатель ства этих теорем, использующие минимум средств, без ссылок на теорию пучков.

6.4 В заключение приведем, следуя [4], еще одно по лезное предложение относительно усеченных форм.

1°. Если у формы А (х, х) ранга г отличен от нуля по следовательный главный минор порядка г ( Ег фО), то усеченная форма

Аг (ж, ж) — 2 i j = l

имеет тот же ранг и ту оке сигнатуру, что и вся форма

А(х , х).

Всамом деле, утверждение о ранге тривиально, так

как (0 =f= )ДГ — дискриминант формы АТ(х,х). Если г — = п, то и утверждение о сигнатуре тривиально.

Пусть теперь г <; п, а

(6.5)

— представление формы А {х, х) в виде суммы независи мых квадратов.

Положим в (6.5)

Тогда в левой части форма А (х, х) перейдет в Ат{х, х), а в правой получится представление формы Ат(х, х),в виде суммы г квадратов. Но так как ранг формы Ат(х, х) равен г (Аг Ф 0), то на основании предложения 3° из § 5 эти квадраты линейно независимы. А поскольку

(§ 5, предложение 1°)	ak =f= 0 (k =	1, 2, ..., г), то сигнату
ра у Аг (х, х) та же,	что и у А (х,	х).

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МАТРИЦ И ФОРМ

ГГЛ. 1

Примеры и упражнения

1.Рассмотрим форму (ср. пример 1 к § 5):

А 3 (х , х) = А (х, х)		=	3 \|	\|2	+ 6iS2 +	2i\|j53 — 2iS>1^>3
и представим ее с помощью тождества (6.1). Здесь						(полагая £3 == 0),
имеем
	■Аа (я, х) =			3 j \|2 +	Ijfa -ф-
а так как а13 =	2t, азз =		0,	а33 — 0,	то (см. (6.1))
Аз (х, х) =	А3(х, я) + 4~ \|				р —	\| — Ь \|2.
В свою очередь, Аз (х , х) можно с помощью (6.1) представить
через Ах (х, х) =	3 \|	\|2 в виде

Является ли последнее представление каноническпм? Каковы

ранги	гх, г», гg	и сигнатуры			ах,	аз,	а3 форм А г (х,			х),	А 2 (х, х),
А 3 (я,	х) соответственно? Сопоставьте						эти	результаты с теоремами
6.1, 6.2 и 6.3.
2.	Рассмотрим эрмитову форму
	п— 1
	2	V -ЛДз		<C-P =		V	Р =	0- 1........л — !)			(6-6)
	Р, 5 = 0
порядка п (такие формы называются							теплицевыми,			им	посвящен
§ 16). Пусть п — 4,			а матрица формы (6.6) имеет вид
		Co C-l		C-2 C-3		0 0 0			— i
		Cl Co		C -l C-2		0	0 0		0
		C2	Cl	Co	c - l	0	0	0	0
		C3	C2	C\|	Co	i	0	0	0